数学八年级上册5.2 平面直角坐标系教案及反思

平面直角坐标系 小结与思考

教学目标】1.认识并能画出平面直角坐标系，知道点的坐标及象限的含义

2.能在给定的直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标和

由点的坐标指出它的位置.

3.经历画坐标系、由点找坐标等过程，发展数形结合意识.

【教学重点】能在给定的直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标和

由点的坐标指出它的位置.

【教学难点】理解平面内点的坐标的意义

平面直角坐标系是联系数和形的一个重要工具，平面直角坐标系在研究方程、方程组、不等式、函数中有重要的作用．借助坐标系，一个几何对象被数（坐标）完全刻画，几何概念可以表现为代数形式，几何目标可以通过代数方法来达到．平面几何中的许多证明题和解答题需要做辅助线通过独特的解法来解决，难度较大.若巧建坐标系，运用解析法来解决则可以让我们耳目一新.

探究一：建立坐标系，利用两点间的距离公式求线段长

例1 如图1，已知AB是⊙O的直径，AB＝10，弦AC＝6，弦CD平分∠ACB，求CD的长．                                            

图1       图2

分析：如图2，以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，要求线段CD的长，只要在所建坐标系中分别求出C、D两点的坐标，用两点间的距离公式即可以求出CD的长．

解：过点C作CHAB于点H．

由AB是直径，得， Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，则BC＝8．

由面积法得CH＝＝，又由射影定理得AH＝＝，所以C点坐标是（，），

因为CD平分，所以D是弧AB的中点，故由垂径定理得ODAB，因为OD＝OA＝5，

所以D点坐标是（5， －5），

由两点间距离公式得CD＝＝．

点评：本题若不建坐标系，则需连结AD，再过点A作AMCD，先在等腰直角△ACM中根据AC的长求出AM和CM，接着在Rt△AMD中利用勾股定理DM，则CM＋DM＝CD．在实际教学过程中发现，学生解此题时很难想到构造垂线段AM，导致无法计算出CD的长．倘若建立了这样一个坐标系，就可以直接用两点间距离公式，避开这些辅助线的添置．

例2 如图3，已知Rt△ABC中，，AC＝8，BC＝6， 求此三角形内心I和外心O的距离

分析：如图4，此题若以C为原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，很容易求得I和O的坐标，利用距离公式即可得出IO的长．

图3     图4

解：由Rt△ABC中，，AC＝8，BC＝6，得AB＝10．因为Rt△ABC内切圆的半径是 r＝＝2，所以内心I到AC、BC的距离是2，得内心I的坐标是（2，2），

又因为O是线段AB的中点，所以由A（0，8），B（6，0），利用中点公式得出O的坐标是（3，4），最后由距离公式得  OI＝．

点评：本题若不建坐标系，则需过点I作IH⊥AB，构造以IO为一边的Rt△IOH，虽然勾股定理和距离公式的原理是一样的，但是此题中运用距离公式可以避开求其中的BH边，从而把证明过程化繁为简．

探究二：建立坐标系，利用两直线的交点坐标解决一些数学问题

例3 如图5，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．

图5       图6

解:如图6，以D为原点，BG所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．

由题意得CD＝EF＝1.6，所以得C（0，1.6），，F（3，0），E（3，1.6），G（7，0），

求得直线CF的解析式为：， 直线EG的解析式为：．

因为直线CF和EG的交点即A，所以联立方程组求得 A（－9，6.4）．

答：路灯AB的高度是6.4米．

点评：本题的常规解法是设BD＝x，AB＝y，然后利用△CDF～△ABF，得到一个方程，再利用△GEF～△GAB，再得一个方程，联立方程组后解得y＝6.4．而选择了以D为原点建立坐标系后，由于C、F、E、G四点的坐标由已知可得，所以把求AB高度问题直接转化为两直线的交点问题．当然，建坐标系的时候选择哪个点作为原点很重要，本题若以B为原点建立坐标系，那么C、D、E、F四点的坐标中将带有参数，这个问题就不容易解决了．

例4 （2013年淮安中考试题），如图7，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度沿C→A→B的方向运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒．

（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．

①求s与t之间的函数关系式；

②如图8，当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．

图7      图8      图9

解：①在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC＝t﹣3，BQ＝2t﹣9，

即AQ＝5﹣（2t﹣9）＝14﹣2t，△PCQ中，PC边上的高（14﹣2t），

故s＝（t－3）×（14﹣2t）＝（﹣t2＋10t﹣21）＝．

所以当t＝5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．

② 分析：因为P在AC的中点，所以当沿直线PD折叠后，点A与点C重合，此时PD是AC的垂直平分线，故△APD与△PCQ重叠部分的面积即△PCE的面积．因为CP＝AC＝2，所以要求△PCN的面积只要求出Ｅ到PC的距离，故只需以C为原点，CA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出点E的纵坐标即可．

解答过程如下：由B（0，3），A（4，0）得AB的中点D坐标是（2，1.5），由C、D两点坐标得直线CD的解析式为y＝0.75x．因为当t＝5时，点Q运动的总路程是10，所以BQ＝1．过点Q作QHBC于点H，由相似得BH＝，QH＝，则Q（，），所以直线PQ解析式为y＝－2x＋4，因为点E是直线CD和PQ的交点，解方程组得E的坐标是（，）， 则S△PCE＝PC•＝×2×＝.

点评：本题的关键是要求重叠部分三角形的高，在建立了适当的坐标系后可通过求交点来求出这条高，从而避开了多次相似的过程，使得整个解题思路简洁清晰．

探究三：建立坐标系，利用中点，垂直等公式简化问题

例5. （2013苏州市中考试题第28题的最后一小题） 如图10，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．

（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

       图10     图11

分析：如图11，以B为原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，由于翻折后B和O重合，所以EF是BO的垂直平分线，用中点公式和两直线垂直k相乘等于－1，即可算出直线EF的解析式，从而就可以得到E、F的坐标．最后验证：如果BF＝3AE，则t存在，如果BF3AE，则t不存在．

解：由B（0，0），O（6，5），得直线BO的解析式是y＝x，且BO的中点M的坐标是（3，2.5），

因为 ，所以设EF的解析式为y＝，把M（3，2.5）代入得b＝6.1，所以

，所以．故AE＝10－3.9＝6.1，BF＝，显然，t不存在．

点评：本题若不建立坐标系，则需要先利用△BMF～△BCD求出BF，再利用△BME～△BAD求出BE，但建立了坐标系以后，通过求EF解析式，可一次就得到E、F两点的坐标，既避开了相似的证明，又大大减少了运算量．

通过以上几个例题，我们可以发现巧建坐标系将几何条件转化为坐标的数量关系式，既可以避免添加过多的辅助线，又为解题提供了更为灵活的思路和途径，简捷明快，化难为易．用解析法证明或解答几何问题时，需要注意以下几点: （l）合理选取直角坐标系，①使图形的一个顶点（或线段的中点、图形的公共点）在原点，一边与x轴或y轴重合，②利用图形中相互垂直的直线（或线段所在直线）作为坐标轴，③利用对称性，对称轴为坐标轴或选对称中心为原点（2）注意给特殊点选好适当的坐标，注意题设隐含条件，尽量简化坐标，尽量减少坐标参数（3）初中阶段要熟悉几个基本的公式，比如两点间的距离公式，中点公式，两直线平行k相同，两直线垂直k相乘等于－1．