2021-2022学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的立方根等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 有一个数值转换器，原理如下：
   
   当输入的时，输出的等于(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列命题正确的是(    )

A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

4. 在实数，，，，，，，每两个之间的个数依次增加个中，无理数的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 点在第三象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，是矩形的一条对角线，点，分别是，的中点．若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，若的周长为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 关于的方程的解是非负数，那么满足的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形中，点为上一点，与交于点，连接，若，则的度数(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如果不等式组无解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论中正确的是(    )
    ；
    ；
    ；
    ．

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 若，则的值为______ ．
14. 化简：______．
15. 某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打______折。
16. 若，分别表示的整数部分和小数部分，则______．
17. 已知关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是______．
18. 如图，菱形的周长为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

19. 计算或化简：
    计算：
    
    化简：

四、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 求值：
    ；
    ．
21. 解下列不等式组，并把解集表示在数轴上．
    
    求不等式组的整数解．
22. 如图，在中，，、的平分线交于点，于点，于点求证：四边形是正方形．

23. 某公司生产、两种型号的小黑板，已知一块型小黑板比一块型小黑板售价多元，且块型小黑板和块型小黑板总共售价为元．
    求一块型小黑板、一块型小黑板售价各为多少元？
    某中学根据学校实际情况，需从该公司购买、两种型号的小黑板共块，要求购买、两种型号小黑板的总费用不超过元．并且购买型小黑板的数量应大于购买种型号小黑板总数量的请通过计算，求出该中学从该公司购买、两种型号的小黑板有哪几种方案？
24. 如图，菱形的对角线，相交于点，，过点作的平行线交的延长线于点．
    求证：四边形为菱形；
    若，连接，求的值．

25. 如图，在中，，，以为边，在外作等边，是的中点，连接并延长交于．
    求证：四边形是平行四边形；
    如图，将图中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．
     

26. 已知：在平行四边形中，过点作，过点作的垂线，分别交、、于点、、，且，，连接，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的立方根等于，
故选：．
首先明白，进一步求的立方根．
本题考查立方根的定义，解题的关键是弄明白求哪个数的立方根．
 

2.【答案】 

【解析】解：当时，有理数，
将代入得：无理数．
故选：．
将代入程序进行计算即可．
本题主要考查的是算术平方根的定义、无理数的定义，依据程序进行计算是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据矩形的判定方法对进行判断；根据正方形的判定方法对进行判定；根据菱形的判定方法对进行判定，根据平行四边形的判定方法对进行判定．
【解答】
解：两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项为假命题；
B.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以选项为假命题；
C.两条对角线垂直的平行四边形是菱形，所以选项为假命题；
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以选项为真命题．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：，
由无理数的定义可知无理数有：，，，每两个之间的个数依次增加个，共有个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

5.【答案】 

【解析】解：点在第三象限，
，
解得．
故选：．
点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数．
坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点．该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求的取值范围．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，，，
，
又是的中点，
中，，
，
故选：．
先根据三角形中位线定理得到的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，进而得出计算结果．
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长为，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质可得，，，再由的周长为，可求，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质以及三角形周长，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
关于的方程的解是非负数，
，解得．
故选：．
先把当作已知条件表示出的值，再根据解是非负数即可列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于的一元一次不等式是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由数轴可得：
，，
则

．
故选：．
直接利用数轴得出，，进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌．
，
，，
，

，
，
，
故选：．
根据证≌，得出，根据，得即可．
本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：整理不等式组得，
不等式组无解，
，
故选C．
整理不等式组得，由题意得，选择答案即可．
通过不等式组无解，确定的取值范围，这是此题的突破口．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
在与中，
 ，
≌，
，故正确；
，
，
，
，
，故正确；
与的数量关系不清楚，
无法得与的数量关系，故错误；
≌，
，
，
即，故正确；
综上可得：正确，
故选：．
根据正方形的性质及全等三角形的判定定理和性质、垂直的判定依次进行判断即可得解．
本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，垂直的判定等，理解题意，综合运用全等三角形全等的判定和性质是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，，
解得，，
．
故答案为：．
根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
本题考查了平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于，则每一个算式都等于列式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
根据二次根式的性质化简可得．
本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：设至多打折
则，
解得，
即最多可打折。
故答案为：。
利润率不低于，即利润要大于或等于元，设打折，则售价是元。根据利润率不低于就可以列出不等式，求出的范围。
本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润进价利润率，是解题的关键。
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
，
，，
．
故答案为：．
估算无理数的大小，进而确定的大小，确定，的值，再代入计算即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
关于的不等式组的整数解共有个，
，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，根据已知即可得出关于的不等式组，求出即可．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能得出关于的不等式组．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是菱形，
，
菱形的周长为，
，
，，
菱形的面积，
故答案为：．
根据菱形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式


