还剩52页未读，
继续阅读
所属成套资源：多地区中考数学真题按题型知识点分层分类汇编
成套系列资料，整套一键下载
四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-06解答题（基础题）
展开
这是一份四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-06解答题（基础题），共55页。试卷主要包含了﹣1，0+2﹣1+cs45°﹣|﹣|，﹣2，0﹣|﹣|++2﹣2，﹣1+，2÷，其中a＝4，﹣1|﹣2cs45°；，，其中x是不等式组的整数解等内容，欢迎下载使用。
四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-06解答题（基础题）
一．实数的运算（共5小题）
1．（2022•广安）计算：（﹣1）0+|﹣2|+2cos30°﹣（）﹣1．
2．（2022•泸州）计算：（）0+2﹣1+cos45°﹣|﹣|．
3．（2022•广元）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．
4．（2022•眉山）计算：（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2．
5．（2022•遂宁）计算：tan30°+|1﹣|+（π﹣）0﹣（）﹣1+．
二．分式的混合运算（共1小题）
6．（2022•泸州）化简：（+1）÷．
三．分式的化简求值（共7小题）
7．（2022•遂宁）先化简，再求值：（1﹣）2÷，其中a＝4．
8．（2022•广安）先化简：（+x+2）÷，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．
9．（2022•内江）（1）计算：+|（﹣）﹣1|﹣2cos45°；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣，b＝+4．
10．（2022•广元）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
11．（2022•乐山）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
12．（2022•达州）化简求值：÷（+），其中a＝﹣1．
13．（2022•凉山州）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m为满足﹣1＜m＜4的整数．
四．负整数指数幂（共1小题）
14．（2022•雅安）（1）计算：（）2+|﹣4|﹣（）﹣1；
（2）化简：（1+）÷，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
五．一元一次方程的应用（共1小题）
15．（2022•南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
六．二元一次方程组的应用（共2小题）
16．（2022•广元）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
17．（2022•雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．
七．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
18．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
八．一元二次方程的应用（共1小题）
19．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
九．解分式方程（共1小题）
20．（2022•眉山）解方程：＝．
一十．解一元一次不等式组（共2小题）
21．（2022•乐山）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为 ．
22．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
一十一．一元一次不等式组的应用（共3小题）
23．（2022•绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
24．（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
25．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
一十二．一次函数的应用（共2小题）
26．（2022•广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．
（1）求A、B两厂各运送多少吨水泥；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
27．（2022•成都）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示．
（1）直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
28．（2022•广安）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，
（2）根据图象直接写出：当x＜0时，不等式kx+b≤的解集．
29．（2022•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
一十四．全等三角形的判定（共1小题）
30．（2022•乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．
一十五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
31．（2022•内江）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
一十六．菱形的性质（共1小题）
32．（2022•遂宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△AOE≌△DFE；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
一十七．菱形的判定与性质（共1小题）
33．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
一十八．矩形的性质（共1小题）
34．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝ ，EF＝ ；
（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．
一十九．切线的判定与性质（共1小题）
35．（2022•广安）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．
二十．命题与定理（共1小题）
36．（2022•广安）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知： ， ．
求证： ．
二十一．特殊角的三角函数值（共4小题）
37．（2022•乐山）sin30°+﹣2﹣1．
38．（2022•宜宾）计算：
（1）﹣4sin30°+|﹣2|；
（2）（1﹣）÷．
39．（2022•达州）计算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（）0﹣2tan45°．
40．（2022•成都）（1）计算：（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|．
（2）解不等式组：
二十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
41．（2022•眉山）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进60 m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45°，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73）
二十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
42．（2022•广安）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）
参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
二十四．扇形统计图（共2小题）
43．（2022•绵阳）目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题．某市在实施居民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干个家庭去年的月均用水量数据（单位：t），整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
月均用水量（t）
2≤x＜3.5
3.5≤x＜5
5≤x＜6.5
6.5≤x＜8
8≤x＜9.5
频数
7
6
对应的扇形区域
A
B
C
D
E
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数；
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使该市60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？并说明理由．
44．（2022•达州）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96
m
众数
b
98
方差
28.6
28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
二十五．条形统计图（共1小题）
45．（2022•乐山）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．趣味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．
（1）请对张老师的工作步骤正确排序 ．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 ．
A．随机抽取八年级三班的40名学生
B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生
D．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．
二十六．列表法与树状图法（共7小题）
46．（2022•雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率．
47．（2022•宜宾）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
48．（2022•眉山）北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取了20名志愿者的测试成绩．成绩如下：
84 93 91 87 94 86 97 100 88 94 92 91 82 89 87 92 98 92 93 88
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
3
B
90≤x＜95
9
C
85≤x＜90
▲
D
80≤x＜85
2
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）C等级的频数为 ，B所对应的扇形圆心角度数为 ；
