数学22.3 实践与探索第1课时学案

教学目标

1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.

2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.

3.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程求解，并检验方程的解是否合理.

教学重难点

重点：掌握用一元二次方程解应用题的一般步骤.

难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.

教学过程

导入新课

【问题1】

活动1（学生交流，教师点评）

例1　用一条长40 cm的绳子怎样围成一个面积为75 cm2的矩形？设矩形的一边

为x cm，根据题意，可列方程为　　　　　　.

【答案】x(20-x)＝75

教师总结并引出课题：22.3　实践与探索

第1课时　几何图形问题

探究新知

探究点一　列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）审：审题，明确已知量、未知量及题中的等量关系；

（2）设：设未知数，有直接设和间接设两种设法，因题而异；

（3）列：用含所设未知数的代数式表示等量关系中其他未知量，列出方程；

（4）解：求出所列方程的解；

（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；

（6）答：写出答案.

探究点二　利用一元二次方程解决图形面积问题

【问题2】

活动2（学生交流，教师点评）

例2  如图，某小区在一个长为40 m，宽为26 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144 m2，求甬路的宽度.

【探索思路】

方法1：根据矩形的面积减去甬路的面积等于六块草地的面积；方法2：将原图中三条甬路分别向上和向右平移至如图所示的位置，若设甬路的宽为x m，则草坪总面积为(40-2x)(26-x)m2，所列方程为(40-2x)(26-x)＝ 144×6.

【解】方法1 ：设甬路的宽为x m，

根据题意，得40×26-（40x+2×26x-2x2）＝ 144×6，

整理，得x2-46x+88 ＝ 0，

解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2.

因为甬路的宽必须小于m，即小于20 m，

所以x＝ 44 不符合题意，舍去，

所以x＝2.

答：甬路的宽为2 m.

方法2 ：设甬路的宽为x m，将原图中三条甬路分别向上和向右平移至如图所示的位置.

根据题意，得(40-2x)(26-x)＝ 144×6 ，

整理，得x2-46x+88 ＝ 0，

解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2.

因为甬路的宽必须小于m，即小于20 m，

所以x ＝ 44 不符合题意，舍去，

所以x ＝ 2.

答：甬路的宽为2 m.

【题后总结】我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横三条路移动一下，使列方程容易些.

【问题3】 

活动3（学生交流，教师点评）

例3　如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2时，求AB的长.

【解】设AB的长为x m，则BC的长为(50-2x)m.

根据题意，得x(50-2x)＝300.

解得x1＝10，x2＝15.

当x＝10时，AD＝BC＝50-2x＝30>25，不合题意，所以x＝10应该舍去；

当x＝15时，AD＝BC＝50-2x＝20<25，所以x＝15满足条件.

答：AB的长为15 m.

即学即练

如图所示，在长32 m、宽20 m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向、一条横向，横向与纵向互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田总面积为570 m2，问道路应多宽？

【解】设道路宽为x m.

由题意，得(32-2x)(20-x)＝570.

整理，得x2-36x+35＝0，

解得x1＝1，x2＝35.

经检验，x＝35＞20，不合题意，故舍去.

即道路宽为1 m.

课堂练习

1.某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为(  　  )

A. x(x-10)＝900                  B. x(x+10)＝900

C.10(x+10)＝900            　    D.2[x+(x+10)]＝900

2.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(     )

A.(x+1)(x+2)＝18

B. x2-3x+16＝0

C.(x-1)(x-2)＝18

D.x2+3x+16＝0

3.一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为                       .

4.在一幅长50 cm，宽30 cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使整个矩形挂图的面积是1 800 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为                              .

5.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2？

6. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.

参考答案

1.B　　2.C　3.2 cm，7 cm　　4.x2+40x-75＝0

5.【解】设矩形温室的宽为 x m，则长为2x m.

根据题意，得(x-2)(2x-4)＝288.

解得x1＝-10(不合题意，舍去)，x2＝14.

所以2x＝2×14＝28.

答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2.

6.【解】设道路的宽为x米，将道路分别向上，向右平移，如下图，

则草坪部分宽为(20-x)米，长为（32-x）米.

列方程，得（20-x)(32-x)＝540，

整理，得 x2-52x+100＝0，解得 x1＝50（舍去），x2＝2.

答：道路宽为2米.

 课堂小结

 (学生总结，老师点评)

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

1.审：审题，明确已知量、未知量及题中的等量关系；

2.设：设未知数，有直接设和间接设两种设法，因题而异；

3.列：用含所设未知数的代数式表示等量关系中其他未知量，列出方程；

4.解：求出所列方程的解；

5.验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；

6.答：写出答案.

布置作业

教材第42页习题22.3第1，3，4题.

板书设计

课题　第22章　一元二次方程

22.3　实践与探索

第1课时　几何图形问题

【问题1】　　　　　　　　　　　　　　　　例1

列一元二次方程解应用题的一般步骤　　　　　　　　　　　　

【问题2】　　　　　　　　　　　　　　　　例2

列一元二次方程解决图形面积问题

教学反思

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