江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-三角形面积公式

这是一份江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-三角形面积公式，共60页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-三角形面积公式

一、单选题
1．（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）已知，，，，过点作垂直于点，点满足，则的值为（       ）
A． B．
C． D．

二、多选题
2．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，面积为，有以下四个命题中正确的是（       ）
A．的最大值为
B．当，时，不可能是直角三角形
C．当，，时，的周长为
D．当，，时，若为的内心，则的面积为

三、填空题
3．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点P是抛物线上的动点，过P向动直线作垂线，垂足为Q．若△PQF是面积为的正三角形，则p＝_______．
4．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）英国数学家莫利提出：将三角形各内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交于一点，则这样的三个交点构成一个正三角形（如下图所示）.若△为等腰直角三角形，且，则△的面积是___________.

5．（2022·江苏南京·二模）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题《数书九章》中记录了秦九解的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长，现有满足且，则的外接圆的半径为_________．

四、解答题
6．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）在①，②AC边上的高为，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答.
问题：记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，______.
(1)求c的值；
(2)若点是边上一点，且，求AD的长.
7．（2022·江苏·华罗庚中学三模）在 中，已知.
(1)求的值；
(2)若是的角平分线，求的长．
8．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）从①为锐角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
(1)求角A；
(2)若b＝c且BC边上的高AD为2，求CD的长．
9．（2022·江苏泰州·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知边上的高等于a．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
10．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)角的内角平分线交于点，若，，求.
11．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个填入横线上并解答．
在锐角三角形中，已知角，，的对边分别为，，c，．
(1)求角；
(2)若的面积为，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
12．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①；②；③．这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：
(1)求；
(2)若，，延长到D，使，求线段的长度．
13．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)求cosB；
(2)若b＝3，a＞c，△ABC的面积为，求a．
14．（2022·江苏淮安·模拟预测）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB
(1)若，求tanC的值：
(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积．
15．（2022·江苏南通·模拟预测）已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值．
16．（2022·江苏·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，面积为，满足．
(1)证明：；
(2)求所有正整数，的值，使得和同时成立．
17．（2022·江苏扬州·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中.
问题：在中，内角的对边分别为，_________，，点是线段上一点.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的面积.
18．（2022·江苏盐城·三模）已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足，D是AC边上的点且，．
(1)求；
(2)求的最小值．
19．（2022·江苏连云港·模拟预测）在平面四边形中，对角线平分，，，，，且．
(1)求；
(2)求△的面积．
20．（2022·江苏连云港·模拟预测）在△中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，．
(1)证明：；
(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求△的面积．
条件①：△的中线；
条件②：△的角平分线．
21．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求A；
(2)若的面积，求c．
22．（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）在①3asinC＝4ccosA；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知， ，．

(1)求sinA；
(2)如图，M为边AC上一点，MC＝MB，，求△ABC的面积．
23．（2022·江苏·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，，求的面积.
24．（2022·江苏·南京市第一中学三模）在中，D为上靠近点C的三等分点，且．记的面积为．
(1)若，求；
(2)求的取值范围．
25．（2022·江苏南通·模拟预测）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)证明：﹔
(2)求的面积的最大值．
26．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若M是BC的中点，且，求△的面积.
27．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面四边形中，．

(1)若，求；
(2)若，求四边形的面积．
28．（2022·江苏泰州·模拟预测）在①a＝2b；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，， ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
29．（2022·江苏南通·模拟预测）已知中，角的对边分别为，且，
(1)求；
(2)求的面积.
30．（2022·江苏扬州·模拟预测）在△ABC中， .
(1)求∠B的大小；
(2)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积
条作①；
条件②；
条件③：AB边上的高为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分.
31．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.
(1)证明：
(2)若，，求的最大值.
32．（2022·江苏连云港·二模）在平面四边形中，，，，.
(1)求的面积；
(2)求的长.
33．（2022·江苏江苏·一模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，___________，求的面积.
34．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）如图，在四边形中，.

