2021学年22.1 一元二次方程学案

教学目标

1.理解一元二次方程的概念；

2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.

3.理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.

教学重难点

重点：理解一元二次方程的概念；根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.

难点：正确将一元二次方程化为一般形式，并能识别其中的“项”及“系数”.

教学过程

导入新课

【问题1】

活动1（学生交流，教师点评）

幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面

积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？

解：设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为__________,长表示为________,

则列方程为_______________ ，整理得_________________.

【答案】(5-2x)m　 (8-2x)m　　　(8-2x)(5-2x)＝18

4x2 -26x+22 ＝0

变式：桌上有一张矩形纸片，长25cm，宽15cm，在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为300cm2，那么纸片各角应剪去的正方形的边长为多少厘米？

【解】设剪去的正方形的边长为x cm，

则无盖方盒的底面的长为（25-2x）cm ，宽为（15-2x）cm ，

根据题意，可列方程为

（25-2x）（15-2x ）＝ 300,

整理，得4x2 -80x+75 ＝0.

活动2（学生交流，教师点评）

思考　观察方程：

4x2 -26x+22＝0；4x2-8x+75＝0；x2+12x-15＝0.

提出问题：这三个方程都不是一元一次方程，那么这三个方程与一元一次方程的区

别在哪里？它们有什么共同特点呢？

共同特点：①是整式方程(方程两边的分母中不含有未知数）；②只含有一个未知数.

区别：未知数的最高次数是2.

教师总结并引出课题：22.1一元二次方程　.

探究新知

探究点一　一元二次方程

【归纳】一元二次方程

1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做

一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.

【注意】在一元二次方程ax2+bx+c＝0中，不要忽略a≠0这个条件.

【问题2】活动3（师生互动）

例1　下列方程：(1)3x+2＝5x-3；(2)x2＝4；(3) -1＝x2；(4)x2-4＝(x+2)2.

其中哪些一定是关于x的一元二次方程？

【探索思路】(引发学生思考)一元二次方程应满足什么条件？

答：(2)一定是关于x的一元二次方程.

【题后总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程的方法：先

将其化简，使方程的右边为0，左边合并同类项，然后观察其是否是只含有一个未

知数且未知数的最高次数是2的整式方程，最后作出判断.

活动4　即学即练(学生独学)

下列方程是一元二次方程的是(　　)

A.ax2+bx+c＝0

B.3x2-2x＝3(x2-2)

C.x3-2x-4＝0

D.(x-1)2+1＝0

【答案】D

例2　把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项

系数和常数项.

(1)2x2＝1-3x；　(2)5x(x-2)＝4x2-3x.

【探索思路】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是什么？什么是二次项系

数、一次项系数和常数项？

【解】(1)2x2＝1-3x的一般形式是2x2+3x-1＝0，二次项系数为2，一次项系数为3，

常数项为-1.

(2)5x(x-2)＝4x2-3x的一般形式是x2-7x＝0，二次项系数为1，一次项系数为-7，常

数项为0.

【题后总结】(学生总结，老师点评)一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0(a≠0)，

只有将一元二次方程化为一般形式后，才能确定二次项系数、一次项系数和常数项，

且通常情况下要把二次项系数变为正数.

活动5　 (师生互动)

例3　将方程3x(x-1)＝5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项

及它们的系数和常数项.

【解】去括号，得3x2-3x＝5x+10.

移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10＝0.

其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.

注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；

（2）系数和项均包含前面的符号.

【问题3】活动6（师生互动）

例4　关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+1＝0，试证明无论a取何值，该方程都是

一元二次方程.

【探索思路】要使该方程是一元二次方程，必须保证二次项系数不等于0.

【证明】∵ a2-8a+20＝(a-4)2+4≥4，

∴ 无论a取何值，该方程的二次项系数都不会等于0，即该方程是一元二次方程.

即学即练

已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m＝0.

(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？

(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出二次项系数、一次项系数及常数项.

【探索思路】（1）当方程是一元一次方程时，则二次项系数等于0，一次项系数不

等于0，列式求解即可.

(2) 当方程是一元二次方程时，则必须满足二次项系数不等于0.

【解】(1)根据一元一次方程的定义可知，m2-1＝0，m+1≠0，解得m＝1.即当m＝

1时，此方程是一元一次方程.

(2)根据一元二次方程的定义可知，m2-1≠0，解得m≠±1.即当m≠±1时，此方程

是一元二次方程.其二次项系数是m2-1、一次项系数是-(m+1)，常数项是m.

探究点二　一元二次方程的解

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.

【问题4】活动7（师生互动）

思考：下面哪些数是方程 x2–4x+3 ＝0的解？   

-2 0,1,2,3,4.

【解】1和3.

【题后总结】(学生总结，老师点评)一元二次方程的根可能不止一个.

【问题5】活动7（师生互动）

例5　已知a是方程 x2+2x-2＝0的一个实数根,  求3a2+6a+ 2 019的值.

【探索思路】把x＝a代入方程 x2+2x-2＝0 得到一个关于a的方程，再进行变形，代入要求的代数式中进行求值.

【解】由题意，得,，

∴ 3a2+6a+2019＝ 3(a2+2a)+2 019 ＝3×2 +2 019＝2 025.

【方法总结】已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，

将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值.

课堂练习

1.判断下列各式是否为一元二次方程？

(1)3x²-x＝2；   　 　　(    ) 

(2)2(x-1)²＝3y；   　　(    )

(3)3x²-2x+5；     　　 (    ) 

(4)＝0；  　　(    )　　　           

(5)(m²+5)x²+7x-1＝0.   (    )

2.方程（2a-4）x2-2bx+a＝0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件

下此方程为一元一次方程？

3.当a为何值时，下列方程为一元二次方程？

（1）ax2-x＝2x2；（2）(a-1)-2x-7＝0.

4.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a＝0的一个根是3，求a的值.

5.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4＝0有一个根为0，求m的值.

参考答案

1.（1）是　（2）不是　（3）不是　（4）不是　（5）是　　

2.【解】若（2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元二次方程，则二次项系数不为零，

∴2a-4 ≠0，解得a≠2.

即当a≠2时，(2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元二次方程.

若（2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元一次方程，

则二次项系数为零，一次项系数不为零，

∴ 2a-4 ＝0且-2b ≠0，解得a＝2，b≠0,

即当a＝2，b≠0时， (2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元一次方程.

3.【解】(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x＝0,

所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程.

(2)由题意得|a|+1 ＝2，且a-1 ≠0，所以a＝-1，

所以当a＝-1时，原方程是一元二次方程.

4.【解】把x＝3代入方程x2+ax+a＝0，

得32+3a+a＝0,

即9+4a＝0，

∴ 4a＝-9，

∴

5.【解】将x＝0代入方程，得m2-4＝0，

解得m＝ ±2.

又∵ m+2 ≠0，

∴ m ≠-2，

∴ m ＝2.

课堂小结

 (学生总结，老师点评)

　一元二次方程　

布置作业

教材第19页练习题，第20页习题22.1第1,2,3题

板书设计

课题　第22章　一元二次方程

22.1　一元二次方程

【问题1】　　　　　　　　　　　　　　　　例1

一元二次方程：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.

【问题2】　　　　　　　　　　　　　　　　例2

一元二次方程的一般式：

ax2+bx+c＝0(a≠0)

【问题3】　　　　　　　　　　　　　　　　例3

【问题4】　　　　　　　　　　　　　　　　例4

【问题5】　　　　　　　　　　　　　　　　例5

一元二次方程的根

教学反思

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