初中数学华师大版九年级上册24.4 解直角三角形第3课时学案及答案

教学目标

1.理解坡度与坡角的概念，能准确运用这些概念来解决一些实际问题.

2.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.

教学重难点

重点：理解坡度与坡角的概念.

难点：运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题.

教学过程

复习巩固

1.锐角三角函数：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则

两锐角关系：∠A+∠B＝90°.

三边关系：a2+b2＝c2.

边角关系：

(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sin A＝；

(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cos A＝ ；

(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tan A＝.

2.解直角三角形有以下基本类型：

导入新课

我们已经掌握了直角三角的有关性质以及边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的重要依据，这节课就是利用直角三角形解与坡度、坡角有关的问题.

教师引出课题：24.4　解直角三角形

解与坡度、坡角有关的直角三角形　（第3课时）

探究新知

探究点一　坡度、坡角的概念

活动1（学生交流，教师点评）

阅读教材第115页读一读

【总结】在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.

如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），

记作i，即i＝.

  坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作∠α，即i＝＝tan α.

显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.

活动2（学生交流，教师点评）

典例讲解(师生互动)

例1  如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米）

【探索思路】(引发学生思考)本题要求AB的长，由图示可知作梯形的两条高把梯形分成两个直角三角形和一个矩形，把线段AB分成三部分，只要求出这三部分的长，即可得到路基下底的宽.

【解】作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F.

由题意可知DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）.

在Rt△ADE中，∵

∴

在Rt△BCF中，同理可得

∴ AB＝AE+EF+BF≈6.72+12.51+7.90≈27.1（米）.      

答：路基下底的宽约为27.1米.

【即学即练】

1.利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6 的一块

(图中阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，

渠道底面宽BC为0.5 ，求：

①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；

②修一条长为100 的渠道要挖去的土方数.

【解】如图分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，∵ ，

∴ AE＝1.5×0.6＝0.9().

在等腰梯形ABCD中，可得FD＝AE＝0.9().

∴ AD＝2×0.9+0.5＝2.3().

.

总土方数＝截面积×渠长

＝0.8×100＝80(3).

答：横断面ABCD面积为0.8 m2，修一条长为100 m的渠道要挖出的土方数为80 m3.

【题后总结】

把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.

活动3（学生交流，教师点评）

【总结】

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4）得到实际问题的答案.

探究点二　方向角

活动4（学生交流，教师点评）

【思考】下图中，你能说出射线OA，射线OB，射线OC表示的方向吗？

射线OA，表示南偏西25°；射线OB表示北偏西70°；

射线OC表示南偏东60°.

【总结】指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.

如图：点A在点O的北偏东30°方向上，

点B在点O的南偏西45°方向上.（西南方向）

活动5（学生交流，教师点评）

典例讲解（师生互动）

例2　海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

【探索思路】(引发学生思考) 要判断渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险，只要求出点A到直线BF的距离与8海里相比较，因此想到过点A作BF的垂线，构造直角三角形，来解直角三角形.

【解】过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于点F，∠AFD＝90°.

由题意图示可知∠DAF＝30°，设DF＝ x，AD＝2x，

则在Rt△ADF中，根据勾股定理，得

x.

在Rt△ABF中，tan∠ABF＝，tan30°＝＝.解得x＝6，

∴ AF＝x＝≈10.4.

∵ 10.4 > 8，∴ 没有触礁危险.

【题后总结】　点A到直线BF的距离，如果大于8海里，则没有危险，如果小于8海里，则有危险.

【即学即练】

2.如图所示，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20 n mile.渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近.同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20min后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为(    )

A.10 n mile/h 

B.30 n mile/h

C.20 n mile/h 

D.30 n mile/h

答案:D　

【解析】在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝80°-20°＝60°，

∴ ∠C＝180°-∠BAC-∠ABC＝180°-30°-60°＝90°，

∴ cos∠BAC＝，即cos 30°＝，∴ AC＝10 (n mile)，

∴ 救援船航行的速度v＝＝30(n mile/h).

课堂练习

1.已知沿一山坡水平方向前进40 m，就升高20 m，那么这个山坡的坡度是(    )

A.1∶2  B.2∶1 

C.1∶  D.∶1

2.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶，堤高BC10 m，则坡面AB的长度是(    )

A.15 m  B.20 m

C.20 m  D.10 m

3.如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC＝9.8 m，路基高BE＝5.8 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值.

4.（2019·湖北随州中考）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里.

（1）求收到求救讯息时事故渔船偏P与救助船B之间的距离；

（2）若救助船A，B分别以40海里／小时、30海里／小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达.

参考答案

1.A　【解析】设这个山坡的坡角为α，则tan α＝，

所以这个山坡的坡度是1∶2.

2.C　【解析】在Rt△ABC中，∠ACB90°，tan A＝，

∵ BC10 m，tan A1∶.

∴ ，AC10，

∴ AB＝＝ 20(m).∴ AB的长度为20 m.

3.【解】过点C作CF⊥AD于点F，

则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.

∵ BE＝5.8 m， i＝1∶1.6，i′＝1∶2.5，

∴ AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m).

∴ AD＝AE+FE+DF＝9.28+9.8+14.5≈33.6(m).

由tan α＝i＝1∶1.6，tan β＝i′＝1∶2.5，得

α≈32°，β≈22°.

即铁路路基下底宽为33.6 m，斜坡的坡角分别为32°和22°.

4.【解】（1）过点P作PH⊥AB，由题意得∠A＝30°，∠B＝45°，

在Rt△PHA中，∵ AP＝120，∠A＝30°，∴ PH＝PA＝60.

在Rt△PHB中，∵ ∠B＝45°，sinB＝，∴ PB＝PH＝60（海里）.

答：收到求救讯息时事故渔船偏P与救助船B之间相距60海里.

（2）依题意可得A船所需时间为＝＝3（小时），B船所需时间为＝ ＝2（小时）.因为＞，所以B船先到达.

课堂小结

(学生总结，老师点评)

坡度、坡角的概念：

坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.

记作i，即i＝ .

 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作∠，即i＝＝tan .

显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.

布置作业

教材第116页练习题，习题24.4第4题.

板书设计

课题　24.4　解直角三角形

解与坡度、坡角有关的直角三角形　（第3课时）

一、坡度、坡角的概念：　　　　　　　　　　　   例1

坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比

叫做坡面坡度（或坡比）,记作i，即i＝ .

坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作∠，　　　　　例2

即i＝ ＝tan .

二、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程.

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