(1)求；
(2)若，求四边形的面积.
35．（2022·江苏·金陵中学模拟预测）记中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且.
(1)求；
(2)若，点为边的中点，且，求的面积.
36．（2022·江苏江苏·二模）在平面四边形中，已知，，平分.
(1)若，，求四边形的面积；
(2)若，求的值.
37．（2022·江苏无锡·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．
(1)求；
(2)若，是外的一点，且，，则当为多少时，平面四边形的面积最大，并求的最大值．
38．（2022·江苏南通·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
(1)求角A；
(2)若，BC边上的高为，求c.
39．（2022·江苏南通·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，．
(1)求角B的大小；
(2)若的面积，设D是BC的中点，求的值．
40．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若M是AC的中点，且，在下面两个问题中选择一个进行解答．
①求△ABM面积的最大值；
②求BM的最大值．
（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）
41．（2022·江苏·模拟预测）记的内角，，所对的边分别为，，，已知，．
(1)求；
(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出三角形的面积；若不存在，说明理由．
①边上的中线长为，②边上的中线长为，③三角形的周长为．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
42．（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）在平面四边形中，，，，.
(1)若，求；
(2)若，求的面积.
43．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且满足①；②；③．
(1)从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
(2)若为线段上一点，且，，求的面积．
44．（2022·江苏江苏·一模）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答.
已知点在内，，若___________，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
45．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）在中，已知D是BC上的点，AD平分，且.
(1)若，求的面积；
(2)若，求.
46．（2022·江苏无锡·模拟预测）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
47．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知中，是边的中点，且①；②；③；④.
（1）求AC的长；
（2）的平分线交BC于点E，求AE的长.
上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是___________，请写出用剩余条件解答本题的过程.

五、双空题
48．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”.在中，，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，则___________；若的面积为，则三角形中的最大值为___________.


参考答案：
1．D
【解析】作出图形，由平面向量数量积的定义及余弦定理可得，再由平面向量数量积的运算律即可得解.
【详解】由题意，作出图形，如图，

，，
，，
由可得，
，
又，则，
.
故选：D．
2．ACD
【解析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A；
利用勾股定理的逆定理即可判断选项B；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C；
由已知条件可得是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得的面积即可判断选项D.
【详解】对于选项A：

（当且仅当时取等号）.
令，，故，
因为，且，
故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：

目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，
故可得，
又，故可得，
当且仅当，，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；
对于选项B：因为，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，故选项B错误；
对于选项C，由，可得，由得，
由正弦定理得，，即，
所以，化简得，
因为，所以化简得，
因为，所以，所以，则，
所以，所以，，，
因为，所以，，
所以的周长为，故选项C正确；
对于选项D，由C可知，为直角三角形，且，，，，，所以的内切圆半径为，
所以的面积为
所以选项D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A利用面积公式和余弦定理，结合不等式得，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.
3．
【分析】先写出△PQF边长为2，由几何法求出焦准距为p=1.
【详解】如图示：△PQF是面积为的正三角形，所以,所以为准线.
由，解得：.
过F作于D，则.
所以焦准距为p=1.

故答案为：1
4．
【分析】若是中点，连接，且，根据题设角的关系、三角形全等及相似可得、，设，结合已知可得，即可求x值，应用三角形面积公式求△的面积.
【详解】若是中点，连接，且，
由题设知：△△，则，又，，
所以，则△△△△，
所以，又△△，且，
设，则，故，
所以，又，则，可得，
则，故△的面积是.
故答案为：

5．.
【解析】由正弦定理得到三条边长的比，利用所给面积公式得到边长，再结合面积公式和正弦定理可得答案.
【详解】由已知和正弦定理得：，
设，
由，
解得，所以，设的外接圆的半径为，
由，解得，
由正弦定理得，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了正弦定理、面积公式解三角形，关键点是利用所给面积公式求出三角形边长，考查了学生的基础知识及阅读能力.
6．(1)
(2)2

【分析】（1）选条件①：，利用余弦定理求解；选条件②：AC边上的高为，利用三角形的面积公式求解；选条件③：，利用正弦定理求解.
（2）根据，得到，求得相应正弦值，再利用正弦定理求解；
(1)
解：选条件①：，
由余弦定理，则，
解得，则；
选条件②：AC边上的高为，
由三角形的面积公式，
解得，.                                                  
选条件③：，
由题意可知，所以，                         
因为，
，
，
由正弦定理得，即，
解得，.
(2)
选条件①：
因为，所以，
，
，
则，
由正弦定理，；
选条件②；
因为，所以，
，
，
则，
由正弦定理，；
选条件③：
，
由正弦定理，.
7．(1)
(2)

【分析】（1）先利用余弦定理求出边的长，再利用正弦定理求出 （2）利用三角形的面积公式及面积关系，建立关于边的关系式求解即可得到答案
(1)
在中，由余弦定理
整理得
解得或
由于，所以
因为，所以，所以
由正弦定理得：，故
(2)
设，
由及三角形的面积公式可得：

整理得
在中，由余弦定理
由得
则
8．(1)条件选择见解析，
(2)

