7 课题：多边形的内角和 南阳市3中2022年人教版数学八年级上册 导学案

课题：多边形的内角和

1．通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式．

2．学会应用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算．

重点：多边形的内角和及外角和公式．

难点：多边表内角和公式的推导及其运用．

一、情景导入，感受新知

1．我们知道三角形的内角和为180°．

2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°.

3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？多边形的内角和又是多少呢？

二、自学互研，生成新知

【自主探究】

(一)阅读教材P21～P22，完成下面的内容：

思考几个问题：

(1)从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？

答：可以引一条对角线，将四边形分成两个三角形，所以四边形的内角和为360°.

(2)从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么五边形的内角和为多少度？

答：可以引两条对角线，将五边形分成3个三角形，所以五边形内角和为540°.

【合作探究】

从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？

答：可以引(n－3)条对角线，将n边形分成(n－2)个三角形，内角和度数为(n－2)·180°.

归纳：设多边形的边数为n，则n边形的内角和等于(n－2)·180°．

补充例题：求十五边形内角和的度数．

1．教师提出问题，学生思考后分组活动．

2．教师深入小组，参与小组活动，及时了解学生探索的情况．

3．让学生归纳借助辅助线将五边形分割成三角形的不同分法．

4．探究五边形的边数与所分割的三角形个数间的关系，进而得出五边形内角和与边数的关系．

5．根据以上分割三角形的方法，引导学生归纳n边形内角和公式及不同公式间的联系，指明为了书写整齐，便于记忆，我们选择(n－2)×180°这个公式．

(二)阅读教材P22～P23回答下列问题：

1．n边形的每一个外角与它相邻的内角之和是多少度？

答：180°.

2．n边形的内角和与外角和加起来等于多少度？

答：n·180°.

3．n边形的内角和公式是(n－2)·180°，所以n边形的外角和等于n·180°－(n－2)·180°＝360°．

三、典例剖析，运用新知

[投影6]例1：如图一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．

分析∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系？

解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，∠A＋∠C＝180°，

∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝180°.

这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．

[投影7]例2：如图，在六边形的每个顶点各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的值．

分析多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的外角和是多少度？

解：∵∠1＋∠BAF＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEF＝180°，∠6＋∠EFA＝180°，

∴∠1＋∠BAF＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEF＋∠6＋∠EFA＝6×180°.

又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝4×180°，

∴∠BAF＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFA＝6×180°－4×180°＝360°.

这就是说，六边形的外角和为360°.

①明了学情：学生独立完成，教师巡视全班．

②差异指导：组织学生观察、类比、推理，有针对性进行分层点拨．

③生生互助：学生先在小组内交流，然后全班展示．

四、课堂小结，回顾新知

1．这节课我们主要探究学习了两个知识点：多边形的内角和与外角和公式．

2．通过这节课的学习，我们还要积累一些解题经验．想一想，在哪些方面可以积累一些经验呢？

生：在探究时，多边形的问题可以转化为三角形问题来解决．

师：利用多边形的内角和公式可以解决什么问题？

生：可以解决多边形的内角和及边数．

师：利用多边形的外角和可以解决什么问题？

生：可以解决多边形的内角和及边数．

师：能吗？

生：正多边形的．

五、检测反馈、落实新知

1．求下列图形中x的值．

解：(1)如图知，该图为五边形．内角和为(5－2)×180°＝540°，60°＋4x°＝540°，x°＝120°，x＝120；(2)如图，该图形为五边形，内角和为(5－2)×180°＝540°，150°＋135°＋60°＋(180°－60°)＋x°＝540°，∴x°＝75°.

2．某多边形的内角和与外角的和为2160°，求此多边形的边数．

解：设此多边形数为n.(n－2)×180°＋360°＝2160°，n＝12，∴此多边形有12条边．

3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，∠C＝∠D，试判断AB与CD的位置关系并说明理由．

解：AB与CD平行．理由：在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∴2(∠A＋∠D)＝360°，2(∠B＋∠C)＝360°.∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C＝180°，∴AB∥CD.

第3题图

　　　　　第4题图

4．如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C的两边互相垂直，且∠C与∠A相差58°，求这两个角的度数．

解：在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∵∠D＝∠B＝90°，∴∠A＋∠C＋180°＝360°.又∵∠C＝∠A＋58°，∴2∠A＋58°＋180°＝360°.∴∠A＝61°，∠C＝119°.

六、课后作业：巩固新知

(见学生用书)