江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-函数的应用

这是一份江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-函数的应用，共38页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-函数的应用

一、单选题
1．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江苏泰州·模拟预测）若正实数a，b满足，则函数的零点的最大值为（       ）
A． B． C．2 D．3
3．（2022·江苏盐城·三模）函数的大致图象是(       )
A． B．
C． D．
4．（2022·江苏·南京市第一中学三模）非空集合，，，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏·金陵中学二模）在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从9提升至161，则最大信息传递率C会提升到原来的（       ）参考数据：．
A．2.4倍 B．2.3倍 C．2.2倍 D．2.1倍
7．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[1，3），f（x）＝lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）＝f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．

二、多选题
8．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数．如某一服务设施在一定时间内到达的人数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等．其概率函数为，参数是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生次数．现采用某种紫外线照射大肠杆菌，大肠杆菌的基因组平均产生3个嘧啶二体．设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为Y，表示经该种紫外线照射后产生k个嘧啶二体的概率．已知Y服从泊松分布，记为，当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆菌就会死亡，下列说法正确的有（       ）（参考数据：，恒等式）
A．大肠杆菌a经该种紫外线照射后，存活的概率约为5%
B．设，则
C．如果，那么，X的标准差
D．大肠杆菌a经该种紫外线照射后，其基因组产生的嘧啶二体个数的数学期望为3
9．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知函数，，，则下列结论正确的是（       ）
A．在上单调递增
B．当时，方程有且只有2个不同实根
C．的值域为
D．若对于任意的，都有成立，则
10．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）如图是函数的部分图像，则（       ）

A．的最小正周期为
B．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
C．是函数的一条对称轴
D．若函数在上有且仅有两个零点，则
11．（2022·江苏常州·模拟预测）已知函数，则（       ）
A．函数的值域为
B．函数是一个偶函数，也是一个周期函数
C．直线是函数的一条对称轴
D．方程有且仅有一个实数根
12．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（       ）
A．函数关于直线对称
B．4是函数的周期
C．
D．方程恰有4不同的根
13．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（       ）
A．若为的跟随区间，则
B．函数存在跟随区间
C．若函数存在跟随区间，则
D．二次函数存在“3倍跟随区间”
14．（2022·江苏江苏·三模）已知函数的零点为，的零点为，则（       ）
A． B．
C． D．
15．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（       ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
16．（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（       ）
A．若对于任意的，都有成立，则
B．若对于任意的，都有成立，则
C．当时，若在上单调递增，则的取值范围为
D．当时，若对于任意的，函数在上至少有两个零点，则的取值范围为
17．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数函数有四个不同的零点，，，，且，则（       ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C． D．
18．（2022·江苏江苏·一模）若函数，则关于的性质说法正确的有（       ）
A．偶函数 B．最小正周期为
C．既有最大值也有最小值 D．有无数个零点
19．（2022·江苏南京·二模）若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（       ）
A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点

三、填空题
20．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知函数的图像上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数k的取值范围是__________．
21．（2022·江苏·模拟预测）已知是函数（且）的三个零点，则的取值范围是_________．
22．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）函数，若函数有三个零点，则实数的值为__________．
23．（2022·江苏连云港·模拟预测）建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计．组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为，，…，（单位：m2），其相应的透射系数分别为，，…，，则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数的平均值确定：，于是组合墙的实际隔声量（单位：dB）为．已知某墙的透射系数为，面积为20 m2，在墙上有一门，其透射系数为，面积为，则组合墙的平均隔声量约为_______dB．（注：）
24．（2022·江苏连云港·模拟预测）若函数的图象与函数的图象有两个不同的公共点，则a的取值范围为________．
25．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，当时，.若的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为___________.
26．（2022·江苏连云港·二模）某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比一年利润增长8%，则2026年的利润是___________万元.（结果精确到1万元）
27．（2022·江苏泰州·一模）写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数_________.
①为奇函数；②存在3个不同的零点；③在上是增函数.

