1.2 矩形的性质与判定 第2课时 数学北师大版九年级上册学案
展开2 矩形的性质与判定
第2课时
【旧知再现】
有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形．
【新知初探】
阅读教材P14—P15完成下面问题：
矩形的判定方法
矩形的 判定 | 文字叙述 | 几何语言: 图示 |
定义法 | 有一个角是 直角 的 平行四边形 是矩形 | ∵四边形ABCD是平行四边形且∠ABC= 90 °,∴平行四边形ABCD是矩形 |
对角线法 | 对角线 相等 的平行四边形是矩形 | ∵四边形ABCD是平行四边形且AC= BD ,∴平行四边形ABCD是矩形 |
三个 直角法 | 有三个角是 直角 的四边形是矩形 | ∵在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=∠BAD= 90° ,∴四边形ABCD是矩形 |
【图表导思】
如图，四边形ABCD的对角线互相平分．
(1)这个四边形是什么形状的四边形？
(2)若使它变为矩形，对角线AC，BD要满足什么条件？
(3)若使它变为矩形，四边形的内角要满足什么条件？
【解析】(1)平行四边形．
(2)AC＝BD.
(3)四边形有一个内角为90°.
【质疑判断】
1．一 组对边平行且相等，且有一个内角是直角的四边形是矩形( √ )
2．一个角是直角的四边形是矩形( × )
矩形的判定
【P17例4补充】——矩形判定方法的灵活选用
(2020·聊城中考)如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
【思路点拨】▱ABCD→∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE→△ABE≌△FCE→AB＝CF→四边形ABFC是平行四边形→四边形ABFC是矩形．
【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE(AAS)，
∴AB＝CF.
∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
【归纳提升】
矩形常用的判定方法
已有条件 | 需要条件 |
平行四边形 | 有一个角是 直角 |
邻角 相等 | |
对角线 相等 | |
一般四边形 | 有三个角是 直角 |
对角线互相 平分且相等 |
变式一：巩固如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF.
(2)求证：四边形EGCF是矩形．
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥CF，∠GEF＝∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS).
(2)由(1)得：△ABE≌△CDF，AE∥CF，
∴AE＝CF，∵EG＝AE，
∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，
又∵∠GEF＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
变式二：提升(2021·北京期中)如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC.
(1)求证：四边形OCED是矩形．
(2)连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF＝CE＝1，求AC的长．
【解析】见全解全析
【火眼金睛】
已知:如图,▱ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,求证:四边形EFGH是矩形.
【正解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠DAB＋∠ABC＝180°，
∵AH，BH分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，
∴∠HAB＋∠HBA＝90°，
∴∠H＝180°－(∠HAB＋∠HBA)＝90°，
同理，∠F＝∠DEA＝∠BGC＝90°，
∴∠HEF＝∠HGF＝90°，∴四边形EFGH是矩形．
【一题多变】
如图，点P是Rt△ABC中斜边AC(不与A，C重合)上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP，MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是(C)
A．1.5 B．2 C．4.8 D．2.4
【母题变式】
【变式一】
如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点(点P与点A，C不重合)，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为____．
【变式二】
如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点(不与点A，B重合)，作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是(A)
A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.5
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