初中数学华师大版九年级上册2. 相似三角形的判定第1课时导学案

教学目标

1.了解判定定理1：“两角分别相等的两个三角形相似”的推导过程的推导过程.

2.掌握相似三角形的判定定理1.

教学重难点

重点：掌握相似三角形的判定定理1.

难点：会运用相似三角形的判定定理1解决问题.

教学过程

复习巩固

1.什么叫相似三角形？

对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.

2.什么叫相似比？

相似三角形对应边的比叫做相似比.

3.判定三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.

4.相似三角形的性质：

相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似比等于对应边的比.

导入新课

【问题】

活动1（学生交流，教师点评）

思考

1.（1）观察你与老师的直角三角尺 （30°与60°），会相似吗？通过测量得出你的猜想. 相似吗?

（2）这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？

（3）这两个三角形的三条对应边有什么关系？

2.三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？

【答案】1.（1）相似.（2）三个内角对应相等.（3）对应边成比例.2.相似.

3. 两个人画出两个三角形 ，使三个角分别为60°，45°， 75° .

①分别量出两个三角形三边的长度；

②这两个三角形相似吗?

学生交流，教师点评.

教师引出课题： 23. 3　相似三角形

2　相似三角形的判定（第1课时）

探究新知

探究点一　利用两角对应相等判定两个三角形相似.

活动2（学生交流，教师点评）

如图，在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′，探究下列问题：

（1）你认为∠C和∠C′相等吗？

（2）请你借助刻度尺度量AB、BC、AC、A′B′、 B′C′、  A′C′的长，并计算出对应边的比值是否相等？

（3）证明△ABC∽△A′B′C′.

（1）【解】在△ABC中，∠C＝180°-∠A-∠B.

在△A′B′C′中，∠C′＝180°-∠A′-∠B′.

∵ ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，

∴ ∠C＝ ∠C′.

（2）【解】借助刻度尺度量发现

（3）【证明】在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，

＝＝.

此时△ABC与△A′B′C′相似.

【总结】

相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.

符号语言表示：在△ABC与△A′B′C′中，

∵ ∠A＝∠A'， ∠B＝∠B'，

∴ △ABC∽△A′B′C′.

记作△ABC∽△A′B′C′，读作：△ABC相似于△A′B′C′.

【即学即练】（师生互动）

1.如图，若∠B＝∠C，则 △ABE∽△ACD，理由是　　　　　　　　　，

且△BOD∽ △COE，理由是　　　　　　　　　　　.

【答案】两角分别相等的两个三角形相似

两角分别相等的两个三角形相似

活动3（学生交流，教师点评）

典例讲解（师生互动）

例1　如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD ∽△ABC.

【探索思路】（引发学生思考）此题属于条件开放性问题，由图可知，△ACD 与△ABC 已有公共角∠A，要使这两个三角形相似，可根据相似三角形的判定方法再寻找一个条件即可.

【解】当满足以下条件时，△ACD ∽△ABC.

条件1 ：∠1 ＝∠B.

条件2 ：∠2 ＝∠ACB.

【即学即练】（学生独学）

2.如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当　　　　时，△ADE∽△ABC，其中D、E分别对应B、C（填一个条件）.

【答案】∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C

活动4（学生交流，教师点评）

典例讲解（师生互动）

例2　如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长.

【探索思路】（引发学生思考）线段平行→得角相等→得三角形相似→相似三角形定义→线段比例式→得BC的长.

【解】∵ DE∥BC，

∴ ∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.

∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），

∴ ＝，

∴ BC＝＝＝14.

【课后总结】（学生总结，老师点评）先判定三角形相似，再运用相似三角形的性质可计算边的长.

课堂练习 

1.如图所示的三个三角形中，相似的是（　　）

A.（1）和（2）                     B.（2）和（3）

C.（1）和（3）                     D.（1）和（2）和（3）

（1）　　　　　（2）　　　　　（3）

2.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.

3.如图，∠ABD＝∠C，AD＝2，AC＝8，求AB 的长. 

4.如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A、B、D，使AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C，测得AC＝120 m，CB＝60 m，BD＝50 m，请你帮助他们算出峡谷的宽AO.

5.如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB 的延长线交于点E、F.

（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？

（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由.

参考答案

1.A

2.解：∵ DE∥BC，∴ ∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.

∵ EF∥AB，∴ ∠B＝∠EFC ，∴ ∠ADE＝∠EFC.

∴ △ADE∽△EFC.

3.【解】∵ ∠A＝ ∠A，∠ABD＝∠C ，∴ △ABD∽△ACB ，

∴ AB∶AC ＝AD∶AB，∴ AB2 ＝AD·AC.

∵ AD＝2，AC＝8，∴ AB ＝4.

4.【解】∵ AB⊥AO，DB⊥AB，∴ ∠A＝∠B＝90°.

又∠ACO＝∠BCD（对顶角相等），

∴ △ACO∽△BCD，∴ ＝.

∵ AC＝120 m，CB＝60 m，BD＝50 m，∴ ＝，

解得AO＝100，∴ 峡谷的宽AO是100 m.

5.【解】（1）相似.理由：由直线l垂直平分线段AC及四边形ABCD是矩形可得，

∠AFO＝∠CFO＝∠BAC.

又∠AOF＝∠ABC＝90°，所以△ABC∽△FOA.

（2）四边形AFCE 是菱形.

理由：易证△AOE≌△COF，所以AE＝CF.

又因为直线l垂直平分线段AC,

所以AE＝CE，AF＝CF，

所以AE＝CE＝AF＝CF，所以四边形AFCE是菱形. 

课堂小结

（学生总结，老师点评）

相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.

如图所示，在△ABC与△A′B′C′中，

∵ ∠A＝∠A′， ∠B＝∠B'，

∴ △ABC ∽△A′B′C′.

布置作业

教材第67页练习题第1，2题.

板书设计

课题　23.3　相似三角形

2　相似三角形的判定　（第1课时）

【问题】　　　　　　　　　　　　   　例1　　　　　　　　　　　　　　　　

相似三角形的判定定理1：　　　　　　 例2

两角分别相等的两个三角形相似　　　

教学反思

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