22.2 一元二次方程的解法（第2课时） 华东师大版九年级数学上册教学详案 学案

教学目标

1.理解配方法解一元二次方程的含义.

2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤.

教学重难点

重点：用配方法解一元二次方程.

难点：把一元二次方程通过配方转化为(x±h)2＝k(k≥0)的形式.

教学过程

复习巩固

一般地，对于形如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的意义，可解得

，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

导入新课

【问题1】

活动1（学生交流，教师点评）

【3 min反馈】

1. (1)x2+6x+ 　　　　 ＝(x+ 　　　　 )2；

(2)x2-x+ 　　　　 ＝(x-　　　　 )2；

(3)4x2+4x+ 　　　　＝(2x+ 　　　　 )2.

【答案】（1）9　　　3

（2）　　　

（3）1　　1

教师总结并引出课题：22.2一元二次方程的解法　

第2课时　配方法

探究新知

探究点一　配方法

【思考】　对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？

【归纳】像这样，通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

【提示】配方法是将方程转化为（x+h)2＝k(k≥0）的形式的方法.

探究点二　用配方法解一元二次方程

【问题2】

活动2（学生交流，教师点评）

怎样解方程x2+6x+4＝0？

把方程变成(x+h)2＝k（k≥0）的形式.

x2+6x+4＝0，移项，得x2+6x＝-4，

两边都加上9，得x2+6x+9＝-4+9，

配方，得(x+3)2＝5，再利用直接开平方法，得x+3＝或x+3 ＝.

.

用配方法解一元二次方程的步骤：

化1： 把二次项系数化为1；

移项：把常数项移到方程的右边；

配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；

变形：将方程化成(x+h)2＝k(k≥0)的形式；

开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；

求解：解一元一次方程；

定解：写出原方程的解.

【注意】在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.

【提示】把方程化为（x+h)2＝k(k≥0)的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解.

活动3（师生互动）

例1　利用配方法解下列方程:

(1)x2-4x-12＝0；

(2)22x2+4x-6＝0.

【探索思路】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

【解答】(1)原方程可化为x2-4x＝12.

配方，得x2-4x+4＝16，即(x-2)2＝16.

直接开平方，得x-2＝±4，

所以x1＝-2，x2＝6.

(2)移项，得22x2+4x＝6.

两边同除以22，得x2+x＝.

配方，得x2+x+＝+，

即＝.

直接开平方，得x+＝±，

所以x1＝，x2＝.

【注意】方程的二次项系数不是1时，先将方程各项除以二次项系数.

【题后总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程，把原方程化为(x±h)2＝k的形式.

若k≥0，则利用直接开平方法求解；若k<0，则原方程无实数根.

活动4（师生互动

即学即练（自主完成）

用配方法解下列方程：

(1)x2+6x+1＝0；　(2)2x2-3x+＝0.

【答案】(1)x1＝2-3，x2＝-2-3.

(2)x1＝，x2＝.

【题后总结】(学生总结，老师点评)把这两个小题通过配方后，利用直接开平方

法求出方程的解.

活动5（师生互动）

例2  试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2-4k+5的值必定大于零.

【探索思路】这是一个二次三项式的最值问题→对x2-4x+5进行配方→确定代数式的值.

【解】k2-4k+5＝k2-4k+4+1

＝（k-2）2+1.

因为(k-2)2≥0，所以（k-2）2+1≥1.

所以不论k取何实数，k2-4k+5的值必定大于零.

【题后总结】(学生总结，老师点评)已知代数式是一个关于x的二次三项式且含有一次项，在求它的最值时，通常用配方法将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，再根据一个数的平方是非负数求出原代数式的最值.

课堂练习

1.将二次三项式x2-4x+1配方后得（      ）

  　A.(x-2)2+3     B.( x-2)2-3     C.(x+2)2+3     D.(x+2)2-3

2.已知x2-8x+15＝0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（   ）

  　A.x2-8x+（-4）2＝31          B.x2-8x+（-4）2＝1

  　C.x2+8x+42＝1                D.x2-4x+4＝-11

3.用配方法解一元二次方程+4x5＝0，此方程可变形为（    ）

A.                B.

C.          　    D.＝1

4.如果mx2+2（3-2m）x+3m-2＝0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则

m等于（    ）

A.1             B.-1         C.1或9       D.-1或9

5.用配方法解下列方程：

(1) x2+12x ＝-9；(2) -x2+4x-3＝0.

6.应用配方法求最值.

(1) 2x2 -4x+5的最小值；

(2) -3x2 +12x -16的最大值.

参考答案

1.B  2.B  3.A   4.C

5.【解】(1) 配方（两边同时加上36），得

    x2+2•x•6+62＝-9+62，即（x+6）2＝27.

    直接开平方，得x+6＝ ，

    所以6 ,6 .

   （2）原方程可化为x2-4x+3＝0.

配方，得（x-2）2＝1，

所以x-2＝±1，

    所以 x1＝1，x2＝3.

6.【解】（1） 2x2 -4x+5 ＝ 2(x-1)2 +3 ,          

  　所以当x ＝1时，有最小值，为3.

（2）-3x2 +12x-16 ＝-3(x-2)2 -4 ,  

所以当x ＝2时,有最大值，为-4.

课堂小结

 (学生总结，老师点评)

配方法

布置作业

教材第27页练习题，第36页习题22.2第1题

板书设计

课题　第22章　一元二次方程

22.2　一元二次方程的解法

第2课时　配方法

【问题1】　　　　　　　　　　　　　　　

【问题2】　　　　　　　　　　　　　　　　

一、配方法

【问题3】　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1

二、用配方法解一元二次方程　　　　　　　　    例2

教学反思

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