浙江省宁波市鄞州实验中学2022年强基计划招生模拟数学试卷(word版含答案)

这是一份浙江省宁波市鄞州实验中学2022年强基计划招生模拟数学试卷(word版含答案)，共16页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙江省宁波市鄞州实验中学2022年强基计划招生模拟数学试卷
一、填空题（每题5分，共50分）：
1．（5分）已知a+＝+3b≠0，则的值为 　 　．
2．（5分）已知关于x的方程x2+2bx+3c＝0的两个根分别是x1＝，x2＝，若点A是二次函数y＝x2+2bx﹣3c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为 　 　．
3．（5分）如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F，G，BC＝3，AF：FG：GD＝3：2：1，则AB的长为 　 　．

4．（5分）如图，一组x轴正半轴上的点B1，B2，…Bn满足条件OB1＝B1B2＝B2B3…＝Bn﹣1Bn＝2，抛物线的顶点A1，A2，…An依次是反比例函数y＝图象上的点，第一条抛物线以A1为顶点且过点O和B1；第二条抛物线以A2为顶点且经过点B1和B2；…第n条抛物线以An为顶点且经过点Bn﹣1，Bn．依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成△OA1B1、△BA2B2、…、△Bn﹣1AnBn．若三角形是一个直角三角形，则它相对应的抛物线的函数表达式为 　 　．

5．（5分）已知a+b+c＝1，且＝0，则（a+1）2+（b+2）2+（c+3）2的值为 　 　．
6．（5分）已知整数x，y满足x＝2022，则的最小值为 　 　．
7．（5分）老张和小李驾驶货车从某脐橙种植园出发到果园港送货，沿同一条笔直的马路行驶．老张先出发，2小时后车速降为出发时的，此时小李出发，再过3小时后他们相遇，相遇后老张立即提速至出发时的速度，行驶途中小李停车检修2.5小时，检修结束后小李继续行驶，车速比出发时快6千米/小时，最终两车同时到达，两车相距的路程y（千米）与老张开车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，则从两车第一次相遇到小李刚开始检修时经过了　 　小时．

8．（5分）如图，在平行四边形ABCO中，过点B作BE∥y轴，且OE＝3CE，D为AB中点，连接BE、DE、DC，反比例函数y＝的图象经过D、E两点，若△DEC的面积为3，则k的值为 　 　．

9．（5分）如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为 　 　．

10．（5分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，CA＝CB，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若cos∠ACB＝，则的值为 　 　．

二、解答题（第11题12分，12题18分，共30分）：
11．（12分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．
12．（18分）锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F．
（1）求的值；
（2）求证：．


浙江省宁波市鄞州实验中学2022年强基计划招生模拟数学试卷参考答案与试题解析
一、填空题（每题5分，共50分）：
1．（5分）已知a+＝+3b≠0，则的值为 　　．
【分析】先把条件变形得a＝3b，再代入求解．
【解答】解：∵a+＝+3b，
∴3b（ab+1）＝a（ab+1），
∵a+＝≠0，
∴ab+1≠0，
∴a＝3b，
原式＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的加减法，把条件变形是解题的关键．
2．（5分）已知关于x的方程x2+2bx+3c＝0的两个根分别是x1＝，x2＝，若点A是二次函数y＝x2+2bx﹣3c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为 　3　．
【分析】根据根与系数的关系求出b、c的值，从而求出二次函数的解析式，令x＝0，得y＝（m2﹣6m），根据AB⊥y轴，得AB∥y轴，得B点的纵坐标为（m2﹣6m），从而求出B点的坐标，进而求出AB的长．
【解答】解：∵x1＝，x2＝，
∴x1+x2＝﹣2b＝3，x1•x2＝3c＝，
∴2b＝﹣3，3c＝，
∴y＝x2﹣3x+（m2﹣6m），
令x＝0，y＝（m2﹣6m），
∴A（0，（m2﹣6m）），
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为（m2﹣6m），
把y＝（m2﹣6m）代入y＝x2﹣3x+（m2﹣6m），
得（m2﹣6m），＝x2﹣3x+（m2﹣6m），
解得x1＝0，x2＝3，
∴AB＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，掌握这四个知识点的综合应用，根与系数的应用是解题关键．
3．（5分）如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F，G，BC＝3，AF：FG：GD＝3：2：1，则AB的长为 　　．

【分析】由矩形的性质得AB＝CD，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝90°，再证△AFB∽△DCG，得AB2＝AF•DG，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝90°，
∵∠E＝90°，
∴∠EFG+∠EGF＝90°，
∴∠AFB+∠DGC＝90°，
∵∠AFB+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DGC，
∴△AFB∽△DCG，
∴＝，
∴AB•CD＝AF•DG，
即AB2＝AF•DG，
∵AF：FG：GD＝3：2：1，
∴AF＝，FG＝1，DG＝，
∴AB2＝AF•DG＝×＝，
∴AB＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
4．（5分）如图，一组x轴正半轴上的点B1，B2，…Bn满足条件OB1＝B1B2＝B2B3…＝Bn﹣1Bn＝2，抛物线的顶点A1，A2，…An依次是反比例函数y＝图象上的点，第一条抛物线以A1为顶点且过点O和B1；第二条抛物线以A2为顶点且经过点B1和B2；…第n条抛物线以An为顶点且经过点Bn﹣1，Bn．依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成△OA1B1、△BA2B2、…、△Bn﹣1AnBn．若三角形是一个直角三角形，则它相对应的抛物线的函数表达式为 　y＝﹣x2+18x﹣80　．

