2022温州高一下学期期末教学质量统测试题数学（B卷）含答案

温州市2021-2022学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题（B卷）

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

2. 在中，角、、的对边分别是、、，若，则（）

A. 6 B. 7 C.  D.

【答案】B

3. 设，若复数是纯虚数 ( 为虚数单位)，则（）

A. 0 B.  C.  D.

【答案】A

4. 已知两个平面，两条直线，满足，则下列命题正确的是（）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】D

5. 月日是世界读书日，中国新闻出版研究院每年发布全国国民阅读调查报告．下面是年我国成年国民阅读情况折线图，记平均图书阅读率和平均数字化阅读方式接触率分别是和，相应的标准差分别是和，则下列说法正确的是（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

6. 已知向量，向量，则在上的投影向量是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

7. 奖金分配是《概率论》中的一道经典问题：甲、乙两人比赛，假设每局比赛甲、乙两人获胜的概率各为，先胜3局者将赢得全部奖金8万，但进行到甲胜0局，乙胜2局时，比赛因故不得不终止，为公平起见，甲应分配到（）

A. 0 万 B. 1 万 C. 万 D. 4 万

【答案】B

8. 如图，在Rt中，点是斜边的中点，点在边上，且，，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．

9. 用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是（）

A. 长方体 B. 圆台 C. 四棱台 D. 正四面体

【答案】ACD

10. 疫情带来生活方式和习惯的转变，短视频成为观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）

A. 图中

B. 在份有效样本中，短视频观众年龄在岁的有人

C. 估计短视频观众平均年龄为岁

D. 估计短视频观众年龄的分位数为岁

【答案】BCD

11. 已知是等腰直角三角形，，用斜二测画法画出它的直观图，则的长可能是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

12. 如图，已知均为等边三角形，分别为的中点，为内一点 (含边界)．，下列说法正确的是（）

A. 延长交于，则

B. 若，则为的重心

C. 若，则点的轨迹是一条线段

D. 的最小值是

【答案】ABC

非选择题部分

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13. 直播带货已成为一种新的消费方式，据某平台统计，在直播带货销量中，服装鞋帽类占，食品饮料类占，家居生活类占19%，美妆护肤类占，其他占．为了解直播带货各品类的质量情况，现按分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本．已知在抽取的样本中，服装鞋帽类有560件，则家居生活类有_____________件

【答案】380

14. 从长度为的4条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率是_____________．

【答案】##

15. 如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是_____________．

【答案】##

16. 已知平面向量，满足，，则的最小值是_____________．

【答案】

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知、是非零向量，，且、．

（1）求与的夹角；

（2）求．

【答案】（1）

（2）

18. 已知复数，是虚数单位．

（1）求复数；

（2）若复数，且，当是整数时，求复数满足的概率．

【答案】（1）

（2）

19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，顶点在底面的射影是线段的中点是的中点．

（1）求证：平面；

（2）若二面角的大小为，三棱锥的体积为，求的长．

【答案】（1）证明过程见解析；

（2）3

【小问1详解】

取PC的中点G，连接DG，EG，

因为E是的中点．

所以EGBC，且，

因为底面是正方形，顶点在底面的射影是线段的中点，

所以ODBC且，

所以EGOD，且EG=OD，

所以四边形ODGE为平行四边形，

所以OEDG，

因为平面，平面，

所以平面

【小问2详解】

取BC中点Q，连接PQ，OQ，

因为O为AD中点，所以OQ⊥BC，

因为顶点在底面的射影是线段的中点，所以PO⊥底面ABCD，

因为BC平面ABCD，所以PO⊥BC，

因为，所以BC⊥平面OPQ，

因为PQ平面OPQ，所以BC⊥PQ，

所以∠PQO为二面角的平面角，

所以∠PQO=45°，设正方形ABCD的边长为x，则PO=OQ=x，

因为三棱锥的体积为，所以四棱锥的体积为

即，解得：，

由勾股定理得：，，

20. 有标号为质地相同的4 个小球，现有放回地随机抽取两次，每次取一球．记事件：第一次取出的是1号球；事件：两次取出的球号码之和为 5 ．

（1）求事件的概率；

（2）试判断事件与事件是否相互独立，并说明理由；

（3）若重复这样的操作64次，事件是否可能出现6次，请说明理由．

【答案】（1）

（2）相互独立，理由见解析；

（3）有可能，理由见解析

【小问1详解】

解：记为第一次取出球的标号，为第二次取出球的标号，用数对表示两次取球标号的情况，

所以有、、、、、、、、、、、、、、、共16种，

满足事件的有共种，所以；

【小问2详解】

解：由（1）可得，，

所以，所以事件与事件相互独立；

【小问3详解】

解：因为每次操作事件可能发生，也可能不发生，

所以重复这样的操作次，事件发生的次数为次中的一种，

所以事件有可能出现次；

21. 在锐角中，角、、的对边分别是、、，，且．

（1）求角的值；

（2）设是的中点，在①；②；③这三个条件中任选一个，求的面积．

【答案】（1）

（2）条件选择见解析，的面积为.

【小问1详解】

解：因为，则，由正弦定理可得，

、，则，所以，，.

【小问2详解】

解：若选①，，，，

由正弦定理可得，

，

所以，；

若选②，由余弦定理可得

，解得，

所以，；

若选③，为的中点，则，，

由余弦定理可得，

所以，，

即，①

由余弦定理可得，即，②

联立①②可得，所以，.

22. 如图，在三棱台中，，，侧面平面．

（1）求证：面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；

（2）.

【分析】（1）在四边形中，证明，再利用面面垂直的性质推理作答.

（2）连接，由（1）及已知证明平面，再作出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中计算作答.

【小问1详解】

在三棱台中，，而，则，

显然，则，

有，于是得，

因侧面平面，侧面平面，平面，

所以平面.

【小问2详解】

由（1）知，平面，而平面，则，连，如图，因，

，平面，则平面，又平面，因此，平面平面，

在平面内过点作于，而平面平面，则有平面，

连，从而得是直线与平面所成的角，

在直角梯形中，，，，

，在中，，则，，

由平面可得，则，等腰中，底边上的高，

由得：，在中，，

所以直线与平面所成角正弦值是.