（2）该批志愿者有1500名，若成绩不低于90分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名男志愿者，现从A等级中随机抽取2名志愿者，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
49．（2022•成都）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级
时长t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
0≤t＜2
4
x
B
2≤t＜4
20
C
4≤t＜6
36%
D
t≥6
16%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ，表中x的值为 ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
50．（2022•泸州）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时）
频数
0.5≤t＜1
12
1≤t＜1.5
a
1.5≤t＜2
28
2≤t＜2.5
16
2.5≤t≤3
4
（1）m＝ ，a＝ ；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
51．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：
（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
52．（2022•遂宁）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．
四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-06解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共5小题）
1．（2022•广安）计算：（﹣1）0+|﹣2|+2cos30°﹣（）﹣1．
【解答】解：原式＝1+2﹣+2×﹣3
＝1+2﹣+﹣3
＝0．
2．（2022•泸州）计算：（）0+2﹣1+cos45°﹣|﹣|．
【解答】解：原式＝1++×﹣
＝1++1﹣
＝1+1
＝2．
3．（2022•广元）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．
【解答】解：原式＝2×+﹣2+1﹣2+
＝+﹣2+1﹣2+4
＝3．
4．（2022•眉山）计算：（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2．
【解答】解：（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2
＝
＝7．
5．（2022•遂宁）计算：tan30°+|1﹣|+（π﹣）0﹣（）﹣1+．
【解答】解：tan30°+|1﹣|+（π﹣）0﹣（）﹣1+
＝+1﹣+1﹣3+4
＝3．
二．分式的混合运算（共1小题）
6．（2022•泸州）化简：（+1）÷．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
三．分式的化简求值（共7小题）
7．（2022•遂宁）先化简，再求值：（1﹣）2÷，其中a＝4．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
当a＝4时，
原式＝．
8．（2022•广安）先化简：（+x+2）÷，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝x，
∵x（x﹣2）≠0，
∴x≠0，x≠2，
当x＝1时，原式＝1，
当x＝3时，原式＝3．
9．（2022•内江）（1）计算：+|（﹣）﹣1|﹣2cos45°；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣，b＝+4．
【解答】解：（1）原式＝×2+2﹣2×
＝+2﹣
＝2．
（2）原式＝[+]•
＝•
＝．
当a＝﹣，b＝+4时，原式＝．
10．（2022•广元）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
解第一个不等式得：x＜3，
解第二个不等式得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∵x为整数，
∴x的值为﹣1，0，1，2，
∵x≠0，x+1≠0，（x+1）（x﹣1）≠0，x（x﹣1）≠0，
∴x只能取2，
当x＝2时，
原式＝＝．
11．（2022•乐山）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝x+1，
当x＝时，原式＝+1．
12．（2022•达州）化简求值：÷（+），其中a＝﹣1．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝，
把a＝﹣1代入．
13．（2022•凉山州）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m为满足﹣1＜m＜4的整数．
【解答】解：（m+2+）•
＝•
＝•
＝•
＝﹣2（m+3）
＝﹣2m﹣6，
∵m≠2，m≠3，
∴当m＝0时，原式＝﹣6
当m＝1时，原式＝﹣2×1﹣6
＝﹣2﹣6
＝﹣8．
四．负整数指数幂（共1小题）
14．（2022•雅安）（1）计算：（）2+|﹣4|﹣（）﹣1；
（2）化简：（1+）÷，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
【解答】解：（1）原式＝3+4﹣2
＝5；
（2）原式＝•
＝•
＝，
当a＝﹣2或2时，原式没有意义；
当a＝0时，原式＝＝1．
五．一元一次方程的应用（共1小题）
15．（2022•南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
【解答】解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000，
解得：a＝260．
答：a的值为260．
（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，
依题意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100．
设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此时300﹣x＝300﹣100＝200．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
（3）设每件真丝围巾降价y元，
依题意得：（300﹣260）×100+（100﹣80）××200+（100﹣y﹣80）××200≥8000×90%，
解得：y≤8．
答：每件真丝围巾最多降价8元．
六．二元一次方程组的应用（共2小题）
16．（2022•广元）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
【解答】解：（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
（2）设科技类图书的购买数量为m本，购买这两种图书的总金额为w元，则文学类图书的购买数量为（100﹣m）本．
①当30≤m≤40时，w＝38m+26（100﹣m）＝12m+2600，
∵12＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴2960≤w≤3080；
②当40＜m≤50时，w＝[38﹣（m﹣40）]m+26（100﹣m）＝﹣（m﹣26）2+3276，
∵﹣1＜0，
∴当m＞26时，w随m的增大而减小，
∴2700≤w＜3080；
③当50＜m≤60时，w＝[38﹣（50﹣40）]m+26（100﹣m）＝2m+2600，
∵2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴2700＜w≤2720．
综上，当30≤m≤60时，w的最小值为2700．
答：社区至少要准备2700元购书款．
17．（2022•雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．
【解答】解：（1）A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，
根据题意得：．
解得：
答：A商品每件的进价为100元，B商品每件的进价为60元．
（2）∵A商品m件，∴B商品（80﹣m）件，
∴w＝（150﹣100）m+（80﹣60）（80﹣m）
＝30m+1600．
七．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
18．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
八．一元二次方程的应用（共1小题）
19．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
九．解分式方程（共1小题）
20．（2022•眉山）解方程：＝．
【解答】解：＝，
方程两边同乘（x﹣1）（2x+1）得：
2x+1＝3（x﹣1），
解这个整式方程得：
x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣1）（2x+1）≠0，
∴x＝4是原方程的解．
一十．解一元一次不等式组（共2小题）
21．（2022•乐山）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 x＞﹣2 ．
解不等式②，得 x≤3 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为 ﹣2＜x≤3 ．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣2．
解不等式②，得x≤3．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为﹣2＜x≤3，
故答案为：x＞﹣2，x≤3，﹣2＜x≤3．
22．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
【解答】解：由不等式3x＜6，解得：x＜2，
由不等式5x+4＞3x+2，解得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，
∴在数轴上表示不等式组的解集为：
一十一．一元一次不等式组的应用（共3小题）
23．（2022•绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
【解答】解：（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，
依题意得：，
解得：，
∴（6﹣5）x+（8﹣6）y＝（6﹣5）×100+（8﹣6）×200＝500（元）．
答：这两种水果获得的总利润为500元．
（2）设购进mkg菠萝，则购进kg苹果，
依题意得：，
解得：88≤m＜100．
又∵m，均为正整数，
∴m可以为88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案1：购进88kg菠萝，210kg苹果；
方案2：购进94kg菠萝，205kg苹果．
24．（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
【解答】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
