数学九年级上册24.4 解直角三角形第2课时学案设计

教学目标

1.理解仰角、俯角的含义，能准确运用这些概念来解决一些实际问题.

2.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.

教学重难点

重点：理解解直角三角形的含义.

难点：能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.

教学过程

复习巩固

1.锐角三角函数：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则

两锐角关系：∠A+∠B＝90°.

三边关系：a2+b2＝c2.

边角关系：

(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sin A＝；

(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cos A＝；

(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tan A＝.

2.解直角三角形有以下基本类型：

导入新课

我们已经掌握了直角三角形的有关性质以及边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的重要依据，这节课就是利用直角三角形解关于仰角与俯角的问题.

教师引出课题： 24.4　　解直角三角形

　解与仰角、俯角有关的直角三角形　（第2课时）

探究新知

探究点一　仰角、俯角的概念

活动1（学生交流，教师点评）

阅读教材第113页读一读

【总结】在进行观察或测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；

从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

典例讲解（师生互动）

例1   如图，为了测量电线杆的高度BC，在离电线杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得电线杆顶端C的仰角a＝52°，求电线杆BC的高.（精确到0.1米）

【探索思路】(引发学生思考)本题要求BC，由图示可知BC＝CE+EB，而EB＝DA，因此只要求出CE问题就解决了.

【解】在Rt△CDE中，

∵  CE＝DE tan α＝AB tanα＝10 tan 52°≈12.80（米），

∴ BC＝BE+CE＝DA+CE

＝1.50+12.80＝14.3（米）.

答：电线杆BC的高为14.3米.

探究点二　利用三角函数解实际问题的一般步骤

活动2（学生交流，教师点评）

【总结】利用三角函数解实际问题的一般步骤：

（1）首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论；

（2）找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；

（3）合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案.

例2　如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC.

【探索思路】分析法：要求BC，先求出BD与CD，只要解Rt△ADB、Rt△ADC.

【解】由题意，得α＝30°，β＝60°，AD＝100米，∠ADC＝∠ADB＝90°.

∴ 在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝100米，

∴ tan α＝＝＝，∴ BD＝米.

在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝100米，

∴ tan β＝＝＝，∴ CD＝100米.

∴ BC＝BD+CD＝+100＝ (米)，

即这栋楼的高度BC是米.

【题后总结】(学生总结，老师点评)首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ADB、△ADC，利用BC＝BD+CD可求出答案.

【归纳】

仰角、俯角问题的常见基本模型：

模型一　　　　　　　　　　模型二

模型三　　　　　　　　模型四　　　　　模型五

【即学即练】

如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲乙两人分别在相距6米的C，D两处测得B点和A点的仰角分别是42°和65°，且C，D，E在一条直线上.如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)

【解】在Rt△ADE中，∠ADE＝65°，DE＝15米，

则tan∠ADE＝，

即tan 65°＝≈2.1，

解得 AE≈31.5米.

在Rt△BCE中，∠BCE＝42°，CE＝CD+DE＝21米，

则tan∠BCE＝，

即tan 42°＝≈0.9，

解得 BE≈18.9米.

则AB＝AE-BE＝31.5-18.9≈13(米).

即旗杆AB的长大约是13米.

【方法总结】

把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.

课堂练习

1.如图所示，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30 m的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为(    )

A. m  B.30sin α m

C.30tan α m  D.30cos α m

2.如图所示，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机的飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为(    )

A.1 200 m  B.1 200 m 

C.1 200 m　　　 D.2 400 m

3.如图所示，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB.已知观测点C到旗杆的距离CE＝8 m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部B的俯角∠ECB＝45°，那么，旗杆AB的高度是(    )

A.() m  B.(8) m 

C. m D.m

 4.如图，从热气球C上测得建筑物A，B底部的俯角分别为30°和60°.如果这时热气球高度CD为150米，且点A，D，B在同一直线上，则建筑物A，B间的距离为(    )

A.150 m  B.180 m 

C.200 m  D.220 m

5.如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m到C点，又测得楼顶的仰角为45°，则高楼的高度大约为为多少米.

6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为多少米.

参考答案

1.C　【解析】在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，

∵ BO＝30 m，∠ABO＝α，tan∠ABO＝，

∴ AO＝BOtan α＝30tan α m.故选C.

2.D　【解析】由题意，得∠B＝30°，所以sin B＝.

又AC＝1 200 m，

所以AB＝2AC＝2 400 m.

3.D　【解析】由题意，得AE＝CEtan∠ECA＝8× (m)，

BE＝CEtan∠ECB＝8(m).

∴ AB＝BEAE＝ m.

4.C　【解析】∵ ∠A30°，∠B60°，在Rt△ACD中，tan A，

∴ AD 150（m）.在Rt△BCD中，tan B ，

∴ BD50（m），

∴ ABADBD200（m）.

5.【解】设楼高AB为x m.在Rt△ADB中，DB.

∵ ∠ACB45°，

∴ BCABx.∴ CDBDBC(1)x60，解得x82.

故高楼的高度大约为82米.

6.【解】如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G.由题意知C，E，G三点共线.

设AG＝x m.由题意可知AB⊥DB，CG∥DB，∠AGE＝90°.

在Rt△AEG中，∵ ∠AEG＝60°，tan∠AEG＝，∴ EG＝x(m).

在Rt△ACG中，∵ ∠ACG＝30°，tan∠ACG＝，

∴ CG＝x(m).

∵ CE＝DF＝100 m，而CGEG＝CE，∴ x＝100，解得x＝50.

∴ AB＝AGGB＝(501) m.

课堂小结

 (学生总结，老师点评)

仰角、俯角的概念：

在进行观察或测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；

从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

利用三角函数解实际问题的一般步骤：

（1）首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论；

（2）找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；

（3）合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案.

【方法总结】

把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.

布置作业

教材第114页练习题第1，2题.

板书设计

课题　24.4　解直角三角形

解与仰角、俯角有关的直角三角形　（第2课时）

一、仰角、俯角的概念　　　　　　　　　　　　　　　　例1

从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；

从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.　　　　　

二、解直角三角形的基本模型　　　　　　　　　　　　　例2

  模型一　　　　　　　　　　模型二

模型三　　　　　　　　模型四　　　　

　模型五

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