初中数学华师大版九年级上册1. 相似三角形导学案及答案

教学目标

1.理解并掌握相似三角形的定义.

2.掌握由平行线判定两个三角形相似.

3.经历三角形相似的定义及由平行线判定两个三角形相似的探究过程.

教学重难点

重点：相似三角形的定义，由平行线判定两个三角形相似.

难点：根据两个三角形相似求线段的长或角的度数.

教学过程

复习巩固

1.什么叫相似多边形呢？

两个边数相同的多边形，如果它们的各边对应成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相似.

2. 什么叫相似比？

相似多边形对应边的比叫做相似比.

3.平行线分线段成比例基本事实可以得到结论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

导入新课

【问题1】

活动1（学生交流，教师点评）

【思考】

1.（1）观察你与老师的直角三角尺，相似吗?

（2）这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？

（3）这两个三角形的三条对应边有什么关系？

2.三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？

【答案】1.（1）相似.（2）三个内角对应相等.（3）对应成比例.2.相似.

教师：你能类似的给相似三角形下一个定义吗？

教师引出课题：23.2　相似三角形　1　相似三角形

探究新知

探究点一　相似三角形

活动2（学生交流，教师点评）

1.相似三角形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.

在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，它们是对应边成比例、对应角相等的三角形.

如图所示，在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，

＝＝，此时△ABC与△A′B′C′相似，

记作△ABC∽△A′B′C′，读作：△ABC相似于△A′B′C′.

2.相似比：如果记 ，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比.

【注意】对应线段写在对应的位置.

探究点二　相似三角形的性质

【问题2】

活动3（学生交流，教师点评）

【思考】

已知: △ABC∽△DEF， 你能得到哪些结论？

∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F；

＝＝.

【总结】

相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例.

探究点三　由平行线判定两个三角形相似

【问题3】阅读教材第62页“做一做”

学生回答：这两个三角形相似.

老师点评后，提出如何来验证此结论成立？

探究：在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ABC与△ADE有什么关系？

结论：△ABC∽△ADE.

理由：过点E作EF∥AB交BC于点F，

因为DE∥BC，EF∥AB，

所以.　

因为四边形DBFE是平行四边形，所以DE＝BF.

所以.

所以.

因为∠A＝∠A ， ∠ADE＝∠ABC ，∠AED＝∠ACB.

所以△ABC∽△ADE.

活动4（学生交流，教师点评）

【总结】平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.

符号语言表示：

如图所示，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.

活动5　典例讲解（师生互动）

例1　如图，△ABC∽△AB′C′，∠A＝35°，∠B＝72°，求∠AC′B′的度数.

【探索思路】（引发学生思考）已知相似三角形及2个角，如何运用相似三角形的定义求出未知的角度？

【解】∵ ∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝35°，∠B＝72°，

∴ ∠C＝180°-35°-72°＝73°.

∵ △ABC∽△AB′C′，∴ ∠AC′B′＝∠C＝73°.

【题后总结】（学生总结，老师点评）相似三角形的对应角相等.

例2　如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形共有多少对？

【探索思路】（引发学生思考）利用相似三角形的预备定理解题.

【解】∵ DE∥BC，EF∥AB，

∴ △ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，

∴ △ADE∽△EFC，

∴ 图中相似三角形共有3对.

【题后总结】（学生总结，老师点评）解决此类问题一般运用“平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似”来解题.

【即学即练】（学生独学）

如图，在ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F.过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形共有多少对？

【解】图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，

△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA，共5对.

理由是：

∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD∥BC，AB∥CD，BC＝DA，∠ABC＝∠D，AB＝CD，

∴ △ABC≌△CDA，即△ABC∽△CDA.

∵ GE∥BC，

∴ △AGE∽△ABC∽△CDA.

∵ GE∥BC，AD∥BC，∴ GE∥AD，

∴ △BGE∽△BAF.

∵ AD∥BC，∴ △AFE∽△CBE.

课堂练习

1.如图所示，点P是平行四边形 ABCD边AB上一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　）

A.0对                           B.1对 

C.2对                           D.3对

2.如图所示，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，

（1）请找出图中所有的相似三角形；

（2）如果AD＝1，DB＝3，那么DG∶BC＝_____.

3.如图所示，在△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来.

4.如图所示，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB.

（1）求∠APB的大小；

（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系.

5.如图所示，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE//BC，DE＝5.求BC的长.

参考答案

1.D   2.（1）△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC　（2）1:4

3.【解】与△ ABC相似的三角形有3个 ，分别是△ADE，△GFC，△GOE.

4.【解】（1）∵ △PCD是等边三角形，

∴ ∠PCD＝60°，

∴ ∠A+∠APC＝60°.

∵ △ACP∽△PDB，

∴ ∠APC＝∠B，

∴ ∠A+∠B＝60°，

∴ ∠APB＝120°.　

（2）∵ △ACP∽△PDB，

∴ ＝.

∵ △PCD是等边三角形，

∴ CD＝PC＝PD，

∴ CD2＝AC·BD.

5.【解】∵ DE∥BC，

∴ △ADE∽△ABC，

∴

∴

课堂小结

（学生总结，老师点评）

相似三角形的定义：

对应边成比例，对应角相等的三角形是相似三角形.

表示方法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，如果△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.

判断方法：平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.

布置作业

教材第63页练习题第1，2，3题.

板书设计

课题　23.3　相似三角形

1　相似三角形

【问题1】　　　　　　　　　　　　　　探究一

相似三角形定义

【问题2】　　　　　　　　　　　　　　例1　

相似三角形的性质　　　　　　　

【问题3】　　　　　　　　　　　　　　例2

由平行线判定两个三角形相似　

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