四、解答题
28．（2022·江苏·模拟预测）已知函数（其中a，b为实数）的图象在点处的切线方程为．
(1)求实数a，b的值；
(2)证明：方程有且只有一个实根．
29．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）设函数．
(1)当时，恒成立，求b的范围；
(2)若在处的切线为，且，求整数m的最大值．
30．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知函数．
(1)当时，判断的零点个数；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
31．（2022·江苏江苏·二模）设函数，为自然对数的底数，.
(1)若，求证：函数有唯一的零点；
(2)若函数有唯一的零点，求的取值范围.
32．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）已知函数．（是自然对数的底数）
(1)若，求的单调区间；
(2)若，试讨论在上的零点个数．（参考数据：）
33．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.

（1）求，和的值；
（2）求函数在上的单调递减区间；
（3）若函数在区间上恰有2020个零点，求的取值范围.

五、双空题
34．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数．
（1）不等式的解集为____________；
（2）若关于的方程有两个不等实数根，则实数的取值范围为________．
35．（2022·江苏江苏·一模）已知是定义在上的奇函数，且.若当时，，则在区间上的值域为____________，在区间内的所有零点之和为__________

参考答案：
1．D
【分析】根据已知求出，再分析出函数的周期性和对称性，作出函数的图象分析即得解.
【详解】解：因为是定义在R上的奇函数，所以.
所以当时，.
因为，则关于对称，
因为关于对称，有6个不相同的根，
∴在有三个不同的根，
表示过定点的直线系，

.
作出在上的图象,如图所示，


时，，又,
则；
时，;
时，显然不满足题意.
∴m的取值范围.
故选：D．
2．D
【分析】令整理得，利用基本不等式“1”的代换可得，求解即可判断．
【详解】，则
则，整理得
而，当且仅当时等号成立
∴，解得：或
故选：D．
3．B
【分析】根据和函数值得正负即可排除CD，再根据f(1)和f(2)的函数值即可排除A．
【详解】时，指数函数增速快于二次函数，故f(x)→+¥，图象单调递增，故排除C；
时，，，故，故排除D；
又，即f(x)>0时有两个零点，故图象B符合，图象A不符合．
故选：B．
4．A
【分析】由题知，进而构造函数，再根据零点存在性定理得，解不等式即可得答案.
【详解】解：由题知，
因为，所以，
所以，
故令函数，
所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得：
，即，解得，
所以，实数的取值范围为.
故选：A

5．B
【分析】化简函数解析式，分析可知关于的方程、共有个不同的实数解，利用代数法可知方程有两个根，分析可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为，
由可得，
所以，关于的方程、共有个不同的实数解.
①先讨论方程的解的个数.
当时，由，可得，
当时，由，可得，
当时，由，可得，
所以，方程只有两解和；
②下面讨论方程的解的个数.
当时，由可得，可得或，
当时，由，可得，此时方程有无数个解，不合乎题意，
当时，由可得，
因为，由题意可得或或，
解得或.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
6．C
【分析】按照题中所给公式分别求出当时和当时的最大信息传递率即可求出答案.
【详解】当时，最大信息传递率
当时，最大信息传递率

.
故选：C.
7．B
【分析】根据题意得到画出函数图像，计算直线与函数相切和过点时的斜率，根据图像得到答案.
【详解】函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[1，3），f（x）＝lnx
故，
画出函数图像，如图所示：

当直线与相切时：
，设切点为则
此时
当直线经过点时：
综上所述：
故选：
【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
8．AD
【分析】根据珀松分布的性质即可逐一求解.
【详解】对于A;当时，大肠杆菌就会死亡，当时，大肠杆菌能存活，由 知，当时，，故A对，
对于B;,,
，因为，的正负无法确定，故的大小无法确定，故B错误.
对于C；根据珀松分布的方差可知,但
,故C错误；
对于D;由珀松分布可知，而，故，故D正确.
故选：AD
9．BD
【分析】对于A，利用导数判断函数单调性，进而做出函数图象，数形结合，即可判断；对于B,分和两种情况解方程，判断解的情况；对于C，结合函数图象即可判断；对于D，分和三种情况，构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.
【详解】对于A，当时， ；
当时，，此时递增，
故可作出函数的图象如图示：