【分析】（1）在三角形中，运用正余弦定理，实现边角互化即可求解.
（2）根据三角形的面积公式可得的关系，在中运用余弦定理可求出的值，然后根据边的长度用余弦定理求角，即可求解.
(1)
选①
因为，所以，
由余弦定理得，，所以，即
由正弦定理得
在中，有，故
由A为锐角，得
选②
因为b＝2asin(C＋)，由正弦定理得
即       
化简得
在中，有，由A为锐角得，
所以，得
(2)
由题意得，，所以，
又b＝c，所以
由余弦定理，解得
所以，，
所以是钝角三角形
所以，所以
在直角中，
9．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由锐角三角形可得，结合题意和正弦定理整理可证；（2）利用等面积可得，结合余弦定理化简整理．
(1)
设边上的高为，则，所以，
由正弦定理得．
(2)
由余弦定理得，
因为，所以，
所以，即，
所以．
10．(1)；
(2)

【分析】（1）先由正弦定理及切化弦得，结合角的范围，即可求解；
（2）先由结合面积公式求得，再由余弦定理求得的值，再由正弦定理求出即可.
(1)
由正弦定理及切化弦可得，
又，则，即，又，则；
(2)

，又，，
可得，又由余弦定理得，解得（负值舍去），则，
可得或，又，显然当或12时，的值相同，不妨设，则，
由正弦定理得，可得，又，可得.
11．(1)
(2)

【分析】(1)选①：根据平面共线向量的坐标表示和正弦定理可得，结合余弦定理即可求出C；选②：根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算可得，结合特殊角的正切值即可求出C；
(2)由三角形的面积公式可得，法一：利用余弦定理解得；法二：由正弦定理可得，进而利用导数求出函数的值域即可.
(1)
选择①：
因为，所以，
由正弦定理得，，
即，即，即，
即．因为，
又为锐角，所以．
选择②：
因为，
由正弦定理得，，
即．
又，
所以．
因为，所以，
又为锐角，所以，．
(2)
因为，
所以，则．
(法一)由余弦定理得，．①
因为为锐角三角形，所以即
将①代入上式可得即解得．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
即，即的取值范围为．
(法二)由正弦定理得，
又，所以．
因为为锐角三角形，所以解得
因为，所以，，
即，解得．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
即，即的取值范围为．
12．(1)
(2)5

【分析】（1）若选①，由正弦定理将已知式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等换公式化简可求出角，若选②，由正弦定理将已知式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等换公式化简可求出角，若选③，对已知式子利用余弦定理和三角形的面积公式化简可求出角，
（2）在中，由余弦定理可求得，再利用正弦定理得的值，然后分别在利用正弦定理和余弦定理求解即可
(1)
若选①，因为，
所以由正弦定理得,
因为，所以,
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
若选②，因为，
所以由正弦定理得,
所以，
因为，所以，
因为，所以，
若选③，因为，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
(2)
在中，由余弦定理得，
，化简得，
解得或（舍去），
由正弦定理得，
所以，所以，
所以，
因为，，
所以 ，
在中，由正弦定理得,
所以，得，
在中，由余弦定理得
，
所以，
化简得,
解得或（舍去）
所以线段的长度为5
13．(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理得，再利用可得答案；
（1）利用可得由余弦定理得，再由a，c可看作一元二次方程的两不等实根可得答案.
(1)
因为，由正弦定理得
，
因为，
所以，
所以，可得.
(2)
，∵，可得
在△ABC中，由余弦定理得，∴，
，，∴a，c可看作一元二次方程的两不等实根，
∵∴.
14．(1)或；
(2).

【分析】（1）利用同角关系式可得或sin，然后利用和角公式即得；
（2）由题可得，利用角平分线定理及条件可得，进而可得，，即得.
(1)
因为，
所以，
解得或sin,
当时，，，
所以，；
当时，因为，
所以，又，
所以．
(2)
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
由角平分线定理可知，，又，
所以，

由，可得，
∴，，
所以．
15．(1)
(2)

【分析】（1）由余弦定理与面积公式求解
（2）以为基底分解，由平面向量数量积的运算律求解
（1）解：在中，在中，∵A，B，C，D四点共圆，∴，∴，∴，因为，所以，所以，，
（2）解：由（1）可知即外接圆的直径，设的中点为，所以，．
16．(1)证明见解析
(2)，

【分析】（1）由结合已知条件得，，整理得，再利用正弦定理边化角即可求解；
（2）由得，，再利用正余弦定理化简得，结合条件得，即，再分析求解即可.
(1)
因为，
所以，即．
因为，，所以．
由正弦定理得，其中为的外接圆半径，
所以．
(2)
由，可知，
则由正、余弦定理得到，
化简得．
因为，，所以，
即，
因为，均为正整数，所以，.
17．(1)1
(2)

