初中数学华师大版九年级上册24.2直角三角形的性质导学案及答案

教学目标

1.掌握直角三角形边、角的性质.

2.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和“含30 °的直角三角形”的性质.

3.会运用直角三角形的性质解决有关问题.

教学重难点

重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用.

难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明方法.

教学过程

复习巩固

直角三角形两锐角、三边之间的关系：

如图，在Rt △ABC中，∠C＝90°.

两锐角关系：A+∠B ＝90°.

三边关系：AC2 + BC2 ＝ AB2.­

导入新课

活动1　（小组讨论，教师点评)

【探究】任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？

我们来验证一下！

教师引出课题：

24.2　直角三角形的性质

探究新知

探究点一　直角三角形斜边上的中线的性质

活动2　（小组讨论，教师点评)

画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系.

小组讨论结果：发现CD恰好是AB的一半.

师：下面让我们用推理证明这一猜想.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.

求证：CD＝AB.

【探索思路】中线辅助线作法：将中线延长一倍.

延长CD到点E，使DE＝CD，连结AE、BE.

∵ CD是斜边AB的中线，

∴ AD＝BD.

又∵ DE＝CD，

∴ 四边形ACBE是平行四边形.

又∵ ∠ACB＝90°，

∴ 四边形ACBE是矩形，

∴ CE＝AB，

∴ .

【总结】在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

数学语言表述为：

在Rt△ABC中，

∵ CD是斜边AB上的中线，

∴ CD＝AD＝BD＝AB.

（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

合作探究，解决问题（小组讨论，教师点评）

典例讲解（师生互动）

例1　如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，M，N分别是BC，ED的中点，试说明：MN⊥DE.

【探索思路】(引发学生思考)观察法：M为BC的中点，BD，CE是高，可得到直角三角形，联想到直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此连结EM，DM得到EM＝DM，再根据等腰三角形的三线合一的性质使问题得证.

【证明】连结EM、DM.

∵ BD、CE是高，M是BC的中点，

∴ 在Rt△BCE和Rt△BCD中，EM＝DM.

∴ △DEM是等腰三角形.

又∵ N是ED的中点，

∴ MN⊥ED.

【注意】推理过程中要有理有据.

【即学即练】（小组讨论，教师点评）

如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点.求证：EF⊥BD.

【证明】如图，连结BE、DE.

∵ ∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，

∴ BE＝AC＝DE.

∵ F是BD的中点，

∴ EF⊥BD.

【题后总结】(学生总结，老师点评)由中点我们一般可以联想到中位线和直角三角形斜边上的中线.熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键.

探究点二　含30°角的直角三角形的性质（拓展）

【问题】　 用两个含有30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？

【操作】

【互动】拼出的三角形中有等边三角形吗？说说你的理由？由此你想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

【猜想】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则有BC＝AB.

【证明】如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连结AD.

∵ ∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴ ∠ACD＝90°，∠B＝60°.

∵ AC＝AC，

∴ △ABC≌△ADC（SAS）.

∴ AB＝AD（全等三角形的对应边相等）.

∴ △ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.

∴ AB＝BD.

∴ BC＝BD＝AB.

【总结】在直角三角形中， 如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

几何语言：

在△ABC中，

∵ ∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴ BC＝AB(在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).

合作探究，解决问题（小组讨论，教师点评）

典例讲解（师生互动）

例2  如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠B＝15°， CD是腰AB上的高，求证：CD＝AB.

【探索思路】(引发学生思考) 根据已知条件AB＝AC，∠B＝15°，结合图形，可利用三角形外角的定理求出∠DAC＝30°.联想到含30°角的直角三角形的性质.

【解】在△ABC中，

∵ AB＝AC，∠B＝15°(已知)，

∴ ∠B＝∠ACB＝15°（等边对等角），

∴ ∠DAC＝∠B+∠ACB＝ 15°+15°＝30°.

∵ CD是AB边上的高，

∴ ∠ADC＝90°，∴ CD＝AC（在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

∴ CD＝AB.

【题后总结】(学生总结，老师点评)运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形.

【即学即练】　

  2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，求AB的长度.

【解】在Rt△ABC中，∵ CD是斜边AB上的高，

∴ ∠ADC＝90°，

∴ ∠ACD＝∠B＝30°，

∴ 在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，

∴ 在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm，

即AB的长度是12 cm.

课堂练习

1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为(　　)

A.15° B.25°

C.35° D.45°

2.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，且E是AC的中点.若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于(　　)

A.5 B.6

C.7 D.8

3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且EC＝5，则AE的长为　　　.

4.如图，在△ABC中，若∠BAC＝120°，AB＝AC， AD⊥AC于点A，BD＝3，则BC＝______.

5.如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝，等腰Rt△ACD的斜边AD在AB边上，求BC的长.

6.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点(不与A、B重合)，DE⊥BC于点E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由.

参考答案

1.C　　2.D　　　3.10.　4.9

5.【解】如图，过点C作CE⊥AB交AB于点E.

由△ACD是等腰直角三角形可得△AEC是等腰直角三角形.

设CE＝x，

则2x2＝()2，

∴ x＝1，

即CE＝1.

在Rt△CEB中，∠CEB＝90°，∠B＝30°，

∴ BC＝2CE＝2.

6.【解】△PAE为等边三角形.理由：

∵ 在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，

∴ PA＝PC＝CD，

∴ ∠ACD＝∠PAC，

∴ ∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD.

同理，在Rt△CED中，PE＝PC＝CD，∠DPE＝2∠DCB，

∴ PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，

∴ ∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，

∴ △PAE是等边三角形.

课堂小结

 (学生总结，老师点评)

布置作业

教材第104页练习第1，2，3题，习题24.2第1，2，3题.

板书设计

课题　　　24.2　直角三角形的性质

一、直角三角形斜边上中线的性质　　　　　　　 例1　　　　　　　　

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.　       例2

二、含30°角的直角三角形的性质

直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.

教学反思

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