辽宁省鞍山市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份辽宁省鞍山市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共58页。试卷主要包含了，其中m＝2，÷，其中a＝+2，÷，其中x＝﹣2，，与x轴交于点C，，连接BC等内容，欢迎下载使用。

辽宁省鞍山市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•鞍山）先化简，再求值：÷（1﹣），其中m＝2．
2．（2021•鞍山）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+2．
3．（2020•鞍山）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
4．（2022•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点C．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式
（2）点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接AB，CB，求△ACB的面积．

5．（2021•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象在第二象限交于C，D（﹣6，2）两点，DE∥OC交x轴于点E，若＝．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形OCDE的面积．

6．（2020•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，连接DE，AC＝3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△CDE的面积．

三．二次函数的应用（共3小题）
7．（2022•鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式m＝x+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（kg）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第x天
…
2
5
9
…
销售量y/kg
…
33
30
26
…
（1）求y与x的函数解析式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
8．（2021•鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
9．（2020•鞍山）某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：
每件售价x（元）
…
15
16
17
18
…
每天销售量y（件）
…
150
140
130
120
…
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式；
（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
四．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•鞍山）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标．


11．（2021•鞍山）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

12．（2020•鞍山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的时，请直接写出线段AM的长．
五．全等三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2020•鞍山）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．

六．平行四边形的判定（共1小题）
14．（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．

七．菱形的判定（共1小题）
15．（2021•鞍山）如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点，DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．

八．四边形综合题（共1小题）
16．（2020•鞍山）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．

（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．
①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．
九．切线的性质（共1小题）
17．（2020•鞍山）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．
（1）求证：AE＝AF．
（2）若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半径．

一十．切线的判定与性质（共1小题）
18．（2022•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE＝∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半径．

一十一．几何变换综合题（共2小题）
19．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在直线AC上，连接BD，将DB绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
（1）求证：BC＝AB；
（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求的值；
（3）过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD＝2CD，请直接写出的值．


20．（2021•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF∥AM交直线AN于点F，在AM上取点E，使∠AEB＝∠ACB．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当α＝60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 　 　．
②如图2，当α＝90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
（2）当tanα＝，AB＝5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长．

一十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
21．（2021•鞍山）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD＝BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA＝2∠E．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，AG＝，求⊙O的半径．

一十三．解直角三角形的应用（共1小题）
22．（2020•鞍山）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
23．（2022•鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

一十五．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
24．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）

一十六．频数（率）分布直方图（共1小题）
25．（2020•鞍山）为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．6≤x＜7，B．7≤x＜8，C．8≤x＜9，D．9≤x≤10，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．
请回答下列问题：
（1）本次共调查了　 　名学生；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求扇形统计图中C组所对应的圆心角度数；
（4）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于7时．
一十七．条形统计图（共2小题）
26．（2022•鞍山）某校开展“凝心聚力颂家乡”系列活动，组建了四个活动小组供学生参加：A（朗诵），B（绘画），C（唱歌），D（征文）．学校规定：每名学生都必须参加且只能参加其中一个活动小组．学校随机抽取了部分学生，对其参加活动小组情况进行了调查．根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图1和图2）．

请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 　 　名学生，扇形统计图中“C”对应的圆心角度数为 　 　．
（2）请补全条形统计图．
（3）若该校共有2000名学生，根据调查结果，请你估计这所学校参加D活动小组的学生人数．

27．（2021•鞍山）为庆祝建党100周年，某校开展“学党史•颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据以上信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．
一十八．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2022•鞍山）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名学生（用C，D表示）获得优秀奖．
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 　 　．
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
29．（2021•鞍山）为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
A．防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 　 　．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．
30．（2020•鞍山）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是　 　；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．

辽宁省鞍山市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•鞍山）先化简，再求值：÷（1﹣），其中m＝2．
【解答】解：÷（1﹣）
＝÷
＝
＝，
当m＝2时，原式＝＝﹣．
2．（2021•鞍山）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+2．
【解答】解：
＝
＝×
＝．
当a＝+2时，原式＝＝＝1+．
3．（2020•鞍山）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2．
【解答】解：（x﹣1﹣）÷，
＝（﹣），
＝，
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝＝＝1﹣2．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
4．（2022•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点C．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式
（2）点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接AB，CB，求△ACB的面积．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+2的图象过点A（1，m），
∴m＝1+2＝3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，
∴B（3，1），
作BD∥x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，
代入y＝x+2得，1＝x+2，解得x＝﹣1，
∴D（﹣1，1），
∴BD＝3+1＝4，
∴S△ABC＝×4×3＝6．

5．（2021•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象在第二象限交于C，D（﹣6，2）两点，DE∥OC交x轴于点E，若＝．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形OCDE的面积．

【解答】解：（1）将D（﹣6，2）代入y＝中，
k2＝﹣6×2＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
过点D作DM⊥x轴，过点C作CN⊥x轴，