【分析】先求得点A1，A2，…An的坐标，然后由等腰直角三角形的性质求得三角形是直角三角形时抛物线顶点的坐标，然后求得对应的抛物线解析式．
【解答】解：由题意得，△OA1B1、△B1A2B2、…△Bn﹣1AnBn均为等腰三角形，
∵OB1＝B1B2＝B2B3…Bn﹣1Bn＝2，
∴点A1（1，9），A2（3，3），…An（2n﹣1，），
∵△Bn﹣1AnBn是直角三角形，
∴△Bn﹣1AnBn为等腰直角三角形，
∴＝1，
∴n＝5，
∴A5（9，1），
∴B4（8，0），B5（10，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣8）（x﹣10），
将点A5（9，1）代入解析式，得﹣a＝1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣8）（x﹣10）＝﹣x2+18x﹣80．
故答案为：y＝﹣x2+18x﹣80．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，抛物线的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知等腰三角形的性质求得系列点A的坐标规律．
5．（5分）已知a+b+c＝1，且＝0，则（a+1）2+（b+2）2+（c+3）2的值为 　36　．
【分析】利用完全平方公式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，得a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2bc﹣2ac，仿照这个公式即可．
【解答】解：由＝0，去分母，得
（b+2）（c+3）+（a+1）（c+3）+（a+1）（b+2）＝0，
则（a+1）2+（b+2）2+（c+3）2
＝[（a+1）+（b+2）+（c+3）]2﹣2[（b+2）（c+3）+（a+1）（c+3）+（a+1）（b+2）]
＝（a+b+c+6）2
＝（0+6）2
＝36．
故答案为：36．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．
6．（5分）已知整数x，y满足x＝2022，则的最小值为 　18　．
【分析】原式可变形为（+）﹣（+）+﹣，所以（++）（﹣）＝0，所以﹣＝0，根据取值范围可得x＝337，y＝6．
【解答】解：x＝2022，
变形为（+）﹣（+）+﹣，
所以（++）（﹣）＝0，
所以﹣＝0，
xy＝2022＝2×3×337，
∵x，y均为整数，x﹣y﹣7＞0，
∴最小值时x＝337，y＝6，
∴最小值为＝＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了因式分解的应用，关键是得到﹣＝0．
7．（5分）老张和小李驾驶货车从某脐橙种植园出发到果园港送货，沿同一条笔直的马路行驶．老张先出发，2小时后车速降为出发时的，此时小李出发，再过3小时后他们相遇，相遇后老张立即提速至出发时的速度，行驶途中小李停车检修2.5小时，检修结束后小李继续行驶，车速比出发时快6千米/小时，最终两车同时到达，两车相距的路程y（千米）与老张开车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，则从两车第一次相遇到小李刚开始检修时经过了　2　小时．

【分析】设从两车第一次相遇到小李刚开始检修时经过了t小时，然后根据行程情况列出等量关系求解相应的时间．
【解答】解：由题意可知：老张先出发2小时，由图象可得，2小时共行驶120千米，
∴老张的速度为120÷2＝60（千米/时），
2小时后，小李出发，再过3小时，两人相遇，
∴小李的行驶路程为120+3×60×＝270（千米），
∴小李出发时的速度为270÷3＝90（千米/时），
检修后的速度为90+6＝96（千米/时），
设从两车第一次相遇到小李刚开始检修时经过了t小时，由题意可得：
90t+[12﹣（5+t+2.5）]×96＝60×（12﹣5），
解得：t＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查学生利用函数图象获取信息的能力，理解题目中的等量关系，利用数形结合思想解题是关键．
8．（5分）如图，在平行四边形ABCO中，过点B作BE∥y轴，且OE＝3CE，D为AB中点，连接BE、DE、DC，反比例函数y＝的图象经过D、E两点，若△DEC的面积为3，则k的值为 　　．

【分析】过点D作DF∥x轴，交BE于点F，交y轴于点G，延长BE交x轴于点H，连接OD，根据△DEC的面积为3，求出△ODE的面积，设D点坐标为（a，），则E点坐标为（3a，），根据面积列方程即可求出k的值．
【解答】解：过点D作DF∥x轴，交BE于点F，交y轴于点G，
延长BE交x轴于点H，连接OD，

