江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-对数函数

这是一份江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-对数函数，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-对数函数

一、单选题
1．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）已知集合，则（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知，则，，的大小为（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏南京·模拟预测）设，，，则（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数的导函数，， ， ，则（       ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏南通·模拟预测）某市卫健委用模型的回归方程分析年月份感染新冠肺炎病毒的人数，令后得到的线性回归方程为，则（       ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏南通·模拟预测）若m＞n＞1，则下列各式一定成立的是（       ）
A． B． C．log2（m－1）＞log2（n－1） D．
8．（2022·江苏徐州·模拟预测）过平面内一点P作曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为（不重合），设直线分别与y轴交于点A，B，则面积的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
9．（2022·江苏南京·三模）我们知道，任何一个正整数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg5≈0.69897，则5100是（       ）位数．
A．71 B．70 C．69 D．68
10．（2022·江苏·二模）已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（       ）
A． B．
C． D．
11．（2022·江苏·二模）已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
12．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）在某款计算器上计算时，需依次按下“Log”､“（”､“a”､“，”､“b”､“）”6个键.某同学使用该计算器计算（，）时，误将“Log”､“（”､“b”､“，”､“a”､“）”这6键，所得到的值是正确结果的倍，则（       ）
A． B． C． D．
13．（2022·江苏泰州·模拟预测）《中华人民共和国国家标准综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L．某企业生产废水中的氨氮含量为450ml/L，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，至少要进行循环的次数为(参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)（       ）
A．3 B．4 C．8 D．9
14．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（     ）
参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771
A．6 B．7 C．8 D．9
15．（2022·江苏·金陵中学二模）在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从9提升至161，则最大信息传递率C会提升到原来的（       ）参考数据：．
A．2.4倍 B．2.3倍 C．2.2倍 D．2.1倍
16．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（       ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
17．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（       ）．
A． B．
C． D．
18．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）设集合，则（       ）
A． B． C． D．
19．（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）已知，，，则（       ）
A． B． C． D．
20．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“，”2种叠加态，2个超导量子比特共有“，，，”4种叠加态，3个超导量子比特共有“，，，，，，，”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有种叠加态，则是一个（       ）位的数.(参考数据：)
A．18 B．19 C．62 D．63
21．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）设，则有（       ）
A． B． C． D．
22．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）设，则（       ）
A． B．
C． D．
23．（2022·江苏常州·模拟预测）已知，则正确的大小顺序是（       ）
A． B． C． D．
24．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知正实数a，b满足，则下列结论不正确的是（       ）
A．有最大值 B．的最小值是8
C．若，则 D．的最大值为

二、多选题
25．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知，且，则下列说法中正确的有（       ）
A． B． C． D．
26．（2022·江苏江苏·三模）已知函数的零点为，的零点为，则（       ）
A． B．
C． D．
27．（2022·江苏南通·模拟预测）已知，且，则（       ）
A． B．
C． D．
28．（2022·江苏南通·模拟预测）若，，则下列结论正确的是（       ）．
A． B．
C． D．
29．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知，，且，则（       ）
A． B．
C． D．

三、填空题
30．（2022·江苏江苏·二模）实数，满足，则的最小值为___________.
31．（2022·江苏南通·模拟预测）定义在R上的函数满足.已知当时，，则f()=___________.
32．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则___________.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)

四、双空题
33．（2022·江苏南京·三模）19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，在某项大量经济数据（十进制）中，以6开头的数出现的概率为______；若,，则k的值为__________．
34．（2022·江苏·海安高级中学二模）“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的思想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的切线近似代替曲线．曲线在点处的切线方程为_____________，利用上述“切线近以代替曲线”的思想方法计算所得结果为_____________（结果用分数表示）．
35．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去……、经过n次操作后，共删去______个小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过，则至少需要操作______次．（）