由此可知，在上单调递增，故A错误；
对于B, 当时，，当时，，
令，解得 ，即此时有一解；
当时，，故是的一个解；
当时，令，，
即，即，此时无解；
故综合上述，当时，方程有且只有2个不同实根，B正确；
由函数的图象可知，其值域为R,故C错误；
对于D, 对于任意的，都有成立,
则当时，，即恒成立，
即，令，
当时，，当时，，
故，故；
当时，恒成立，
当时，，即恒成立，
令，注意到
当时，，不合题意；
当时，令， ，
当时，，
故，不符合题意
当时，，此时，
故递减，则，
即恒成立，
综合上述，可知当时，对于任意的，都有成立，
故D正确，
故选：BD
【点睛】本题综合考查了函数与方程的应用，涉及到利用导数判断函数的单调性和最值问题，综合性强，计算量大，解答的关键是能恰当的变式，构造函数，利用导数判断函数单调性，以及求解最值.
10．AD
【分析】先根据图像可得，即可判断A，接下来求得 ，即可得到的解析式，根据图像平移判断B，令解出即可判断C，令，解出函数零点，然后根据在上有且仅有两个零点列出不等式解 即可判断D
【详解】由图像可知，
，即，故A正确
   
此时
又 在图像上， ，解得

将 的图像向右平移个单位后得到的图像对应的解析式为 不为奇函数，故B错误
，

当是函数的一条对称轴时，此时 不符合题意，故C错误
令 ，解得
当 时， ，不合题意
时， ；
时， ；
时，
又因为函数在上有且仅有两个零点
，解得 ，故D正确
故选：AD
11．ABD
【分析】利用函数的奇偶性、周期性分析判断A，B；利用对称的性质验证判断C；利用零点存在性定理分析判断D作答.
【详解】显然，，即函数是偶函数，
又，函数是周期函数，是它的一个周期，B正确；
当时，，的最小值为，最大值为，
即当时，的取值集合是，因是偶函数，则当时，的取值集合是，
因此，当时，的取值集合是，而是的周期，所以，的值域为，A正确；
因，，即函数图象上的点关于直线的对称点不在此函数图象上，C不正确；
因当时，恒有成立，而的值域为，方程在上无零点，
又当或时，的值与的值异号，即方程在、上都无零点，
令，，显然在单调递减，
而，，于是得存在唯一，使得，
因此，方程在上有唯一实根，则方程在上有唯一实根，又定义域为，
所以方程有且仅有一个实数根，D正确.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
12．ABD
【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为是偶函数，
所以，即
所以关于对称，故A正确.
对于B：因为，
所以，
所以，即周期，故B正确
对于C：
所以，故C错误；
对于D：因为，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，根据对称性，可作出上的图象，
又的周期，
作出图象与图象，如下图所示：

所以与有4个交点，故D正确.
故选： ABD
13．ACD
【分析】A，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解的值；
B，假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解，的值，结合函数图象进行判断；
C，先设跟随区间为，，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出，的关系，然后统一变量表示出，列出关于的关系式，利用方程思想求解的取值范围，
D，若存在3倍跟随区间，则设定义域为，，值域为，，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解．
【详解】选项：由已知可得函数在区间，上单调递增，则有 ，
解得或1（舍，所以，正确；
选项：若存在跟随区间，，又因为函数在单调区间上递减，图象如图示，

