初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时教学设计

第3课时　切线长定理和三角形的内切圆

1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理；知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念．

2．通过对例题的学习，养成分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，掌握数形结合的思想．

▲重点:切线长定理及其应用，三角形的内切圆和三角形内心的概念．

▲难点:与切线长定理有关的证明和计算问题；三角形内切圆的计算问题．

◆活动1　新课导入

1．直线和圆有哪几种位置关系？怎样判断它们的位置关系？

答：三种，d>r，相离；d＝r，相切；d<r，相交．

2．你觉得这几种位置关系哪种最特殊？为什么？

答：相切，略．

◆活动2　探究新知

1．教材P99　探究．

(1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由；

(2)求证：△PAO≌△PBO；

(3)由△PAO≌△PBO，可以得出哪些结论？

学生完成并交流展示．

2．教材P99　思考．

提出问题：

(1)三角形内切圆的圆心具有什么性质？

(2)如何确定三角形内切圆的圆心？请画出△ABC的内切圆．

学生完成并交流展示．

◆活动3　知识归纳

1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的线段长叫做切线长．

2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线__的夹角，这就是切线长定理．

3．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．

4．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线__的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__．

◆活动4　例题与练习

例1　教材P100　例2.

例2　为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA＝5cm，求铁环的半径．

解：设圆心为O，连接OA，OP.

∵三角板有一个锐角为30°，∴∠PAO＝60°.

又∵PA与⊙O相切，∴∠OPA＝90°，∴∠POA＝30°.

∵PA＝5cm，∴OP＝5cm.即铁环的半径为5cm.

例3　如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，BC为⊙O的直径．

(1)求证：AC∥OP；

(2)若∠APB＝60°，BC＝8cm，求AC的长．

解：(1)连接OA.∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，

∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠APO＝∠BPO，

∴∠POA＝∠POB.

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.

∵∠BOA＝∠OAC＋∠OCA，

∴∠BOA＝2∠OCA，

∴∠POB＝∠OCA，∴AC∥OP；

(2)连接AB.易证△PAB为等边三角形，∴∠PBA＝60°.

由(1)，得∠PBO＝90°，

∴∠ABO＝30°.∵BC为⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°.∵BC＝8cm，∴AC＝4cm.

练习

1．教材P100　练习第1，2题．

2．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是(　C　)

　A．15°　　　　　　B．20°　　　　　　C．25°　　　　　　D．30°

3．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC等于(　A　)

　A．130°　　　　B．120°　　　　C．100°　　　　D．90°

4．如图，⊙O切△ABC的边BC于点D，切AB，AC的延长线于点E，F，若△ABC的周长为20，则AE＝__10__．

◆活动5　课堂小结

切线长定理，三角形的内切圆及内心，直角三角形内切圆半径公式．

1．作业布置

(1)教材P101～102　习题24.2第6，11，14题；(2)对应课时练习．

2．教学反思