参考答案：
1．D
【分析】解一元二次不等式得集合，求函数的值域得集合，由集合交集的运算即可求解.
【详解】由不等式，解得或，所以集合或，
由得，因为得，所以，
所以或，
故选：D.
2．C
【分析】根据给定条件，构造函数，利用函数的单调性比较大小作答.
【详解】令函数，当时，求导得：，
则函数在上单调递减，又，，，
显然，则有，所以.
故选：C
【点睛】思路点睛：某些数或式大小比较问题，探讨给定数或式的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解.
3．B
【分析】根据中间值及函数单调性进行判断大小.
【详解】因为，所以，所以且，
又，所以．
故选：B
4．A
【分析】由题，写出原函数，讨论其奇偶性、单调性，再结合、、的范围即可比较大小
【详解】，则，为偶函数，且在单调递增，
，，即，，
所以，∴，
故选：A
5．B
【分析】分别解分式不等式和求对数定义域，再求交集即可.
【详解】，，，
故选：B
6．A
【分析】利用对数与指数的互化可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】，所以，，解得.
故选：A.
7．C
【分析】由指数、对数、幂函数的单调性对选项一一分析，即可得出答案.
【详解】，，A不正确；
，，当时，B不正确；
，则，，C正确；
，所以，当时，，D不正确.
故选：C.
8．B
【分析】设，进而根据导数几何意义求得切线方程，，进而根据两切线垂直得，再求的长，，进而计算面积.
【详解】解：设
当时，
故切线为：，即
当时，，，
故切线为：，即
两切线垂直，则，则
所以，
，解得
∴.
故选：B．
9．B
【分析】运用代入法直接进行求解即可.
【详解】，则其为70位数，
故选：B
10．D
【分析】设，，则，，，在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，由此判断答案．
【详解】设，，
则，，，
在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，

当时，，
当时，，
当时，，
由此可以看出，不可能出现这种情况，
故选：．
11．A
【分析】求解对数不等式得到集合，进而结合补集和交集的概念即可求出结果.
【详解】因为，所以，
故选：A.
12．D
【分析】由题可得，然后利用换底公式及指数式对数式互化即得.
【详解】由题可知，
∴，又，，
∴，，
∴，即.
故选：D.
13．D
【分析】设循环次数为，由题意可得方程，利用指对数转化求解即可，需注意为符合条件下的最小整数.
【详解】由题，设至少循环次，才能达到国家排放标准，
则，即，
两边同时取对数，可得，所以，
所以至少要进行次循环，
故选：D
14．B
【分析】根据题意抽象概括出去掉的各区间长度为通项公式为的数列，结合题意和等比数列前n项求和法列出不等式，利用对数的运算性质解不等式即可.
【详解】第一次操作去掉，设为；
第二次操作去掉，设为；
第三次操作去掉，设为，


依次类推，.
故
，
整理，得，
，
，
故n的最小值为7.
故选：B.
15．C
【分析】按照题中所给公式分别求出当时和当时的最大信息传递率即可求出答案.
【详解】当时，最大信息传递率
当时，最大信息传递率

.
故选：C.
16．D
【分析】根据题意所求时间为，利用对数的运算进行求解即可.
【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，则有；
两边取常用对数，得；