25．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【解答】解：（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元．
（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，
依题意得：，
解得：20≤m≤30．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（160﹣120）m+（200﹣150）（40﹣m）＝﹣10m+2000．
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最大值，此时40﹣m＝40﹣20＝20．
答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
一十二．一次函数的应用（共2小题）
26．（2022•广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．
（1）求A、B两厂各运送多少吨水泥；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
【解答】解：（1）设A厂运送水泥x吨，则B厂运送水泥（x+20）吨，
根据题意得：x+x+20＝520，
解得：x＝250，
此时x+20＝270，
答：A厂运送水泥250吨，B厂运送水泥270吨；
（2）设从A厂运往甲地水泥a吨，则A厂运往乙地水泥（250﹣a） 吨，B厂运往甲地水泥（240﹣a）吨，B厂运往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）吨，
由题意得：w＝40a+35（250﹣a）+28（240﹣a）+25（a+30）＝40a+8750﹣35a+6720﹣28a+25a+750＝2a+16220，
∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，
∴240﹣a≤150，
解得：a≥90，
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝90时，总运费最低，
最低运费为：2×90+16220＝16400（元），
∴最低运送方案为A厂运往甲地水泥90吨，运往乙地水泥160吨：B厂运往甲地水泥150吨，B厂运往乙地水泥120吨，最低运费为16400元．
27．（2022•成都）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示．
（1）直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？
【解答】解：（1）当0≤t≤0.2时，设s＝at，
把（0.2，3）代入解析式得，0.2a＝3，
解得：a＝15，
∴s＝15t；
当t＞0.2时，设s＝kt+b，
把（0.2，3）和（0.5，9）代入解析式，
得，
解得，
∴s＝20t﹣1，
∴s与t之间的函数表达式为s＝；
（2）由（1）可知0≤t≤0.2时，乙骑行的速度为15km/h，而甲的速度为18km/h，则甲在乙前面，当t＞0.2时，乙骑行的速度为20km/h，甲的速度为18km/h，
设x小时后，乙骑行在甲的前面，
则18x＜20x﹣1，
解得：x＞0.5，
答：0.5小时后乙骑行在甲的前面
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
28．（2022•广安）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，
（2）根据图象直接写出：当x＜0时，不等式kx+b≤的解集．
【解答】解：（1）把点A（﹣4，3）代入函数y＝（m为常数，m≠0）得：m＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式y＝﹣．
∴OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（﹣4，3）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式y＝﹣2x﹣5；
（2）当x＜0时，不等式kx+b≤的解集为﹣4≤x＜0．
29．（2022•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【解答】解：∵点A（﹣1，n）在直线l：y＝x+4上，
∴n＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∵点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）易知直线l：y＝x+4与x、y轴的交点分别为B（﹣4，0），C（0，4），
∵直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称，
∴直线l′与x轴的交点为E（2，0），
设l′：y＝kx+b，则，
解得：，
∴l′：y＝﹣x+2，
∴l′与y轴的交点为D（0，2），
∴阴影部分的面积＝△BOC的面积﹣△ACD的面积＝×4×4﹣×2×1＝7．
一十四．全等三角形的判定（共1小题）
30．（2022•乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．
【解答】证明：∵点B为线段AC的中点，
∴AB＝BC，
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
∵BD∥CE，
∴∠C＝∠DBA，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE．（ASA）．
一十五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
31．（2022•内江）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
一十六．菱形的性质（共1小题）
32．（2022•遂宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△AOE≌△DFE；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD＝∠ADF，
∵∠AEO＝∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）．
（2）解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO＝DF，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODF为矩形．
一十七．菱形的判定与性质（共1小题）
33．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
一十八．矩形的性质（共1小题）
34．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝ CD ，EF＝ AD ；
（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．
【解答】（1）解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，
∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
故答案为：CD，AD；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD；
（3）如图，过点E作EG⊥BC于G，
∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，
∴CH＝DH＝40cm，
在Rt△BHC中，BH＝＝＝50（cm），
∵EG⊥BC，
∴CH∥EG，
∴△BCH∽△BGE，
∴，
∴＝，
∴EG＝64，
∴EF与BC之间的距离为64cm．
一十九．切线的判定与性质（共1小题）
35．（2022•广安）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠BDC+∠ODB＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ADB＝90°，tan∠BED＝，
∴，
∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD，
∴△BDC∽△DAC，
∴＝，
∵AC＝9，
∴，
∴CD＝6，
∴，
∴BC＝4，
∴AB＝AC﹣BC＝9﹣4＝5．
∴⊙O的半径为．
二十．命题与定理（共1小题）
36．（2022•广安）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知： ①BC＝AD ， ②∠ABC＝∠BAD ．
求证： ③AC＝BD ．
【解答】解：答案不唯一．
∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD．
又∵AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD．
二十一．特殊角的三角函数值（共4小题）
37．（2022•乐山）sin30°+﹣2﹣1．
【解答】解：原式＝+3﹣
＝3．
38．（2022•宜宾）计算：
（1）﹣4sin30°+|﹣2|；
（2）（1﹣）÷．
【解答】解：（1）﹣4sin30°+|﹣2|
＝2﹣4×+2﹣
＝2﹣2+2﹣
＝；
（2）（1﹣）÷
＝（）．
＝
＝a﹣1．
39．（2022•达州）计算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（）0﹣2tan45°．
【解答】解：原式＝1+2﹣1﹣2×1
＝1+2﹣1﹣2
＝0．
40．（2022•成都）（1）计算：（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|．
（2）解不等式组：
【解答】解：（1）原式＝2﹣3+3×+2﹣
＝﹣1++2﹣
＝1；
（2）解不等式①得，x≥﹣1，
解不等式②得，x＜2，
把两个不等式的解集在同一条数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
二十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
41．（2022•眉山）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进60 m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45°，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73）
【解答】解：在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
设CD为xm，
∴BD＝CD＝xm，
∴AD＝BD+AB＝（60+x）m，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
tan∠CAD＝tan30°＝＝，
解得≈82．
答：此建筑物的高度约为82 m．
二十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
42．（2022•广安）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）
参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，过点D作DG⊥BC于点G，如图所示：
则四边形GDHB是矩形，
∴GD＝BH，DH＝GB，
根据题意，CD＝300米，∠CDG＝37°，
∴DG＝CD•cos37°≈300×0.80＝240（米），
CG＝CD•sin37°≈300×0.60＝180（米），