【分析】（1）若选①，则可得，然后利用余弦定理可求出角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果，若选②，则由已知条件结合正弦定理可求得，再求出，再利用三角函数恒等变换公式可求出，角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果，若选③，可得，结合余弦定理化简得，由已知条件可得，然后利用余弦定理可求出角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果，
（2）由已知可得，两边平方化简可得，再结合，可求出的值，从而可求出三角形的面积
(1)
若选①，，
，
∵，，
∵，所以，
在中，由正弦定理得，，即①
在中，由正弦定理得，，即②，
因为，所以，
所以.
若选②
由，而
，
∵，，
∵，所以，
在中，由正弦定理得，，即①
在中，由正弦定理得，，即②，
因为，所以，
所以.
若选③，
由，
∴，化简得，
∵，∴
，
∵，，
∵，所以，
在中，由正弦定理得，，即①
在中，由正弦定理得，，即②，
因为，所以，
所以.

(2)
∵，
∴，
∴，
∴，
，而
.
18．(1)
(2)

【分析】（1）利用余弦定理以及，直接计算可求解.
（2）根据三角形面积公式以及基础不等式，列出相应的方程组，即可求解.
(1)
由余弦定理可知，，由于，所以.
(2)
由于，则，
即，
解得，当且仅当，
即，时等号成立，故，即
19．(1)
(2)2

【分析】（1）题意设，，则，由余弦定理得，由正弦定理得，联立方程即可求出；
（2）由余弦定理求得，再由面积公式即可求出△的面积.
(1)
由题意设，，则，
在中，由余弦定理得，
即①                         
在中，由正弦定理得，
即②                              
①②平方相加得或（舍），
故．
(2)
在中，由余弦定理得，
即，                           
所以或（舍），                                
故．
20．(1)证明见解析
(2)条件① ，条件②

【分析】（1）利用余弦定理计算即可；
（2）分别选择条件①②，利用余弦定理和正弦定理分析计算即可.
(1)
因为，由余弦定理可得：，
又，设，
则，解得或（舍），
故；
(2)
由，可得，又，故，
选①：△的中线，
在△中
解得或（舍），故．又 ，   
则；
选②：

在△中，由正弦定理得，
在△中，由正弦定理得．
又，，得，
由，得，                                   
在△中，
解得，又，                                     
所以；
综上，条件① ，条件②.
21．(1)
(2)或

【分析】（1）根据求出，再根据正弦定理求出可得结果；
（2）根据三角形面积公式和余弦定理可求出结果.
(1)
因为，则，
由正弦定理，得，即，即，
因为，所以，因此；
(2)
由，得，
．
当时，由余弦定理，得；
当时，由余弦定理，得．
所以，或．
22．(1)；
(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求出即可；
（2）根据两角互补其余弦值之和为，利用余弦定理建立等式求出的长，再利用面积公式求的面积即可.
（1）
若选择条件①，在中，由正弦定理得.
即
又，
若选择条件②，，
，即.
又，，
则
.
（2）
设，易知
在中，由余弦定理得 ，解得.

在中，，，
则

23．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理，角化边，得到，利用余弦定理，求得答案；
（2）利用余弦定理结合求得，利用三角形面积公式，求得答案.
(1)
因为，
在中，由正弦定理可得，化简得，
所以.
又因为，所以.
(2)
由余弦定理，得
因为，所以将代入上式，解得，
所以的面积.
24．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理可得，再在与中分别用余弦定理，再根据，利用诱导公式即可得到，解得，，，，再根据同角三角函数的基本关系求出，，最后根据面积公式计算可得；
（2）设，，根据及三角函数的性质计算可得；
（1）
解：因为，由正弦定理可得，因为为上靠近点的三等分点，，所以，
在中由余弦定理
即①，
在中由余弦定理
即②，
又，所以
所以，，，
所以，，
所以
（2）
解：设，，则，
所以


显然，所以，即
25．(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）根据已知条件及三角形的内角和定理，再结合正弦定理边角化即可证明；
（2）根据已知及余弦定理求出，利用平方关系得出，再结合三角形的面积公式及二次函数的性质即可求解.
(1)
因为，
所以，
由正弦定理得，，
所以．
由正弦定理，得．
(2)
由（1）知，，所以由余弦定理得，
，
所以．
所以的面积
，
当即（负舍）时，取得最大值为,
所以的面积的最大值为.
26．
【分析】由余弦定理及勾股定理易知△为等腰直角三角形，结合已知，在△中应用正弦定理求得，进而可得，最后由三角形面积公式求面积即可.
【详解】由题设，，故，