；
所以.
故选：D.
17．C
【分析】利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.
【详解】∵，，，
∴．
故选：C.
18．B
【分析】通过解不等式分别求出集合与，进而可得结果.
【详解】由得，则集合，
由得，则集合，
所以.
故选：B.
19．D
【分析】利用对数换底公式及对数运算性质变形，再利用对数函数和指数函数单调性即可作答.
【详解】依题意，，，
显然函数在上单调递增，而，即，
又在R上单调递增，于是得，即，
所以有.
故选：D
20．B
【分析】根据题意个超导量子比特共有种叠加态，进而两边取以为底的对数化简整理即可得答案.
【详解】根据题意，设个超导量子比特共有种叠加态，
所以当有62个超导量子比特共有种叠加态。
两边取以为底的对数得，
所以，由于，
故是一个19位的数.
故选：B
【点睛】本题考查数学文化，对数运算，考查知识的迁移与应，是中档题.本题解题的关键在于根据材料得个超导量子比特共有种叠加态，进而根据对数运算求解.
21．A
【分析】比较与的大小，求出和的范围即可得到结论．
【详解】解：，
，
，，，
故选：．
【点睛】本题考查了指数函数幂函数的图象和性质，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．
22．D
【分析】分别判断出，，，即可得到答案.
【详解】.
因为，所以.
所以；
因为在R上为增函数，所以；
因为在上为增函数，且所以，即；
所以.
故选：D
23．B
【分析】作差利用对数的性质即可比较.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以.
故选：B.
24．B
【分析】利用基本不等式，以及对数的运算，不等式的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：，∴，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对B：，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；
对C：，∴，∴，故C正确；
对D：由可知，故，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：B.
25．ABC
【分析】根据基本不等式判断ABC，举反例判断D．
【详解】由题意，当且仅当时等号成立，A正确；
，当且仅当时等号成立，B正确；
，当且仅当时等号成立，C正确；
，时，，D错误．
故选：ABC．
26．BCD
【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.
【详解】分别为直线与和的交点的横坐标，
因为函数与函数互为反函数，
所们这两个函数的图象关于直线，
而直线、的交点是坐标原点，
故，，，，
，
，故
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：利用反函数的性质是解题的关键.
27．AC
【分析】由基本不等式可得，A由求的范围即可判断；B由求范围即可判断；C应用对数运算及对数的性质即可判断；D利用基本不等式求的范围即可判断.
【详解】由题设，，则(仅等号成立)，可得，
由，即，则，A正确；
由，即，B错误；
由，C正确；
由，当且仅当时等号成立，D错误；
故选：AC
28．AC
【分析】由题意可得，对于A，代入计算即可，对于B，先求出，再判断的正负即可，对于C，利用基本不等式判断，对于D，先求出的取值范围，然后将代入，化简后利用二次函数的性质求出其最值
【详解】由题意可得，
对于A，，所以A正确，
对于B，因为，
所以，
所以，所以B错误，
对于C，因为，，所以，当且仅当时取等号，而，所以取不到等号，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，即，所以D错误，
故选：AC
29．ACD
【分析】利用基本不等式判断AB，由不等式性质和指数函数性质判断C．由基本不等式结合对数运算法则判断D．
【详解】对于A，，则，当且仅当，时，等号成立．
对于B，变形得，所以，当且仅当，即时，等号成立，故B错误．
对于C，因为，所以，即，则．
对于D，由可得，，，当且仅当，即，时等号成立．
故选：ACD．
30．8
【分析】利用基本不等式可求的最小值.
【详解】因为，
所以，故，当且仅当时等号成立，
故的最小值为8，
故答案为：8.
31．##
【分析】由题设可得，根据对数性质判断的符号，结合已知解析式求函数即可.
【详解】由题设，，又，
所以.
故答案为：
32．型的都对
【分析】本题属于开放性题，只需填写符合题意的答案即可，依题意可以判断函数在上单调递增，又，（且，）即可得解；
【详解】解：对于任意实数，，当时，都有，说明该函数在上单调递增，
又对数函数满足运算性质：，
故可选一个递增的对数函数：．
故答案为：．
33．          5
【分析】第一空，将 代入即可求得答案；第二空，根据得到的表达式，结合的值可得方程，解得答案.
【详解】由题意可得：
（1）
（2），而，故，则．
故答案为：
34．         
【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程；根据切线方程可得，代入求解即可.
【详解】由得：，在点处的切线斜率，则切线方程为：；
由题意知：，，即，
，即.
故答案为：；.
35．          9
【分析】通过观察可知每次删掉的正方形数和保留下来的正方形数为等比数列，然后根据等比数列的求和公式可解.
【详解】由题可知，每次删掉的正方形数构成公比为4，首项为5的等比数列，
所以经过n次操作后，共删去的正方形个数；
易知，第次操作后共保留个小正方形，其边长为，
所以，保留下来的所有小正方形面积之和为
由，得
所以，至少需要9次操作才能使保留下来的所有小正方形面积之和不超过.
故答案为：，9.