∴HB＝240米，
∵AB＝450米，∠DAH＝65°，
∴AH＝210米，
∴DH＝AH•tan65°≈210×2.14＝449.4（米），
∴BC＝CG+BG＝180+449.4＝629.4≈629（米），
∴菜园与果园之间的距离为629米．
二十四．扇形统计图（共2小题）
43．（2022•绵阳）目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题．某市在实施居民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干个家庭去年的月均用水量数据（单位：t），整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
月均用水量（t）
2≤x＜3.5
3.5≤x＜5
5≤x＜6.5
6.5≤x＜8
8≤x＜9.5
频数
7
6
对应的扇形区域
A
B
C
D
E
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数；
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使该市60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？并说明理由．
【解答】解：（1）抽取的总数为：7÷14%＝50，
B的频数为：50×46%＝23，
C的频数为：50×24%＝12，
频数分布直方图如下：
扇形图中扇形E对应的圆心角的度数为：360°×＝14.4°；
（2）要使60%的家庭收费不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由如下：
因为月平均用水量不超过5吨的有7+23＝30（户），30÷50＝60%．
44．（2022•达州）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96
m
众数
b
98
方差
28.6
28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 30 ，b＝ 96 ，m＝ 93 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
【解答】解：（1）a＝（1﹣20%﹣10%﹣）×100＝30，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴m＝＝93；
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，
∴b＝96，
故答案为：30，96，93；
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的众数高于七年级；
（3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是：1200×＝540（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是540人．
二十五．条形统计图（共1小题）
45．（2022•乐山）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．趣味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．
（1）请对张老师的工作步骤正确排序 ①③②④ ．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 D ．
A．随机抽取八年级三班的40名学生
B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生
D．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．
【解答】解：（1）根据数据的收集与整理的具体步骤可判断顺序为：①③②④，
故答案为：①③②④；
（2）根据抽样调查的特点易判断出：D，
故答案为：D；
（3）由条形统计图可估计，八年级学生中选择趣味数学的人数为：
×1000＝200（人），
200÷40＝5，
答：至少应该开设5个班．
二十六．列表法与树状图法（共7小题）
46．（2022•雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率．
【解答】解：（1）50﹣20﹣25﹣2＝3（户），
即这50户家庭中5月用水量在20～30t的有3户；
（2）＝12.4（t），
即估计该小区平均每户用水量约为12.4t；
（3）由（1）知：用水量在20～30t有3户，
由条形统计图可知，用水量在30～40t有2户，
设水量在20～30t的用户用A表示，用水量在30～40t的用户用B表示，
树状图如下所示，
由上可得，一共有20种可能性，其中至少有1户用水量在30～40t的有14种可能性，
∴至少有1户用水量在30～40t的概率是＝．
47．（2022•宜宾）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
【解答】解：（1）九年级（1）班的人数为：12÷30%＝40（人），
选择C类书籍的人数为：40﹣12﹣16﹣8＝4（人），
补全条形统计图如图所示；
（2）m%＝×100%＝40%，
则m＝40；
（3）∵选择C类书籍的同学共4人，有2名女同学，
∴有2名男同学，
画树状图如图所示：
则P（一男一女）＝＝．
48．（2022•眉山）北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取了20名志愿者的测试成绩．成绩如下：
84 93 91 87 94 86 97 100 88 94 92 91 82 89 87 92 98 92 93 88
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
3
B
90≤x＜95
9
C
85≤x＜90
▲
D
80≤x＜85
2
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）C等级的频数为 6 ，B所对应的扇形圆心角度数为 162° ；
（2）该批志愿者有1500名，若成绩不低于90分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名男志愿者，现从A等级中随机抽取2名志愿者，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）等级C的频数＝20﹣3﹣9﹣2＝6，
B所占的百分比为：9÷20×100%＝45%，
∴B所对应的扇形圆心角度数为：360×45%＝162°．
故答案是：6，162°；
（2）随机抽取的20名志愿者的测试成绩中大于等于9（0分）的人数共有12人，其占样本人数的百分比为：12÷20×100%＝60%，
∴1500名志愿者中成绩达到优秀等级的人数有：1500×60%＝900人．
（3）列出树状图如下所示：
共有6种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有4种，
∴恰好抽到一男一女的概率P（一男一女）＝．
49．（2022•成都）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级
时长t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
0≤t＜2
4
x
B
2≤t＜4
20
C
4≤t＜6
36%
D
t≥6
16%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 50 ，表中x的值为 8% ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为8÷16%＝50（人），
所以x＝＝8%；
故答案为：50；8%；
（2）500×＝200（人），
所以估计等级为B的学生人数为200人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
50．（2022•泸州）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时）
频数
0.5≤t＜1
12
1≤t＜1.5
a
1.5≤t＜2
28
2≤t＜2.5
16
2.5≤t≤3
4
（1）m＝ 80 ，a＝ 20 ；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）m＝12÷15%＝80，
a＝80﹣12﹣28﹣16﹣4＝20；
故答案为：80；20；
（2）640×＝160（人），
所以估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有160人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
51．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：
（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
【解答】解：（1）n＝＝100，
∴D等级的人数＝100﹣40﹣15﹣10＝35（人），
条形统计图补充如下：
（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数＝2000×＝900（人），
∴估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；
（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：
∴共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属D等级有2种，
∴所求概率＝＝．
52．（2022•遂宁）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 100 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 800 人；
（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．
【解答】解：（1）∵调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有40人，占调查人数的40%，
∴一共调查了40÷40%＝100（人），
若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有2000×40%＝800（人），
故答案为：100，800；
（2）∵一共调查了100名学生，爱好单板滑雪的占10%，
∴爱好单板滑雪的学生数为100×10%＝10（人），
∴爱好自由式滑雪的学生数为100﹣40﹣20﹣10＝30（人），
补全条形统计图如下：
（3）
从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有12种，
抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果有：（A，C），（B，C），（D，C）（C，A），（C，B），（C，D），一共6种等可能的结果，
∴P（抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C）＝＝．
答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率是．
四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-06解答题（基础题）
一．实数的运算（共5小题）
1．（2022•广安）计算：（﹣1）0+|﹣2|+2cos30°﹣（）﹣1．
2．（2022•泸州）计算：（）0+2﹣1+cos45°﹣|﹣|．
