第1章 特殊平行四边形 复习课 数学北师大版九年级上册学案

单元复习课

第一章　特殊平行四边形

　菱形的性质与判定

在中考中，通常主要考查菱形的性质和判定的应用．菱形性质的考查侧重计算，菱形判定的考查侧重证明．

1.(2021•白银期末)小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20 cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为(D)

A．20 cm　　　   B．30 cm

C．40 cm　　　　  D．20 cm

2．(2020·荆州中考)如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF.只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是(C)

A．① B．② C．③ D．④

3. (2021•深圳期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB.

(1)求证：四边形ABOE是菱形；

(2)若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长.

【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD＝BD，

∵BD＝2AB，

∴AB＝OB，

∵AE∥BD，OE∥AB，

∴四边形ABOE是平行四边形，

∵AB＝OB，

∴四边形ABOE是菱形；

(2)见全解全析

方法·技巧

1．菱形问题中的转化思想及应用

(1)菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将菱形的问题转化为直角三角形去解决．

(2)有一个内角为60°(或120°)的菱形，连接较短对角线可构成等边三角形，可将菱形问题转化到等边三角形中去解决．

(3)巧用菱形的对称性可解决一些求线段和最小值的问题．

2．易错提醒

在菱形的证明中，一般先证明其是平行四边形，再证邻边相等或对角线互相垂直．而在证明中常忽略证明四边形是平行四边形．

　矩形的性质与判定

主要考查矩形性质的应用，即两对角线相等且互相平分的应用、矩形中的折叠问题等．

1.(2020·连云港中考)如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′处．若∠DBC＝24°，则∠A′EB等于(C)

A．66° B．60° C．57° D．48°

2. (2020·泰安中考)如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：

①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；

④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．

其中，正确结论的个数是(D)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3. (2020·湘西州中考)在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6，0)，点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2.将矩形CODE沿x轴向右平移，当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6时，则矩形CODE向右平移的距离为__2__．

4. (2020·菏泽中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为__3__．

5．(2020·北京中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.

(1)求证：四边形OEFG是矩形．

(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．

【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴OB＝OD，

∵E是AD的中点，

∴OE是△ABD的中位线，

∴OE∥FG，

∵OG∥EF，

∴四边形OEFG是平行四边形，

∵EF⊥AB，

∴∠EFG＝90°，

∴平行四边形OEFG是矩形．

(2)见全解全析

方法·技巧

1．矩形的性质

(1)从角上看，矩形的四个角都是直角，可将矩形问题转化为直角三角形去解决．

(2)从对角线上看，对角线将矩形分为四个等腰三角形，可将矩形问题转化为等腰三角形去解决．

2．矩形判别的两种思路

(1)若四边形为(或可证为)平行四边形，则再证一角为直角或对角线相等．

(2)若已知垂直或直角较多，可证三个角为直角．

3．矩形中的折叠问题易忽略应用勾股定理列方程求解．

　正方形的性质与判定

在中考中，对于正方形的考查主要是正方形性质的应用，其中主要以正方形为背景，考查角或线段的计算．

1．(2020·包头中考)如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE＝56°，则∠CEF＝__22__°.

2. (2021•三明期末)如图，B，E，F，D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为__13__cm.

3.如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.

(1)求证：平行四边形ABCD是矩形．

(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．

【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∴∠DAO＝∠OCB，

∠ADO＝∠OBC，

又∵∠OBC＝∠OCB，

∴∠DAO＝∠ADO，

∴OB＝OC，OA＝OD，

∴OB＋OD＝OA＋OC，

即AC＝BD.∴平行四边形ABCD是矩形．

(2)AB＝AD(答案不唯一).

方法·技巧

1．正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形只需要保证它既是矩形又是菱形即可．

2．正方形中的计算问题通常转化为直角三角形、等腰三角形解决．

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