∵E为OC的四等分点（OE＞EC），△DEC的面积为3，
∴△DEO的面积为9，
∵BE∥y轴，
∴四边形BMOE是平行四边形，
∴BM＝OE，
∴AM＝EC＝AB，
∵D为AB中点，
∴DM＝EC＝OE，
由平行四边形得，∠OEH＝∠EBM＝∠DMG，∠OHE＝∠DGM＝90°，
∴△OHE∽△DGM，
∴＝＝，
设D点坐标为（a，），则E点坐标为（3a，），
S△ODE＝3a×﹣a×﹣×3a×﹣（3a﹣a）（﹣）
＝3k﹣k﹣k﹣k＝9，
解得：k＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题关键是根据已知条件，设点的坐标，利用相似三角形的性质、平行四边形的性质、三角形的面积公式列出关于k的方程．
9．（5分）如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为 　　．

【分析】作FL∥CD交HM的延长线于点L，连接DL，作DK⊥CF于点K，先求得∠DCF＝60°，通过解直角三角形求出DF的长，再证明△CLF≌△ABC，得LF＝BC＝CD，则四边形LFCD是平行四边形，由MD＝DF求得MD的长．
【解答】解：如图，作FL∥CD交HM的延长线于点L，连接DL，作DK⊥CF于点K，
∵四边形ACFG和四边形BCDE都是正方形，
∴CF＝AC＝3，BC＝CD＝2，∠ACF＝∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠DCF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵∠CKD＝∠FKD＝90°，
∴＝sin60°＝，＝cos60°＝，
∴DK＝×2＝，CK＝×2＝1，
∴FK＝3﹣1＝2，
∴DF＝＝，
∵CH⊥AB于点H，
∴∠AHC＝90°，
∴∠FCL＝90°﹣∠ACH＝∠CAB，
∵∠CFL＝180°﹣60°＝120°＝∠ACB，
∴△CLF≌△ABC（ASA），
∴LF＝BC＝CD，
∴四边形LFCD是平行四边形，
∴MD＝DF＝，
故答案为：．

【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理、同角的补角相等、同角的余角相等、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10．（5分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，CA＝CB，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若cos∠ACB＝，则的值为 　　．

【分析】设AC，BD交与点F，过点B作BG⊥EA，交EA的延长线于点G，利用直角三角形的边角关系得到cos∠ACB＝＝，设CF＝3k，则CB＝5k，利用勾股定理，相交弦定理，平行线分线段成比例定理求得BF，DF，AE，利用勾股定理求得线段CE；利用矩形的判定与性质和勾股定理求得BE，则结论可得．
【解答】解：设AC，BD交与点F，过点B作BG⊥EA，交EA的延长线于点G，如图，

∵AC⊥BD，cos∠ACB＝，
∴cos∠ACB＝＝，
设CF＝3k，则CB＝5k，
∴BF＝＝4k．
∵CA＝CB，
∴AC＝5k，
∴AF＝AC﹣CF＝2k．
∵CF•AF＝DF•BF，
∴DF＝k．
∵AC⊥BD，AE⊥AC，
∴DF∥AE，
∴，
∴，
∴AE＝k．
∴CE＝＝．
∵AC⊥BD，AE⊥AC，BG⊥EA，
∴四边形AFBG为矩形，
∴BG＝AF＝2k，AG＝BF＝4k，
∴EG＝AE+AG＝k，
∴BE＝＝k，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相交弦定理，熟练掌握圆的相关性质，利用勾股定理求得对应相等的长度是解题的关键．
二、解答题（第11题12分，12题18分，共30分）：
11．（12分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．
【分析】先把原方程化为2x2﹣3x﹣（k+3）＝0，一定是一个一元二次方程，在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，因而可能方程有两个相同的实根，求得即可进行判断；或解方程得到的两个根中有一个是方程的增根，即x＝1是方程2x2﹣3x﹣（k+3）＝0的解，即可求得方程的另一解，然后进行判断；或方程有两个异号得实数根；或其中一根是0，即可求得方程的另一根，进行判断．因而这个方程中再分四种情况讨论：
（1）当Δ＝0时；
（2）若x＝1是方程①的根；
（3）当方程①有异号实根时；
（4）当方程①有一个根为0时，最后结合题意总结结果即可．
【解答】解：原方程可化为2x2﹣3x﹣（k+3）＝0，①
（1）当Δ＝0时，，满足条件；
（2）若x＝1是方程①的根，得2×12﹣3×1﹣（k+3）＝0，k＝﹣4；
此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；
（3）当方程①有异号实根时，且x≠1即k≠﹣4，得k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根；
（4）当方程①有一个根为0时，k＝﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．
综上所述，满足条件的k的取值范围是或k＝﹣4或k≥﹣3．
【点评】主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点要分情况讨论．
12．（18分）锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F．
（1）求的值；
（2）求证：．

【分析】（1）根据S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO，进而可以解决问题；
（2）延长AD交⊙O于M，由于AD，BE，CF共点O．然后由OD＝R﹣DM、AM＝2R，可以求得结论．
【解答】（1）解：由于AD，BE，CF交于点O，
∴＝，＝，＝，
∴++＝1；
（2）证明：如图，延长AD交⊙O于M，设R为△ABC的外接圆半径，AD，BE，CF交于点O．

∵＝＝1﹣＝1﹣，
同理有：＝1﹣，＝1﹣，
代入++＝1，
得（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）＝1，
∴++＝2，
∴++＝＝．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，分式的加减法，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心．