3．（2022•广元）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．
4．（2022•眉山）计算：（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2．
5．（2022•遂宁）计算：tan30°+|1﹣|+（π﹣）0﹣（）﹣1+．
二．分式的混合运算（共1小题）
6．（2022•泸州）化简：（+1）÷．
三．分式的化简求值（共7小题）
7．（2022•遂宁）先化简，再求值：（1﹣）2÷，其中a＝4．
8．（2022•广安）先化简：（+x+2）÷，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．
9．（2022•内江）（1）计算：+|（﹣）﹣1|﹣2cos45°；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣，b＝+4．
10．（2022•广元）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
11．（2022•乐山）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
12．（2022•达州）化简求值：÷（+），其中a＝﹣1．
13．（2022•凉山州）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m为满足﹣1＜m＜4的整数．
四．负整数指数幂（共1小题）
14．（2022•雅安）（1）计算：（）2+|﹣4|﹣（）﹣1；
（2）化简：（1+）÷，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
五．一元一次方程的应用（共1小题）
15．（2022•南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
六．二元一次方程组的应用（共2小题）
16．（2022•广元）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
17．（2022•雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．
七．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
18．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
八．一元二次方程的应用（共1小题）
19．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
九．解分式方程（共1小题）
20．（2022•眉山）解方程：＝．
一十．解一元一次不等式组（共2小题）
21．（2022•乐山）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为 ．
22．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
一十一．一元一次不等式组的应用（共3小题）
23．（2022•绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
24．（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
25．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
一十二．一次函数的应用（共2小题）
26．（2022•广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．
（1）求A、B两厂各运送多少吨水泥；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
27．（2022•成都）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示．
（1）直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
28．（2022•广安）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，
（2）根据图象直接写出：当x＜0时，不等式kx+b≤的解集．
29．（2022•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
一十四．全等三角形的判定（共1小题）
30．（2022•乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．
一十五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
31．（2022•内江）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
一十六．菱形的性质（共1小题）
32．（2022•遂宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△AOE≌△DFE；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
一十七．菱形的判定与性质（共1小题）
33．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
一十八．矩形的性质（共1小题）
34．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝ ，EF＝ ；
（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．
一十九．切线的判定与性质（共1小题）
35．（2022•广安）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．
二十．命题与定理（共1小题）
36．（2022•广安）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知： ， ．
求证： ．
二十一．特殊角的三角函数值（共4小题）
37．（2022•乐山）sin30°+﹣2﹣1．
38．（2022•宜宾）计算：
（1）﹣4sin30°+|﹣2|；
（2）（1﹣）÷．
39．（2022•达州）计算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（）0﹣2tan45°．
40．（2022•成都）（1）计算：（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|．
（2）解不等式组：
二十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
41．（2022•眉山）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进60 m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45°，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73）
二十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
42．（2022•广安）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）
参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
二十四．扇形统计图（共2小题）
43．（2022•绵阳）目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题．某市在实施居民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干个家庭去年的月均用水量数据（单位：t），整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
月均用水量（t）
2≤x＜3.5
3.5≤x＜5
5≤x＜6.5
6.5≤x＜8
8≤x＜9.5
频数
7
6
对应的扇形区域
A
B
C
D
E
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数；
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使该市60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？并说明理由．
44．（2022•达州）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96
m
众数
b
98
方差
28.6
28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
二十五．条形统计图（共1小题）
45．（2022•乐山）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．趣味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．
（1）请对张老师的工作步骤正确排序 ．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 ．
A．随机抽取八年级三班的40名学生
B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生
D．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．
二十六．列表法与树状图法（共7小题）
46．（2022•雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率．
47．（2022•宜宾）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
48．（2022•眉山）北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取了20名志愿者的测试成绩．成绩如下：
84 93 91 87 94 86 97 100 88 94 92 91 82 89 87 92 98 92 93 88
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
3
B
90≤x＜95
9
C
85≤x＜90
▲
D
80≤x＜85
2
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）C等级的频数为 ，B所对应的扇形圆心角度数为 ；
（2）该批志愿者有1500名，若成绩不低于90分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名男志愿者，现从A等级中随机抽取2名志愿者，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
49．（2022•成都）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级
时长t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
0≤t＜2
4
x
B
2≤t＜4
20
C
4≤t＜6
36%
D
t≥6
16%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ，表中x的值为 ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