所以△为等腰直角三角形，而，
在△中，，则，可得，
所以，且M是BC的中点，则.
27．(1)
(2)

【分析】（1）连接后由余弦定理与两角和的正弦公式求解
（2）由余弦定理与面积公式求解
（1）连接，在中，，且，，所以．在中，由余弦定理得，所以．所以
（2）在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以四边形的面积为
28．存在，面积为.
【分析】若选①，由正弦定理得，结合，求出角，进而求得三角形存在，再按照面积公式求面积即可；
若选②，先由余弦定理得到，再借助正弦定理化简得到，求出角，进而求得三角形存在，再按照面积公式求面积即可；
若选③，由可得，化简得，求出角，进而求得三角形存在，再按照面积公式求面积即可.
【详解】若选①，由正弦定理得，又，故，即，化简得，即，
又，故，，，这样的三角形存在.又，，解得，
故该三角形的面积为；
若选②，由，又余弦定理可得，故，化简得，由正弦定理可得，又，故，即，又，故，又，解得，
这样的三角形存在.又，，解得，故该三角形的面积为；
若选③，由得，，由可得，又，故，整理得，又，故，故，，，这样的三角形存在.
又，，解得，故该三角形的面积为.
29．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意化简得到，利用余弦定理得到，求得，即可求解；
（2）由两角和正弦函数，求得，再由正弦定理求得，结合面积公式，即可求解.
(1)
解：因为，
所以，可得，
又由余弦定理得，所以，解得，
因为，所以.
(2)
解：由，
在中，由正弦定理，可得，所以，
所以的面积.
30．(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理可得：，从而得到，得出答案.
（2）选择条件①②，△ABC存在且唯一.由得出，由正弦定理及解出.
方法1：由两角差的余弦公式求出，最后由面积公式计算即可.
方法2：由余弦定理求出，最后由面积公式计算即可.
选择①③，△ABC存在且唯一. 由得出，因为AB边上的高为，所以得出，再由正弦定理求出解出，以下与选择条件①②相同.
(1)
由正弦定理及.
得，因为，所以
因为，所以.
(2)
选择条件①②，△ABC存在且唯一，解答如下：
由，及，得.
由正弦定理及
得，解得.
方法1：由，得

.
所以.
方法2：由余弦定理，得
即，解得
所以
选择①③，△ABC存在且唯一，解答如下：
由，及，得.
因为AB边上的高为，所以.
由正弦定理及，
得，解得：.
（以下与选择条件①②相同）
31．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）设，利用余弦定理求得，，再根据，化简，可求得，同理可求得，即可得证；
（2）利用余弦定理求得，，再根据结合（1）求得，设，可求得，再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案.
(1)
证明：设，
由余弦定理知：，，
由是外心知，
而，
所以，
即，
而，因此，
同理可知，
因此，
所以；
(2)
解：由（1）知，
由余弦定理知：，，
代入得，
设，则，
因此，
当且仅当时取到等号，
因此的最大值为.
32．(1)
(2)

【分析】（1）在中，利用余弦定理可得边进而可得面积；
（2）由四边形内角和可得角与互余，再结合正弦定理可得边的长.
(1)

由已知在中，，，，
利用余弦定理得，
即，
解得，
故；
(2)
在中，由正弦定理得，
即，
同理，在中，由正弦定理得，
即，
又四边形内角和为，且，，
故，
即，
又，
即，
即，
解得.
33．.
【分析】选①，由已知结合正弦定理角化边，求出，再按A是锐角和钝角分类计算作答.
选②，由已知结合余弦定理角化边，再求出，按A是锐角和钝角分类计算作答.
选③，按A是锐角和钝角分类计算作答.
【详解】选择条件①：依题意，，
在中，由正弦定理得，，
由余弦定理得：，
若A为锐角，则，则，
则，又，解得或，
即有的面积为，
若A为钝角，则，则，有，又，无解，舍去，
综上可得，的面积为．
选择条件②：因为，由余弦定理得：，
整理得：，即，
而，则，
若A为锐角，则，有，
由余弦定理得：，
则有，又，解得或，
即有的面积为，
若A为钝角，则，则，舍去，
综上可得，的面积为.
③因为，由余弦定理，
若A为锐角，则，则，
则，又，解得或，
即有的面积为．
若A为钝角，则，则，有，又，无解，舍去，
综上可得，的面积为.
34．(1)；
(2).

【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式得到，再判断出，即可求出；
（2）由余弦定理求出.由正弦定理得到，从而求出，得到 和，进而求出四边形ABCD的面积.
(1)
因为,所以，
所以可化为，
由二倍角公式可得：
因为BD