则区间，一定是函数的单调区间，即 或,
则有，解得，此时异号，
故函数不存在跟随区间，不正确；
选项：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，
若存在跟随区间，，
则有，即，两式作差得：，
即，
又，所以，得，
所以，设，，则，
即在区间，上有两个不相等的实数根，
只需：，解得，正确；
选项：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为，，值域为，，
当时，函数在定义域上单调递增，
则，是方程的两个不相等的实数根，解得或，
故存在定义域为，使得值域为，，正确，
故选：．
【点睛】本题是根据新的定义求解参数或者是判断函数是否符合新定义，考查学生的理解新知识运用新知识的能力，解答时要能根据新定义，灵活求解，综合性较强.
14．BCD
【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.
【详解】分别为直线与和的交点的横坐标，
因为函数与函数互为反函数，
所们这两个函数的图象关于直线，
而直线、的交点是坐标原点，
故，，，，
，
，故
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：利用反函数的性质是解题的关键.
15．BD
【分析】首先根据函数的对称性求出的周期和对称中心，然后求得.利用图象法即可判断D.
【详解】依题意，为偶函数，
且，有，即关于对称，
则
，
所以是周期为4的周期函数，故A错误；
因为的周期为4，关于对称，
所以是函数的一个对称中心，故B正确；
因为的周期为4，则，，
所以，故C错误；
作函数和的图象如下图所示，

由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数有3个零点，故D正确.
故选：BD.
16．ACD
【分析】由题可得恒成立，利用三角函数的性质可判断A，利用函数的周期的含义可判断B，利用正弦函数的单调性可判断C，由题可得，进而可判断D.
【详解】对于A，对于任意的，都有成立，
所以恒成立，又，，
∴，故A正确；
对于B，由题可得是函数的周期，但不能推出函数的最小正周期为，故B错误；
对于C，当时，当时，，
则，，故，故C正确；
对于D，当时，当时，，
由在上至少有两个零点，
则，即，故D正确.
故选：ACD.
17．AC
【分析】结合的图象，由图可知，，，由二次函数的对称性，可得，可得答案.
【详解】有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的解．
的图象如图所示，由图可知，，，所以，
即的取值范围是，
由二次函数的对称性，可得．因为，所以，故．
故选：AC.

18．CD
【分析】根据二倍角的余弦公式，结合正弦函数的单调性、周期的定义、偶函数的定义、零点的定义逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以该函数不是偶函数，因此本选项说法不正确；
B：因为，所以该函数最小正周期不是，因此本选项说法不正确；
C：因为，当时，该函数有最大值，当时，该函数有最小值，因此本选项说法正确；
D：，则有，解得，或，
即，或，或，因此本选项说法正确，
故选：CD
19．ABD
【解析】根据的图像在上连续不断，，，，结合零点存在定理，判断出在区间和上零点存在的情况，得到答案．
【详解】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，
又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．
故选：．
20．
【分析】将题设转化为函数的图像和的图象有两个交点，求出直线和相切时的值以及直线过点时的值，结合图象即可求解.
【详解】
由，解得，
又关于直线的对称直线为，
则题设等价于函数的图像和的图象有两个交点.
易得等价于，
画出和的图象，设直线和相切，
由，解得或（舍），
又当直线过点时，，
结合图象可知，当时，
函数的图像和的图象有两个交点.
故答案为：.
21．
【分析】由题可判断1是的零点，且另两个零点关于对称，则所求可化为求出的值域，利用导数即可求解.
【详解】显然，设，
则
，
所以1是的零点，且另两个零点关于对称，
所以，
则，
令，
则，所以在单调递减，
所以，即的取值范围是.
故答案为：.
22．
【分析】先求定义域，对去掉绝对值，利用导函数研究其函数图像，画出函数图像，将有三个零点转化为两函数的交点问题，数形结合求出实数的值.
【详解】定义域为，
当得：，
恒成立，所以在上单调递减，
此时，
当时，，，
所以在上单调递增，
当时，，，
当时，，当，，
所以在单调递增，在上单调递减，
且，
画出函数图像如下：