50．（2022•泸州）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时）
频数
0.5≤t＜1
12
1≤t＜1.5
a
1.5≤t＜2
28
2≤t＜2.5
16
2.5≤t≤3
4
（1）m＝ ，a＝ ；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
51．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：
（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
52．（2022•遂宁）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．
四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-06解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共5小题）
1．（2022•广安）计算：（﹣1）0+|﹣2|+2cos30°﹣（）﹣1．
【解答】解：原式＝1+2﹣+2×﹣3
＝1+2﹣+﹣3
＝0．
2．（2022•泸州）计算：（）0+2﹣1+cos45°﹣|﹣|．
【解答】解：原式＝1++×﹣
＝1++1﹣
＝1+1
＝2．
3．（2022•广元）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．
【解答】解：原式＝2×+﹣2+1﹣2+
＝+﹣2+1﹣2+4
＝3．
4．（2022•眉山）计算：（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2．
【解答】解：（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2
＝
＝7．
5．（2022•遂宁）计算：tan30°+|1﹣|+（π﹣）0﹣（）﹣1+．
【解答】解：tan30°+|1﹣|+（π﹣）0﹣（）﹣1+
＝+1﹣+1﹣3+4
＝3．
二．分式的混合运算（共1小题）
6．（2022•泸州）化简：（+1）÷．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
三．分式的化简求值（共7小题）
7．（2022•遂宁）先化简，再求值：（1﹣）2÷，其中a＝4．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
当a＝4时，
原式＝．
8．（2022•广安）先化简：（+x+2）÷，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝x，
∵x（x﹣2）≠0，
∴x≠0，x≠2，
当x＝1时，原式＝1，
当x＝3时，原式＝3．
9．（2022•内江）（1）计算：+|（﹣）﹣1|﹣2cos45°；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣，b＝+4．
【解答】解：（1）原式＝×2+2﹣2×
＝+2﹣
＝2．
（2）原式＝[+]•
＝•
＝．
当a＝﹣，b＝+4时，原式＝．
10．（2022•广元）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
解第一个不等式得：x＜3，
解第二个不等式得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∵x为整数，
∴x的值为﹣1，0，1，2，
∵x≠0，x+1≠0，（x+1）（x﹣1）≠0，x（x﹣1）≠0，
∴x只能取2，
当x＝2时，
原式＝＝．
11．（2022•乐山）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝x+1，
当x＝时，原式＝+1．
12．（2022•达州）化简求值：÷（+），其中a＝﹣1．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝，
把a＝﹣1代入．
13．（2022•凉山州）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m为满足﹣1＜m＜4的整数．
【解答】解：（m+2+）•
＝•
＝•
＝•
＝﹣2（m+3）
＝﹣2m﹣6，
∵m≠2，m≠3，
∴当m＝0时，原式＝﹣6
当m＝1时，原式＝﹣2×1﹣6
＝﹣2﹣6
＝﹣8．
四．负整数指数幂（共1小题）
14．（2022•雅安）（1）计算：（）2+|﹣4|﹣（）﹣1；
（2）化简：（1+）÷，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
【解答】解：（1）原式＝3+4﹣2
＝5；
（2）原式＝•
＝•
＝，
当a＝﹣2或2时，原式没有意义；
当a＝0时，原式＝＝1．
五．一元一次方程的应用（共1小题）
15．（2022•南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
【解答】解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000，
解得：a＝260．
答：a的值为260．
（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，
依题意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100．
设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此时300﹣x＝300﹣100＝200．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
（3）设每件真丝围巾降价y元，
依题意得：（300﹣260）×100+（100﹣80）××200+（100﹣y﹣80）××200≥8000×90%，
解得：y≤8．
答：每件真丝围巾最多降价8元．
六．二元一次方程组的应用（共2小题）
16．（2022•广元）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
【解答】解：（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
（2）设科技类图书的购买数量为m本，购买这两种图书的总金额为w元，则文学类图书的购买数量为（100﹣m）本．
①当30≤m≤40时，w＝38m+26（100﹣m）＝12m+2600，
∵12＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴2960≤w≤3080；
②当40＜m≤50时，w＝[38﹣（m﹣40）]m+26（100﹣m）＝﹣（m﹣26）2+3276，
∵﹣1＜0，
∴当m＞26时，w随m的增大而减小，
∴2700≤w＜3080；
③当50＜m≤60时，w＝[38﹣（50﹣40）]m+26（100﹣m）＝2m+2600，
∵2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴2700＜w≤2720．
综上，当30≤m≤60时，w的最小值为2700．
答：社区至少要准备2700元购书款．
17．（2022•雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．
【解答】解：（1）A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，
根据题意得：．
解得：
答：A商品每件的进价为100元，B商品每件的进价为60元．
（2）∵A商品m件，∴B商品（80﹣m）件，
∴w＝（150﹣100）m+（80﹣60）（80﹣m）
＝30m+1600．
七．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
18．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
八．一元二次方程的应用（共1小题）
19．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
九．解分式方程（共1小题）
20．（2022•眉山）解方程：＝．
【解答】解：＝，
方程两边同乘（x﹣1）（2x+1）得：
2x+1＝3（x﹣1），
解这个整式方程得：
x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣1）（2x+1）≠0，
∴x＝4是原方程的解．
一十．解一元一次不等式组（共2小题）
21．（2022•乐山）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 x＞﹣2 ．
解不等式②，得 x≤3 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为 ﹣2＜x≤3 ．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣2．
解不等式②，得x≤3．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为﹣2＜x≤3，
故答案为：x＞﹣2，x≤3，﹣2＜x≤3．
22．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
【解答】解：由不等式3x＜6，解得：x＜2，
由不等式5x+4＞3x+2，解得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，
∴在数轴上表示不等式组的解集为：
一十一．一元一次不等式组的应用（共3小题）
23．（2022•绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
【解答】解：（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，
依题意得：，
解得：，
∴（6﹣5）x+（8﹣6）y＝（6﹣5）×100+（8﹣6）×200＝500（元）．
答：这两种水果获得的总利润为500元．
（2）设购进mkg菠萝，则购进kg苹果，
依题意得：，
解得：88≤m＜100．
又∵m，均为正整数，
∴m可以为88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案1：购进88kg菠萝，210kg苹果；
方案2：购进94kg菠萝，205kg苹果．
24．（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
【解答】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
25．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【解答】解：（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元．
（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，
依题意得：，
解得：20≤m≤30．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（160﹣120）m+（200﹣150）（40﹣m）＝﹣10m+2000．
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最大值，此时40﹣m＝40﹣20＝20．
答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
一十二．一次函数的应用（共2小题）
26．（2022•广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．
