22.2 一元二次方程的解法（第3课时） 华东师大版九年级数学上册教学详案 学案

教学目标

1.理解和掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤，并能正确运用公式法解一元二次方程.

2.理解b2-4ac≥0是求根公式使用的前提和重要的组成部分，当b2-4ac<0时，方程没有实数根.

3.能根据具体一元二次方程的特征灵活选择方程的解法.

教学重难点

重点：学会用公式法解一元二次方程.

难点：能根据具体一元二次方程的特征灵活选择方程的解法.

教学过程

复习巩固　

1.配方法

通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

2.用配方法解一元二次方程的步骤

化1：把二次项系数化为1；

移项：把常数项移到方程的右边；

配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；

变形：将方程化成(x+m)2＝a(a≥0)的形式；

开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；

求解：解一元一次方程；

定解：写出原方程的解.

导入新课

【问题1】

活动1（学生交流，教师点评）

任何一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c＝0 (a≠0).①

你能否也用配方法得出①的解呢？

用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c＝0 (a≠0).①

移项，得

二次项系数化为1，得

配方,得

即②

对于，

因为a≠0,  4a2>0,  当b2-4ac≥0时，

由②式，得即

所以 ,.

教师总结并引出课题：22.2　一元二次方程的解法　

第3课时　公式法

探究新知

探究点一　公式法

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定.

因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c＝0(a≠0).       

当b2-4ac≥0时，将a，b，c直接代入公式,就可以求得方程的

根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公

式法.

由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.                                   

探究点二　用公式法解一元二次方程

【问题2】

活动2（师生互动）

例　利用公式法解下列方程:

(1)

(2)

(3)

【探索思路】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？

【解】（1）因为

所以

所以原方程的根是

（2）原方程变形，得

因为

所以

＝.

所以原方程的根是.

（3）原方程变形，得，即

因为

所以原方程无实数根.

【总结】用公式法解一元二次方程的一般步骤

(1)变形：化已知方程为一般形式.

(2)确定系数:确定a,b,c的值（注意符号）.

(3)计算：求出b2-4ac的值.

(4)判断：若b2-4ac≥0，则利用求根公式求出；

    若b2-4ac<0，则方程没有实数根.

【即学即练】

用公式法解下列方程：

(1)5x2-4x-1＝0；　(2)3x2+5(2x+1)＝0.

【解】（1）∵ a＝5，b＝-4，c＝-1，

∴ b2-4ac＝(-4)2-4×5×(-1)＝16+20＝36，

∴ x＝＝＝，

∴ x1＝1，x2＝-.

（2）将方程化为一般形式，得3x2+10x+5＝0.

∵ a＝3，b＝10，c＝5，

∴ b2-4ac＝102-4×3×5＝100-60＝40，

∴ x＝＝＝，

∴ x1＝，x2＝.

【题后总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：

(1)把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c＝0(a≠0).

(2)确定a，b，c的值.

(3)求出b2-4ac的值.

(4)判断b2-4ac的符号，当b2-4ac≥0时，把a，b及b2-4ac的值代入求根公式，求出x1，x2；当b2-4ac<0时，无意义，此时方程无实数根.

课堂练习

1.用公式法解一元二次方程3x2-2x+3＝0时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述正确的是(　　)

A.a＝3，b＝2，c＝3                 B.a＝-3，b＝2，c＝3

C.a＝3，b＝2，c＝-3        　      D.a＝3，b＝-2，c＝3

2.以x＝为根的一元二次方程可能是(　 　)

A.x2+bx+c＝0 B.x2+bx-c＝0

C.x2-bx+c＝0 D.x2-bx-c＝0

3.方程3x2-5x+1＝0的解，正确的是(　 　)

A.x＝  B.x＝

C.x＝ D.x＝

4.用公式法解下列方程：

(1) 0.3y2+y＝0.8；

(2) 6x2-11x+4＝2x-2；

(3) (x+2)2＝2x+4；

(4) x2+(1+2)x+-3＝0.

参考答案

1.D　　2.D　　3. B　

4.【解】(1)移项，得0.3y2+y -0.8＝0，a＝0.3，b＝1，c＝-0.8，

Δ＝b2-4ac＝12-4×0.3×(-0.8)＝1.96.

y＝＝，

y1＝，y2＝-4.

(2)原方程可化为6x2-13x+6＝0，a＝6，b＝-13，c＝6.

Δ＝b2-4ac＝(-13)2-4×6×6＝25.

x＝＝，

∴ x1＝，x2＝.

(3) 原方程可化为x2+2x＝0，a＝1，b＝2，c＝0.

Δ＝b2-4ac＝22-4×1×0＝4.

x＝＝-1±1，

∴ x1＝0，x2＝-2.

(4)a＝1，b＝1+，c＝-3.

Δ＝b2-4ac＝(1+2)2-4×1×(-3)＝25.

x＝，

∴ x1＝2-，x2＝-3-.

课堂小结

 (学生总结，老师点评)

公式法

用公式法解一元二次方程的步骤：

一化（一般形式）；

二定（系数值）；

三求（b2-4ac的值）；

四判（方程根的情况）；

五代（求根公式计算）.

布置作业

教材第30页练习题，第36页习题22.2第2题.

板书设计

课题　第22章　一元二次方程

22.2　一元二次方程的解法

第3课时　公式法

【问题1】　　　　　　　　　　　　　　　　例题

求根公式推导

【问题2】　　　　　　　　　　　　　　　　练习

公式法解一元二次方程

教学反思

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