2021-2022学年山东省泰安市新泰市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年山东省泰安市新泰市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本题共12小题，共48分）

1. 的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法中正确的是(    )

A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分

3. 下列各式中，最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 菱形有一个内角是，且较短的对角线长为，则菱形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定四边形是矩形的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，菱形的边在平面直角坐标系中的轴上，，，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 能使成立的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 或

9. 如图，四边形和四边形是两个矩形，点在边上，若，，则矩形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 计算的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，正方形中，点为上一点，与交于点，连接，若，则的度数(    )

A.
B.
C.
D.

12. 斜边为的两个全等的直角三角板，如图所示拼成一个矩形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时，如图，则平移距离的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共24分）

13. 计算：______
14. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______．
15. 菱形中，对角线，，则菱形的面积为______ ．
16. 已知，化简二次根式的正确结果______．
17. 如图，菱形中，对角线、交于点，，作于点，连接，若的长为，则菱形的面积为______．

18. 如图，在正方形中，点是对角线、的交点，过点作射线、分别交、于点、，且，、交于点给出下列结论：≌；≌；四边形的面积为正方形面积的；其中正确的为______将正确的序号都填入

三、解答题（本题共7小题，共78分）

19. 计算：
    ；
     
20. 如图，已知四边形是平行四边形，对角线与交于点，若、是上两点，且，求证：四边形是矩形．

21. 如图、在菱形中，对角线，相交于点过点作对角线的垂线交的延长线于点．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，求的周长．

22. 一个正数的平方根是与，求这个正数．
    已知、都是实数，且，求的值．
23. 如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点，于点．
    求证：；
    求证：四边形是菱形．

24. 阅读下面材料，然后回答问题：
    在进行类似二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
    方法一：；
    方法二：；
    请选一种方法化简：；
    化简：．
25. 如图，在正方形中，点在边上，点在的延长线上，．
    求证：是等腰直角三角形；
    如图，连接，交于点，连接求证：．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是．
故选：．
首先根据算术平方根的定义求出的结果，然后利用平方根的定义求解即可．
本题主要考查了平方根概念的运用．易错点是：本题是求的平方根，很容易误认为是求的平方根．如果，则是的平方根．若，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫的算术平方根．若，则它有一个平方根，即的平方根是，的算术平方根也是，负数没有平方根．
 

2.【答案】 

【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，
选项A不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形形是菱形，
选项B不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，
选项C不符合题意；
D、矩形的对角线互相平分且相等，
选项D符合题意；
故选：．
由矩形的判定与性质、菱形的判定、以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定以及平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.，的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.的被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
菱形的一个内角为，
，
又菱形的边，
是等边三角形，
，
故选：．
根据菱形的邻角互补求出菱形的锐角为，然后求出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等求出．
本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的邻角互补，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，作出图形更形象直观．
 

5.【答案】 

【解析】解：与不是同类二次根式，不能加减，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D错误．
故选：．
利用二次根式的加减法法则计算、，利用二次根式的乘、除法法则计算、，根据计算结果判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项A符合题意；
B、，
，
平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
平行四边形是矩形，故选项D不符合题意；
故选：．
由矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过作于，如图：
则，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
故选：．
过作于，由菱形的性质得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理得，即可得出点的坐标．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：能使成立，
，，
．
故选：．
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除法，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，，
，
过作于，则，

，
而，
即，
故选：．
由于矩形的面积等于个的面积，而的面积又等于矩形的一半，所以可得两个矩形的面积关系．
本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式

．
故选：．
先根据积的乘方与幂的乘方得到原式，然后利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌．
，
，，
，

，
，
，
故选：．
根据证≌，得出，根据，得即可．
本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查直角三角形的性质、菱形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据题意证明，进而得到，然后利用含角的直角三角形的性质，即可解决问题．
【解答】
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
是斜边为的含角的直角三角板，
，
，
故选A．  

13.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】根据同类二次根式的定义建立关于的方程，求出的值．
本题考查了同类二次根式，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【解答】
解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：菱形的面积计算公式、为菱形对角线长
故菱形的面积为．
故答案为：．
根据菱形的面积计算公式，已知两对角线长即可求得菱形的面积．
本题考查了菱形面积的计算公式，根据对角线求菱形的面积的公式，本题中正确计算菱形面积是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：要使有意义，必须，
解得：，
又，
即，，
，
故答案为：．
根据二沉池根式有意义的条件求出，求出、的范围，再根据二根式的性质进行化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意：．
 

17.【答案】 

【解析】解：是菱形，
，，
，
是等边三角形，
又，
，
，
，
，
，
在中，
，
菱形的面积，
故答案为：．
首先证得是等边三角形，根据等腰三角形和三角形中位线的性质求出，，根据勾股定理求得，由菱形的面积公式即可求出结果．
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，证得是等边三角形是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：在正方形中，，，，
，
，
，
≌，故正确；
在正方形中，，，，
，
，
≌；故正确；
由全等可得四边形的面积与面积相等，
四边形的面积为正方形面积的，故正确；
≌，
，
四边形为正方形，
，
，
在中，，
，故错误；
综上所述，正确的是，
故选：．
利用全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案．
本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用旋转全等证明出≌，属于选择压轴题．
 

19.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】由平行四边形的性质可得，，可得，可证四边形是平行四边形，通过证明，可得结论．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
由得：四边形是平行四边形，
，，
的周长． 

【解析】先根据菱形的性质得出，，再证明，然后根据平行四边形的定义证明即可；
先根据菱形的性质以及勾股定理得出，再由平行四边形的性质得出，，进而求出的周长．
此题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设该正数为则由题可知，
解得，
所以，
所以，即所求的正数是；

根据题意，得
，
解得，
；
，即． 

【解析】因为一个正数的平方根有两个，且互为相反数，由此即可得到关于方程，解方程即可得的值，然后代入求；
根据二次根式的被开方数是非负数，列出关于的不等式组，然后解得值，从而求得值；最后将它们代入所求的代数式求值即可．
此题主要考查了平方根的性质，注意如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根．一个正数有正、负两个平方根，他们互相为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根．
 

23.【答案】证明：四边形是矩形，
，
平分，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】根据矩形性质和角平分线的性质可得，进而即可证明结论；
结合证明，证四边形是平行四边形，再根据得出四边形是菱形即可．
本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定和性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：；



． 

【解析】分子、分母都乘以，再进一步计算即可；
先将各分数分母有理化，再进一步计算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

25.【答案】证明：如图，四边形为正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形．
证明：如图，作交于点，则，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】先证明≌，得，，则，所以是等腰直角三角形；
作交于点，则，由得，即可证明，得，再证明≌，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”性质证明．
此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．