（1）求A、B两厂各运送多少吨水泥；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
【解答】解：（1）设A厂运送水泥x吨，则B厂运送水泥（x+20）吨，
根据题意得：x+x+20＝520，
解得：x＝250，
此时x+20＝270，
答：A厂运送水泥250吨，B厂运送水泥270吨；
（2）设从A厂运往甲地水泥a吨，则A厂运往乙地水泥（250﹣a） 吨，B厂运往甲地水泥（240﹣a）吨，B厂运往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）吨，
由题意得：w＝40a+35（250﹣a）+28（240﹣a）+25（a+30）＝40a+8750﹣35a+6720﹣28a+25a+750＝2a+16220，
∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，
∴240﹣a≤150，
解得：a≥90，
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝90时，总运费最低，
最低运费为：2×90+16220＝16400（元），
∴最低运送方案为A厂运往甲地水泥90吨，运往乙地水泥160吨：B厂运往甲地水泥150吨，B厂运往乙地水泥120吨，最低运费为16400元．
27．（2022•成都）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示．
（1）直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？
【解答】解：（1）当0≤t≤0.2时，设s＝at，
把（0.2，3）代入解析式得，0.2a＝3，
解得：a＝15，
∴s＝15t；
当t＞0.2时，设s＝kt+b，
把（0.2，3）和（0.5，9）代入解析式，
得，
解得，
∴s＝20t﹣1，
∴s与t之间的函数表达式为s＝；
（2）由（1）可知0≤t≤0.2时，乙骑行的速度为15km/h，而甲的速度为18km/h，则甲在乙前面，当t＞0.2时，乙骑行的速度为20km/h，甲的速度为18km/h，
设x小时后，乙骑行在甲的前面，
则18x＜20x﹣1，
解得：x＞0.5，
答：0.5小时后乙骑行在甲的前面
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
28．（2022•广安）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，
（2）根据图象直接写出：当x＜0时，不等式kx+b≤的解集．
【解答】解：（1）把点A（﹣4，3）代入函数y＝（m为常数，m≠0）得：m＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式y＝﹣．
∴OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（﹣4，3）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式y＝﹣2x﹣5；
（2）当x＜0时，不等式kx+b≤的解集为﹣4≤x＜0．
29．（2022•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【解答】解：∵点A（﹣1，n）在直线l：y＝x+4上，
∴n＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∵点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）易知直线l：y＝x+4与x、y轴的交点分别为B（﹣4，0），C（0，4），
∵直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称，
∴直线l′与x轴的交点为E（2，0），
设l′：y＝kx+b，则，
解得：，
∴l′：y＝﹣x+2，
∴l′与y轴的交点为D（0，2），
∴阴影部分的面积＝△BOC的面积﹣△ACD的面积＝×4×4﹣×2×1＝7．
一十四．全等三角形的判定（共1小题）
30．（2022•乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．
【解答】证明：∵点B为线段AC的中点，
∴AB＝BC，
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
∵BD∥CE，
∴∠C＝∠DBA，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE．（ASA）．
一十五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
31．（2022•内江）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
一十六．菱形的性质（共1小题）
32．（2022•遂宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△AOE≌△DFE；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD＝∠ADF，
∵∠AEO＝∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）．
（2）解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO＝DF，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODF为矩形．
一十七．菱形的判定与性质（共1小题）
33．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
一十八．矩形的性质（共1小题）
34．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝ CD ，EF＝ AD ；
（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．
【解答】（1）解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，
∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
故答案为：CD，AD；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD；
（3）如图，过点E作EG⊥BC于G，
∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，
∴CH＝DH＝40cm，
在Rt△BHC中，BH＝＝＝50（cm），
∵EG⊥BC，
∴CH∥EG，
∴△BCH∽△BGE，
∴，
∴＝，
∴EG＝64，
∴EF与BC之间的距离为64cm．
一十九．切线的判定与性质（共1小题）
35．（2022•广安）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠BDC+∠ODB＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ADB＝90°，tan∠BED＝，
∴，
∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD，
∴△BDC∽△DAC，
∴＝，
∵AC＝9，
∴，
∴CD＝6，
∴，
∴BC＝4，
∴AB＝AC﹣BC＝9﹣4＝5．
∴⊙O的半径为．
二十．命题与定理（共1小题）
36．（2022•广安）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知： ①BC＝AD ， ②∠ABC＝∠BAD ．
求证： ③AC＝BD ．
【解答】解：答案不唯一．
∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD．
又∵AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD．
二十一．特殊角的三角函数值（共4小题）
37．（2022•乐山）sin30°+﹣2﹣1．
【解答】解：原式＝+3﹣
＝3．
38．（2022•宜宾）计算：
（1）﹣4sin30°+|﹣2|；
（2）（1﹣）÷．
【解答】解：（1）﹣4sin30°+|﹣2|
＝2﹣4×+2﹣
＝2﹣2+2﹣
＝；
（2）（1﹣）÷
＝（）．
＝
＝a﹣1．
39．（2022•达州）计算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（）0﹣2tan45°．
【解答】解：原式＝1+2﹣1﹣2×1
＝1+2﹣1﹣2
＝0．
40．（2022•成都）（1）计算：（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|．
（2）解不等式组：
【解答】解：（1）原式＝2﹣3+3×+2﹣
＝﹣1++2﹣
＝1；
（2）解不等式①得，x≥﹣1，
解不等式②得，x＜2，
把两个不等式的解集在同一条数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
二十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
41．（2022•眉山）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进60 m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45°，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73）
【解答】解：在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
设CD为xm，
∴BD＝CD＝xm，
∴AD＝BD+AB＝（60+x）m，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
tan∠CAD＝tan30°＝＝，
解得≈82．
答：此建筑物的高度约为82 m．
二十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
42．（2022•广安）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）
参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，过点D作DG⊥BC于点G，如图所示：
则四边形GDHB是矩形，
∴GD＝BH，DH＝GB，
根据题意，CD＝300米，∠CDG＝37°，
∴DG＝CD•cos37°≈300×0.80＝240（米），
CG＝CD•sin37°≈300×0.60＝180（米），
∴HB＝240米，
∵AB＝450米，∠DAH＝65°，
∴AH＝210米，
∴DH＝AH•tan65°≈210×2.14＝449.4（米），
∴BC＝CG+BG＝180+449.4＝629.4≈629（米），
∴菜园与果园之间的距离为629米．
二十四．扇形统计图（共2小题）
43．（2022•绵阳）目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题．某市在实施居民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干个家庭去年的月均用水量数据（单位：t），整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
月均用水量（t）
2≤x＜3.5
3.5≤x＜5
5≤x＜6.5
6.5≤x＜8
8≤x＜9.5
频数
7
6
对应的扇形区域
A
B
C
D
E
