高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较测试题

4.4  指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 同步课时训练

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)下表表示的是某实验数据，现准备用某个函数近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(   )

A. B. C. D.

2、(4分)四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程关于时间的函数关系是，，，，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(   )

A. B. C. D.

3、(4分)一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是(   )

A. B. C. D.

4、(4分)今有一组实验数据如下表所示：

则体现这些数据关系的最佳函数模型是(    )

A.                                 B.         C.          D.

5、(4分)某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减.现医生为某病人注射了2000 mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为(   )

A.  B.

C.  D.

6、(4分)有一组试验数据如下表所示：

下列所给函数模型适合的是(   )

A.  B.

C.  D.

7、(4分)某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制订了一个销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x万元（）时，奖金y（万元）随销售利润x（万元）的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是（参考数据：，，）(   )

A. B. C. D.

8、(4分)已知函数，，，在区间上一定存在，当时(   )

A. B. C. D.

9、(4分)四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程关于时间的函数关系是，，，，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(   )
A. B. C. D.

10、(4分)已知,,,当时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是(   )
A. B. C. D.

二、填空题(共25分)

11、(5分)某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为___________.(注：利润率=(销售价格-成本）)÷成本)

12、(5分)函数与函数，当x从1增加到m时，函数的增量分别是与，则___________(填“>”“=”或“<”).

13、(5分)某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量 (单位:万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下：

则近似符合以下三种函数模型之一:①；②；③.则你认为最适合的函数模型的序号是             .

14、(5分)函数与函数在区间上增长较快的一个是           .

15、(5分)某品牌手机销售商今年月份的销售量分别是万部, 万部, 万部,为估计以后每个月的销售量,以这三个月的销售为依据,用一个函数模拟该品牌手机的销售量 (单位:万部)与月份x之间的关系,现从二次函数  或函数  中选用一个效果好的函数行模拟,如果月份的销售量为万件,则月份的销售量为__________万件.

三、解答题(共35分)

16、(8分)某公司为了实现年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案:从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%现有三个奖励模型:，，，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.

(参考数据:，，)

17、(9分)某工厂今年月、月、月生产某种产品的数量分别是万件、万件、万件,为了预测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 (其中为常数),已知月份该产品的产量为万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由.

18、(9分)函数的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以为分界点).

19、(9分)某汽车公司曾在2014年初公告:2014年销量目标为39.3万辆;且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标.已知2011年,某汽车年销量8万辆;2012年,某汽车年销量18万辆;2013年,某汽车年销量30万辆.如果我们分别将2011,2012,2013,2014年定义为第一、第二、第三、第四年,现在有两个函数模型:二次函数型,指数函数型,哪个模型能更好地反映该公司年销量与第年的关系?

参考答案

1、答案：A

解析：本题考查函数模型的选择.作出散点图，如下图，可知该函数单调递增，符合对数函数图象性质，经数值验证，符合A选项的函数关系.

2、答案：D

解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D.

3、答案：D

解析：设每月的平均增长率为x，1月份产量为a，则，所以，即.

4、答案：A

解析：把的值分别代入中，基本成立，故A能最佳体现这些数据关系；

把的值分别代入中，不成立，故B不能最佳体现这些数据关系；

把的值分别代入中，不成立，故C不能最佳体现这些数据关系；

把的值分别代入中，不成立，故D不能最佳体现这些数据关系。

故选A.

5、答案：B

解析：由题意知，该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了2000 mg该药物，x个小时后病人血液中这种药物的含量为，故选B.

6、答案：C

解析：通过题中所给数据可知，随着x的增大，y的增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.

7、答案：B

解析：A选项中，当时，，超过2万元，不符；

B选项中，在上是增函数，时，，结合图象知，在上恒成立，故B符合；

C选项中，当时，，超过2万元，不符；

D选项中，当时，，

设，

则.

因此，超过2万元，不符.

故选B.

8、答案：A

解析：由于指数函数增长最快，对数函数增长最慢，因此当x很大时，指数函数值最大，对数函数值最小，

即在区间上一定存在，当时，，故选A.

9、答案：D

解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D.

10、答案：B

解析：由函数性质可知，在内，指数函数增长速度最快，对数函数增长速度最慢，所以.故选B.

11、答案：5%

解析：设商品的原价为x元，成本为y元，则，.若该商品参加“买一件送同样一件”的活动，则每件售价为，利润率为.

12、答案：<

解析：由这两个函数的图象可知，指数函数增长得快些，所以.

13、答案：①

解析：

14、答案：

解析：当x变大时，x比增长要快，所以要比增长的要快.

答案：.

15、答案：1.375

解析：由题意可得,当选用函数 时, ,解得, ,当选用函数时,解得, , ∵更接近于,选用函数拟合效果较好, ,  月份的销售量为,故答案为.

16、答案：由题意，符合公司要求的模型需同时满足:当时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③.

(1)对于，易知满足①，但当时，，不满足公司的要求.

(2)对于，易知满足①，但当时，，不满足公司的要求.

(3)对于，易知满足①.当时，.

下面证明.

因为，满足②

再证明，即.

设，则，，

所以在上为减函数，

，满足③.

综上，奖励模型能完全符合公司的要求.

解析：

17、答案：

根据题意,该产品的月产量是月份的函数,可供选用的函数有两种,其中哪一种函数确定的月份该产品的产量越接近于万件,哪种函数作为模拟函数就较好,故应先确定这两个函数的具体解析式.

设 (为常数,且),,根据已知有

和

解得和

所以.

所以.

显然更接近于,故选用作为模拟函数较好.

解析：

18、答案：

由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线对应的函数是,曲线对应的函数是,曲线对应的函数是

由题图知,当时,

当时,

当时,

当时,

当时, ;

当时,

当时

解析：

19、答案：

建立年销量 (万辆)与第年的函数,可知函数图象必过点

(1)构造二次函数型,

将点的坐标代入,可得解得

则,故,与计划误差为.

(2)构造指数函数型,将点的坐标代入,

可得解得

则,

故,与计划误差为.

由上可得, 模型能更好地反映该公司年销量 (万辆)与第年的关系.

解析：