人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试达标测试

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第二十四章  圆的有关计算【导航篇】知识点一：点和圆、直线和圆的位置关系点和圆的位置关系点和圆的位置关系分三种（设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d）:点和圆的位置关系特点性质及判定图示点在圆外点到圆心的距离大于半径点P在圆外d＞r点在圆上点到圆心的距离等于半径点P在圆上d＝r点在圆内点到圆心的距离小于半径点P在圆内d＜r注意：符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.2. 确定一个圆的条件（1）已知圆心、半径，可以确定一个圆；（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.注意：“确定”是“有且只有”的意思，（2）中不能忽略“不在同一条直线上”这个前提条件，过在同一条直线上的三个点不能作圆.3. 三角形的外接圆（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.注意：一个圆可以有无数个内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆.（2）三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.（3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.（4）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.4. 反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 这种方法叫做反证法. 反证法是一种间接证明命题的方法.5. 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系相交相切相离定义直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离图示直线l和⊙O相交直线l与⊙O相切直线l与⊙O相离公共点个数210圆心到直线的距离d与半径r的关系d＜rd＝rd＞r公共点名称交点切点 直线名称割线切线 总结直线l与⊙O相交d＜r直线l与⊙O相切d＝r直线l与⊙O相离d＞r【例1】如图，已知正方形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心画圆，半径为r. 当点D在⊙A内且点C在⊙A外时，r的取值范围是____________. 【例1】【解析】连接AC，∵正方形ABCD中，AB＝2，∴AC＝，AD＝2，以点A为圆心画圆，要使点D在⊙A内，则r＞AD，即r＞2，要使点C在⊙A外，则r＜AC，即r＜，则⊙A的半径r的取值范围是2＜r＜.【答案】2＜r＜ 【巩固】圆的直径为10 cm，若点P到圆心O的距离是d，则（    ）当d＝8 cm时，点P在⊙O内当d＝10 cm时，点P在⊙O上当d＝5 cm时，点P在⊙O上当d＝6 cm时，点P在⊙O内已知⊙O的直径为12 cm，圆心到直线l的距离5 cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（    ）2             B. 1             C. 0             D. 不确定如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，D是AB的中点，则它的外接圆的直径为_____________.【巩固答案】CA10 知识点二：切线的判定和性质切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：应用该定理时，两个条件缺一不可：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径.切线的判定方法（1）定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（2）数量法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.【例2】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接BC，BC平分∠ABD. 求证：CD为⊙O的切线. 【例2】【解析】证明切线的方法：①当已知直线与圆有公共点时，连接圆心和这个公共点，即连半径，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；②当直线与圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”. 本题利用方法①证明即可，因为半径OC已连接，所以只要证明OC⊥CD，利用等腰三角形的性质、平行线的性质和判定即可得证.【答案】证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∴∠OCD＋∠CDB＝180°，∵BD⊥CD，∴∠CDB＝90°，∴∠OCD＝180°－∠CDB＝180°－90°＝90°.即OC⊥CD，又∵OC为半径，∴CD为⊙O的切线. 【巩固】下列说法中，不正确的是（    ）A. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线B. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C. 与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线D. 垂直于半径的直线是圆的切线 2. 如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB＝52°，则∠NOA的度数为（    ）A. 76°           B. 56°           C. 54°           D. 52°【巩固答案】DA 知识点三：切线长定理和三角形的内切圆切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.【例3】如图，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是（    ）PA＝PB               B. ∠BPD＝∠APD           C. AB⊥PD               D. AB平分PD【例3】【解析】因为PA、PB为⊙O的切线，由切线长定理可知PA＝PB ，∠BPD＝∠APD，所以A、B选项成立；在等腰三角形ABP中，根据等腰三角形的性质得到AB⊥PD，所以C选项成立，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D选项不一定成立. 故选D.【答案】D 【巩固】如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，如果∠P＝60°，PA＝2，那么AB的长为（    ）A. 1           B. 2           C. 3           D. 4如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC的度数为（    ）A. 60°           B. 65°           C. 70°           D. 80°【巩固答案】BD 知识点四：正多边形和圆正多边形及有关概念（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.（2）圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆.（3）与正多边形有关的概念名称定义图示中心一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.半径正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径.中心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.边心距正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.（4）正多边形的对称性所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，n为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.正多边形的有关计算（1）正n边形的每个内角都等于.（2）正n边形的每个中心角都等于.（3）正n边形的每个外角都等于.（4）设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则：①半径、边长、边心距的关系为；②周长l＝na；③面积.【例4】如图，边长为12 cm的圆内接正三角形的边心距是_________cm.【例4】【解析】如图，作OH⊥BC于H，连接OB，在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，∴BH＝CH＝6 cm，∵∠ABC＝60°，∴∠OBH＝30°. 设OH＝x cm，∴OB＝2x cm，在Rt△OBH中，由勾股定理得x2＋62＝(2x)2，解得x＝，即OH＝ cm.【答案】 【巩固】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，则∠COD的大小是（    ）A. 30°           B. 45°           C. 60°           D. 90°如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是__________.【巩固答案】C2 知识点五：弧长和扇形面积弧长公式： 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.扇形面积公式（1）已知半径R和n°的圆心角，则.（2）已知弧长l和半径R，则.与圆锥有关的概念（1）圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形.（2）圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.（3）圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.圆锥的侧面积和全面积如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此，. 【例5】如图，已知⊙O的半径是2，点A，B，C在⊙O上，若四边形OABC是菱形，则图中阴影部分的面积为（    ）         B.          C.          D. 【例5】【解析】由题意可知，阴影部分的面积是由两个面积相等的弓形面积组成，弓形面积可以看成是扇形OBC的面积和三角形OBC的面积的差，因为四边形OABC是菱形，所以OC＝BC，又OB＝OC，所以△OBC是等边三角形，所以. 故选C.【答案】C 【巩固】如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为（    ）A.              B.              C.              D. 如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB＝a，则图中阴影部分的面积是（    ） A.         B.          C.          D.  【巩固答案】1. D2. B