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数；
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使该市60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？并说明理由．
【解答】解：（1）抽取的总数为：7÷14%＝50，
B的频数为：50×46%＝23，
C的频数为：50×24%＝12，
频数分布直方图如下：
扇形图中扇形E对应的圆心角的度数为：360°×＝14.4°；
（2）要使60%的家庭收费不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由如下：
因为月平均用水量不超过5吨的有7+23＝30（户），30÷50＝60%．
44．（2022•达州）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96
m
众数
b
98
方差
28.6
28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 30 ，b＝ 96 ，m＝ 93 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
【解答】解：（1）a＝（1﹣20%﹣10%﹣）×100＝30，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴m＝＝93；
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，
∴b＝96，
故答案为：30，96，93；
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的众数高于七年级；
（3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是：1200×＝540（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是540人．
二十五．条形统计图（共1小题）
45．（2022•乐山）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．趣味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．
（1）请对张老师的工作步骤正确排序 ①③②④ ．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 D ．
A．随机抽取八年级三班的40名学生
B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生
D．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．
【解答】解：（1）根据数据的收集与整理的具体步骤可判断顺序为：①③②④，
故答案为：①③②④；
（2）根据抽样调查的特点易判断出：D，
故答案为：D；
（3）由条形统计图可估计，八年级学生中选择趣味数学的人数为：
×1000＝200（人），
200÷40＝5，
答：至少应该开设5个班．
二十六．列表法与树状图法（共7小题）
46．（2022•雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率．
【解答】解：（1）50﹣20﹣25﹣2＝3（户），
即这50户家庭中5月用水量在20～30t的有3户；
（2）＝12.4（t），
即估计该小区平均每户用水量约为12.4t；
（3）由（1）知：用水量在20～30t有3户，
由条形统计图可知，用水量在30～40t有2户，
设水量在20～30t的用户用A表示，用水量在30～40t的用户用B表示，
树状图如下所示，
由上可得，一共有20种可能性，其中至少有1户用水量在30～40t的有14种可能性，
∴至少有1户用水量在30～40t的概率是＝．
47．（2022•宜宾）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
【解答】解：（1）九年级（1）班的人数为：12÷30%＝40（人），
选择C类书籍的人数为：40﹣12﹣16﹣8＝4（人），
补全条形统计图如图所示；
（2）m%＝×100%＝40%，
则m＝40；
（3）∵选择C类书籍的同学共4人，有2名女同学，
∴有2名男同学，
画树状图如图所示：
则P（一男一女）＝＝．
48．（2022•眉山）北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取了20名志愿者的测试成绩．成绩如下：
84 93 91 87 94 86 97 100 88 94 92 91 82 89 87 92 98 92 93 88
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
3
B
90≤x＜95
9
C
85≤x＜90
▲
D
80≤x＜85
2
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）C等级的频数为 6 ，B所对应的扇形圆心角度数为 162° ；
（2）该批志愿者有1500名，若成绩不低于90分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名男志愿者，现从A等级中随机抽取2名志愿者，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）等级C的频数＝20﹣3﹣9﹣2＝6，
B所占的百分比为：9÷20×100%＝45%，
∴B所对应的扇形圆心角度数为：360×45%＝162°．
故答案是：6，162°；
（2）随机抽取的20名志愿者的测试成绩中大于等于9（0分）的人数共有12人，其占样本人数的百分比为：12÷20×100%＝60%，
∴1500名志愿者中成绩达到优秀等级的人数有：1500×60%＝900人．
（3）列出树状图如下所示：
共有6种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有4种，
∴恰好抽到一男一女的概率P（一男一女）＝．
49．（2022•成都）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级
时长t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
0≤t＜2
4
x
B
2≤t＜4
20
C
4≤t＜6
36%
D
t≥6
16%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 50 ，表中x的值为 8% ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为8÷16%＝50（人），
所以x＝＝8%；
故答案为：50；8%；
（2）500×＝200（人），
所以估计等级为B的学生人数为200人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
50．（2022•泸州）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时）
频数
0.5≤t＜1
12
1≤t＜1.5
a
1.5≤t＜2
28
2≤t＜2.5
16
2.5≤t≤3
4
（1）m＝ 80 ，a＝ 20 ；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）m＝12÷15%＝80，
a＝80﹣12﹣28﹣16﹣4＝20；
故答案为：80；20；
（2）640×＝160（人），
所以估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有160人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
51．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：
（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
【解答】解：（1）n＝＝100，
∴D等级的人数＝100﹣40﹣15﹣10＝35（人），
条形统计图补充如下：
（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数＝2000×＝900（人），
∴估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；
（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：
∴共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属D等级有2种，
∴所求概率＝＝．
52．（2022•遂宁）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 100 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 800 人；
（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．
【解答】解：（1）∵调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有40人，占调查人数的40%，
∴一共调查了40÷40%＝100（人），
若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有2000×40%＝800（人），
故答案为：100，800；
（2）∵一共调查了100名学生，爱好单板滑雪的占10%，
∴爱好单板滑雪的学生数为100×10%＝10（人），
∴爱好自由式滑雪的学生数为100﹣40﹣20﹣10＝30（人），
补全条形统计图如下：
（3）
从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有12种，
抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果有：（A，C），（B，C），（D，C）（C，A），（C，B），（C，D），一共6种等可能的结果，
∴P（抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C）＝＝．
答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率是．
相关试卷
黑龙江省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-06解答题（基础题）： 这是一份黑龙江省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-06解答题（基础题），共17页。试卷主要包含了0+，两点，与y轴交于点C，顶点为D等内容，欢迎下载使用。
湖北省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-06解答题（基础题）： 这是一份湖北省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-06解答题（基础题），共29页。试卷主要包含了，其中x＝2，y＝﹣1，先化简，再求值，求代数式+的值，其中x＝2+y，2022，解分式方程等内容，欢迎下载使用。
四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-07解答题（中档题）： 这是一份四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-07解答题（中档题），共83页。试卷主要包含了﹣2，，其中x＝﹣1，﹣1﹣；，阅读材料等内容，欢迎下载使用。