；
原式


．
原式


． 

【解析】直接利用二次根式的性质化简即可；
先算被开方数，再化简二次根式；
先求出、、，再算加减．
本题考查了实数的运算，掌握二次根式的性质及实数的运算是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：，
移项，得，
即，
开方，得，
即，；

，
除以，得，
开立方，得，
解得：． 

【解析】移项，方程两边除以，再根据平方根的定义进行计算即可；
方程两边除以，再根据立方根的定义进行计算即可．
本题考查了平方根和立方根的定义，能熟记平方根和立方根的定义是解此题的关键．
 

21.【答案】解：去分母得，
去括号得，
移项得，
合并得，
系数化为得；
用数轴表示：

，
解得，
解得，
所以不等式组的解集为，
用数轴表示：

不等式组的整数解为，，，，，． 

【解析】先去分母、去括号、移项得到，再合并，接着表示的系数化为得到不等式的解集，然后用数轴表示其解集；
先解不等式组得到，再用数轴表示求解集，然后找出不等式组的整数解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解：解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
 

22.【答案】证明：如图，过点作于点，
，于点，于点，
，
四边形是矩形，
、的平分线交于点，于点，于点，于点，
，，
，
矩形是正方形． 

【解析】利用矩形的判定得出四边形是矩形，再利用角平分线的性质得出，即可得出矩形是正方形．
本题考查了正方形的判定，正方形的判定方法有：
先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
还可以先判定四边形是平行四边形，再用或进行判定．
也考查了角平分线的性质．
 

23.【答案】解：设一块型小黑板的售价为元，一块型小黑板售价为元，
依题意得：，
解得：．
答：一块型小黑板的售价为元，一块型小黑板售价为元．
设购进块型小黑板，则购进块型小黑板，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，，，，，，
该中学共有种购买方案，
方案：购进块型小黑板，块型小黑板；
方案：购进块型小黑板，块型小黑板；
方案：购进块型小黑板，块型小黑板；
方案：购进块型小黑板，块型小黑板；
方案：购进块型小黑板，块型小黑板；
方案：购进块型小黑板，块型小黑板；
方案：购进块型小黑板，块型小黑板． 

【解析】设一块型小黑板的售价为元，一块型小黑板售价为元，根据“一块型小黑板比一块型小黑板售价多元，且块型小黑板和块型小黑板总共售价为元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进块型小黑板，则购进块型小黑板，根据“购买、两种型号小黑板的总费用不超过元．并且购买型小黑板的数量应大于购买小种型号小黑板总数量的”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

24.【答案】解：菱形，
，，
，
四边形为平行四边形，
，，
为等边三角形，
，
平行四边形为菱形；
，，
为等边三角形，
，，
，
． 

【解析】先证明四边形为平行四边形，再利用为等边三角形证明四边形为菱形；
根据直角三角形的特征进行解答即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；矩形的对角线相等．
 

25.【答案】证明：中，为的中点，
，
，
，，
，
又为等边三角形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；

解：设，由折叠可得：，
在中，
，，，
，
在中，，
，
解得：，
． 

【解析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定定理．
首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，进而算出，再证明，，进而证出四边形是平行四边形；
设，由折叠可得：，再利用三角函数可计算出，再利用勾股定理计算出的长即可．
 

26.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌．
过点作，交延长线于，如图所示：
≌，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
． 

【解析】证明，，由证得≌；过点作，交延长线于，由≌，得出，由证得≌得出，由证得≌得出，，则是等腰直角三角形，得出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质、证明三角形全等与等腰直角三角形是解题的关键．