2023南京六校联合体高三8月联合调研考试数学含答案

六校联合体2023届高三8月联合调研

数  学 

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，，则（）

A． B．C．D．

2．复数满足，则（）

A． B． C．2 D．

3．若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（）

A． B． C． D．

4．如图，用4种不同的颜色把图中四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）种

A．144B．73       C．48      D．32

5.   将函数的图象向左平移个单位得到函数的    图象，若在上为增函数，则最大值为（）

A． B． 2 C．3 D．

6.若，则的大小关系是（） 

A．B．C． D．

7．设双曲线C:的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且F1P⊥F2P，若△PF1F2的面积为4，则双曲线C的离心率为（）

A． B． 2 C．3          D．

8．定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(1+x)＝f(3-x) ,当x∈[0，2]时，

f(x)＝,若函数y=f(x)-kx在上恰有3个零点，则实数k的取值范围为（）

A．B．C． D．

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．为研究混凝土的抗震强度与抗压强度的关系，某研究部门得到下表的样本数据：

若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法正确的是（）

A．B．当增加1个单位时，增加约0.1个单位

C．与正相关D．若抗压强度为220时，抗震强度一定是33.1

10.已知圆C:,则下列命题正确的是（）

A．若圆C与两坐标轴均相切，则a=b

B．若a=b,则圆C不可能过点（0,2）   

C．若点在圆C上，则圆心C到原点的距离的最小值为4 

D．若圆C上有两点到原点的距离为1，则

11．若，则下列选项正确的是（）

A．B．

C．D．

12．已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（）

A．当时，有且仅有一条切线 

B．当时，可作三条切线，则 

C．当，时，可作两条切线

D．当时，可作两条切线，则 

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an＋Sn＝3，则a5的值为________．

14. 已知,,,,则的值为_______．

15. 是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．

16. 在三棱锥中，△是边长为3的正三角形，且，，

二面角的大小为，则此三棱锥外接球的体积为________．

四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分10分)

已知的三个内角所对的边分别为a,b,c,

.

(1)求角的大小；

(2)若，，求的面积.

18．(本小题满分12分)

已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，数列{bn}为等比数列，且满足bn(an＋1－an)＝bn＋1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2) 数列{bn}的前n项和为Sn，若________，记数列{cn}满足cn＝求数列{cn}的前2n项和T2n．

在①2S2=S3-2,②b2，2a3, b4成等差数列，③S6＝126这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19. (本小题满分12分)

甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立．

（1）求比赛结束，甲得6分的概率；

（2）设比赛结束，乙得分，求随机变量的概率分布列与数学期望．

20. (本小题满分12分)

如图，在四棱锥中，四边形是矩形，△SAD是正三角形，且，AB＝1，P为棱AB的中点，四棱锥的体积为．

（1）若为棱的中点，求证：∥平面；

（2）在棱上是否存在点M，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

21. (本小题满分12分)

已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点,直线与交于点.

（1）设的斜率分别为,求的值;

（2）求证：点在定直线上.

22. (本小题满分12分)

已知函数，.

(1)求函数的极值；

(2)若不等式上恒成立，求a的取值范围；

(3)证明不等式：.

六校联合体2023届高三8月联合调研

数学答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．

1．B 2．A     3．C4．C5．B   6．D    7．D8．A

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．ABC 10. BCD       11．AD        12．ABD

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．

13． 14．15．16．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

解:(1)由,得

,所以………………2分

又在

则,所以………………4分

(2)因为2c-(+1)b=0，所以，

又A=30°,a=1

则根据余弦定理，

………………8分

………………10分

18．（本题满分12分）

解：（1）因为bn(an＋1－an)＝bn＋1，a1＝1，a2＝3，

       令n=1得2b1＝b2，………………1分

又数列{bn}为等比数列，所以bn＋1=2bn，………………3分

则an＋1－an＝2，所以数列{an}是以1为首项2为公差的等差数列，

所以an＝2n-1                                             ………………6分

（2）由（1）知数列数列{bn}为公比为2的等比数列

若选①，由2S2=S3-2得2（b1+2b1）＝b1+2b1+4b1-2，所以b1＝2,则bn =

若选②，由b2，2a3, b4成等差数列得4a3= b2+ b4，即2b1+8b1＝20，所以b1＝2,则bn =

若选③，由S6＝126得，所以b1＝2,则bn =……………8分

所以………………9分

所以数列{cn}的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，                                               ………………10分

所以T2n＝

………………12分

19.（本题满分12分）

解：（1）记事件：“比赛结束，甲得6分”，

            则事件即为乙以败给甲或乙以败给甲，

            所以．

       答：比赛结束，甲得6分的概率为.····································4分

（注：1.漏掉一种情况的概率，扣2分；

2.未写“记事件”或“答”只扣一分，不重复扣分.）

（2）由题意得，，

        则，

，

，····························································10分

   即的分布列为

的数学期望为．……………………… 12分

（注：不写计算过程扣4分）

20．（本题满分12分）

解：（1）取SC中点F，连EF、DF．

因为E，F分别为SB，SC的中点，

所以EFBC．

因为底面ABCD是矩形，P为棱ABCD的中点，

所以PDBC．

因此EFPD，从而四边形PEFD是平行四边形，

所以PE∥FD．····················································3分

又因为FD平面SCD，PE平面SCD，

所以PE∥平面SCD．················································4分

（2）假设在棱SA上存在点M满足题意，

在等边三角形SAD中，P为AD的中点，所以，

又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，平面SAD，

所以平面ABCD，所以SP是四棱锥S-ABCD的高．

设，则，，

所以，所以m＝2．·················································6分

以点P为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

所以，，．

设，

所以．

设平面PMB的一个法向量为，

则，

所以取．························································8分

易知平面SAD的一个法向量为，·······································9分

所以，·························································10分

因为，所以，····················································11分

所以存在点M，位于AS的靠近点S的三等分点处满足题意.···················12分

21．(本小题满分12分)

解：设

....................2分

所以.....................4分

（2）设

得到

.....................6分

直线

直线

联立得:.....................8分

..............10分

解得

所以点在定直线上                          .....................12分

法二：由韦达定理得

.........10分

解得

所以点在定直线上                         .....................12分

备注：1.不研究不扣分

2. 定点化简中应出现“3个变量”到“2个变量”转化

22．(本小题满分12分)

(1)解：，

                    ………………2分

所以当极小值为，无极大值             ………………3分

 (2)解：由不等式上恒成立得

  即，因为，所以

上恒成立                           ………………5分

设，由，

所以在（-2，-1）上递减，在（-1，+）上递增，

所以即，

所以                                    ………………7分

(3)证明：由（2）得在上恒成立，

令，则有 ，                              ………………8分

………………10分

，

.………………12分