显然，当时，与有三个交点，此时有三个零点，满足要求
故答案为：-2
23．
【分析】根据已知公式求得组合墙的透射系数的平均值，根据即可求得答案.
【详解】由题意得：组合墙的透射系数的平均值：，
故组合墙的平均隔声量为
设 ，则 ，
由于，故，
故 ，
所以，
故答案为：
24．（0，3）
【分析】构造函数，将交点转化为函数的零点问题，求导，根据函数的单调性即可求解.
【详解】函数 与 有两个交点等价于函数 有两个零点，
令 ，显然 ，
，
当 时， ， 是增函数，不可能有两个零点；
当 时，令 ，得 ， ，
方程有两个解，设为 ，
由韦达定理知： ，故 为一正一负，设 ，
考虑函数 的定义域， ，
…①
，当 时， ，当 时， ，
∴在 处， 取最大值， ，
显然欲使得 有两个零点，必须有 ，
将①代入上式得： ，
设   ， 是增函数，
显然 ，当 ，即当 ，
由①， 是减函数，∴ ，
a的取值范围为（0,3）；
故答案为：（0,3）.
25．2
【分析】根据偶函数的对称性知在、上各有一个零点且，讨论a值结合导数研究的零点情况，即可得结果.
【详解】由偶函数的对称性知：在、上各有一个零点且，
所以，则或，
当时，在上，则，
所以在上递增，，故无零点，不合要求；
当时，在上，则，
所以在上递减，在上递增，
则且，，故上有一个零点，符合要求；
综上，.
故答案为：2
26．147
【分析】根据题意得出含指数的利润表达式，利用二项式定理求近似值即可，
【详解】由题意可知， (万元)，即2026年的利润大约是147万元.
故答案为：147
27．
【分析】根据已知写出符合三个条件的函数，验证即可.
【详解】，为奇函数，有三个零点0，，
，时，，即在为增函数，
①②③都满足，∴.
故答案为：
28．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）求导，得，由题知，解方程得解.
（2）令， 分三种情况讨论：当，，时
的零点情况；令，分两种情况讨论：当，时，对求导，借助单调性及零点存在性定理，判断的零点情况，进而得证.
(1)
因为，所以．
因为的图象在处的切线为，
所以解得
(2)
令函数，定义域为．
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，由知在上单调递增，
又且函数连续不间断，
所以，有．
综上所述，函数在有唯一的零点，且在上恒小于零，在上恒大于零．
令函数，讨论如下：
①当时，，
求导得．
因为，所以，
即函数在单调递增．
又因为，
，
所以函数在存在唯一的零点，
所以方程在上有唯一的零点．
②当时，．
法一：由（1）易证在上恒成立．
事实上，令，则．
因为，所以在上单调递增，
所以，即在上单调递增，
所以，即在上恒成立．
从而，
所以方程在上无零点．
综上所述，方程有且只有一个实根．
法二：因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以方程在上无零点．
综上所述，方程有且只有一个实根．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题第一问考查导数的几何意义，第二问利用导数求函数的单调区间，判断单调性，并借助零点存在性定理研究方程的实根，考查数形结合思想的应用．
29．(1);
(2)2

【分析】（1）求出当时，只需要；（2）先根据切线的条件求出参数，在类似（1）中用恒成立的方式来处理.
(1)
由，当时，得．
当时，，所以，即在上单调递增，所以，由恒成立，
得，所以，即b的范围是．
(2)
由得，且．
由题意得，所以，
又在切线上．
所以，所以，即．
因为，所以有．
令，则等价于，即，从而．
设，则．
易知在上单调递增，且．
所以，由函数零点存在性定理知，存在唯一的使得，
即，则．
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
从而．
而在上是减函数，所以．
因此的最小值．
从而整数m的最大值是2．
30．(1)两个零点
(2)

【分析】（1）用零点存在性定理可判断零点个数.
（2）即，
即，
构造函数，即，判断单调性，转换函数，分类讨论即可.
(1)
解：当时，，定义域为，所以，
令，则，
当 时，，为增函数，
当 时， ，为减函数，
所以，               
又因为，所以，所以在上有唯一零点，
同理，因为，所以所以在上有唯一零点，
所以函数有两个零点．
(2)
即，
即，
构造函数，即，             
显然为上的单调递增函数，所以转化为：在上恒成立，
①当时，因为，
所以，而，显然不符合题意．                         
②当时，即在上恒成立，
令，则，
令，则 ，
i)当即时，因为，所以，所以在上递增，所以
，即恒成立，符合题意．
ii)当即时，当时，当时，
所以，
令，则，所以在上递增，
所以，所以不符合题意，所以舍去．
综上所述．
【点睛】变形得到，构造函数，即，判断单调性，转换函数在上恒成立，分类讨论即可.
31．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据导数判断函数的单调性，再根据零点存在定理判断零点个数；
（2）构造函数，根据函数的单调性及最值情况求参数值.
(1)
当时，恒成立，所以单调递减，
又，，
所以存在唯一的，使得，命题得证；
(2)
由（1）可知，当时，有唯一零点，
当时，，
设，则有唯一零点，
，
设，
则，所以单调递增，
又，列表可知，在单调递减，在单调递增，
即，
当时，恒成立，无零点，即不符题意，
当时，，即仅有一个零点，即符合题意，
当时，，
因为，，
所以存在，，使得，即不符题意，
综上，的取值范围为.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
32．(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)答案见解析

【分析】（1）求出导函数，令可得增区间，可得减区间；
（2）利用导数判断在上单调递增，在上单调递减，又，，，从而分和两种情况讨论，根据函数零点存在定理及函数的单调性，求出的单调区间，从而即可求解.
(1)
解：，则，定义域为，，
由，解得，可得，
解得，
由，解得，可得，
解得，
的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)
解：由已知，
，令，则．
，∴当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减．
，，．
①当时，即时，，
，使得，
∴当时，；当时，，
在上单调递增，上单调递减．
，，又，
∴由函数零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点；
②若时，，
又在上单调递增，在上单调递减，而，
，，使得，， 且当、时，；当时，．
在和上单调递减，在上单调递增．
，，
，，
又，
∴由零点存在性定理可得，在和内各有一个零点，即此时在上有两个零点．
综上所述，当时，在上仅有一个零点；当时，在上有两个零点．
【点睛】关键点点睛：本题（2）问的解题关键是根据函数零点存在定理及的单调性，求得函数的单调区间.
33．（1），，（2），（3），
【分析】（1）有图象可得，，进而求得，令，则，结合，可求得；
（2）由（1）求得解析式，令，，解之即可；
（3）条件转化为在上有两个零点，即可得取值范围．
【详解】（1）由题可得，，则，
当时，取得最大值，则，
所以，
又因为，故；
（2）由（1）可知，
令，，
则，，
故的单调递减区间为，，
则在，上的单调递减区间为，；
（3）令，则，解得，，
所以在上有两个零点，因为周期为2，
若函数在区间，上恰有2020个零点，
则，
解得的取值范围为，．
【点睛】本题考查了函数零点与方程根的关系，涉及三角函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．
34．         
【分析】由图像可知函数为“不增”函数，利用函数的单调性即可解出不等式；根据函数图像可得，由换元法可得一元二次方程在上有两个不等实数根，
结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】作出函数图像，该函数为“不增”函数，

所以，解得，
所以解集为；
由函数图像可得，
令，在区间上有两个不等实数根，
则有解得．
故答案为：；.
35．          ##2.5
【分析】第一空先求出函数在上的解析式，结合奇函数画出的图像，再由得到，
进而得到函数在上的图像，即可求得值域；
第二空画出将零点转化为的交点，再画出的图像即可求解.
【详解】由当时，，可得当时，，当时，，
又是奇函数，可得函数图像关于原点对称.又当时，即，即，
即函数右移两个单位，函数值变为原来的2倍，由此可得函数在上的图像如图所示：

结合图像可知在区间上的值域为；，即，即的交点，
画出的图像，由图像可知4个交点的横坐标依次为，又均是奇函数，故，
故.
故答案为：；.