∵DE∥OC，
∴△ADE∽△ACO，
∴，
∴CN＝3DM＝6，
将y＝6代入y＝﹣中，
﹣，
解得：x＝﹣2，
∴C点坐标为（﹣2，6），
将C（﹣2，6），D（﹣6，2）代入y＝k1x+b中，
可得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+8；
（2）解法一：设直线OC的解析式为y＝mx，
将C（﹣2，6）代入，得：﹣2m＝6，
解得：m＝﹣3，
∴直线OC的解析式为y＝﹣3x，
由DE∥OC，设直线DE的解析式为y＝﹣3x+n，
将D（﹣6，2）代入可得：﹣3×（﹣6）+n＝2，
解得：n＝﹣16，
∴直线DE的解析式为y＝﹣3x﹣16，
当y＝0时，﹣3x﹣16＝0，
解得：x＝﹣，
∴E点坐标为（﹣，0），
∴OE＝，
在y＝x+8中，当y＝0时，x+8＝0，
解得：x＝﹣8，
∴A点坐标为（﹣8，0），
∴OA＝8，
∴AE＝8﹣＝，
S四边形OCDE＝S△AOC﹣S△AED
＝
＝
＝24﹣
＝．
解法二：在y＝x+8中，当y＝0时，x＝﹣8，
∴A点坐标为（﹣8，0），
又∵DE∥OC，
∴△ADE∽△ACO，
∴，
∴AE＝，
∴S四边形OCDE＝S△AOC﹣S△AED
＝
＝
＝24﹣
＝．
6．（2020•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，连接DE，AC＝3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△CDE的面积．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B，
∴∠CAE＝45°，即△CAE为等腰直角三角形，
∴AE＝CE，
∵AC＝，即，
解得：AE＝CE＝3，
在y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
令y＝3，得到x＝2，
∴OE＝2，CE＝3，
∴C（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数表达式为：，
（2）联立：，
解得：x＝2或﹣3，
当x＝﹣3时，y＝﹣2，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣2），
∴S△CDE＝×3×[2﹣（﹣3）]＝．

三．二次函数的应用（共3小题）
7．（2022•鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式m＝x+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（kg）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第x天
…
2
5
9
…
销售量y/kg
…
33
30
26
…
（1）求y与x的函数解析式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
【解答】解：（1）设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为y＝kx+b，
根据题意，得：，
解得，
∴y＝﹣x+35（1≤x≤10，x为整数）；
（2）设销售这种水果的日利润为w元，
则w＝（﹣x+35）（x+18﹣8）
＝﹣x2+x+350
＝﹣（x﹣）2+，
∵1≤x≤10，x为整数，
∴当x＝7或x＝8时，w取得最大值，最大值为378，
答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元．
8．（2021•鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【解答】解：（1）由题意可得：y＝20+2（70﹣x），
整理，得：y＝﹣2x+160，
∴每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+160（30≤x＜70）；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：
w＝（x﹣30﹣2）y＝（x﹣32）（﹣2x+160）＝﹣2x2+224x﹣5120，
整理，得：w＝﹣2（x﹣56）2+1152，
∵﹣2＜0，
∴当x＝56时，w取最大值为1152，
∴当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
9．（2020•鞍山）某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：
每件售价x（元）
…
15
16
17
18
…
每天销售量y（件）
…
150
140
130
120
…
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式；
（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
由表可知：当x＝15时，y＝150，当x＝16时，y＝140，
则，解得：，
∴y关于x的函数解析式为：y＝﹣10x+300；
（2）由题意可得：
w＝（﹣10x+300）（x﹣11）＝﹣10x2+410x﹣3300，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+410x﹣3300；
（3）∵对称轴x＝＝20.5，a＝﹣10＜0，x是整数，
∴x＝20或21时，w有最大值，
当x＝20或21时，代入，可得：w＝900，
∴该工艺品每件售价为20元或21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是900元．
四．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•鞍山）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标．


【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴S△BCD＝×4×（2+OD）＝12，
∴OD＝4，
∴D（0，﹣4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣4，
联立方程组，
解得或，
∴P（﹣3，﹣7）；
（3）如图1，当B'在第一象限时，
设直线BC的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设E（t，﹣t+2），
∴OE＝t，EH＝﹣t+2，
∵D（0，﹣4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，
∴EB'∥CD，
由折叠可知，OB'＝BO＝4，BE＝B'E，
在Rt△OHB'中，B'H＝，
∴B'E＝﹣（﹣t+2）＝+t﹣2，
∴BE＝+t﹣2，
在Rt△BHE中，（+t﹣2）2＝（4﹣t）2+（﹣t+2）2，
解得t＝，
∵0≤t≤4，
∴t＝，
∴B'（，）；
如图2，当B'在第二象限，∠BGB'＝45°时，
∵∠ABP＝45°，
∴B'G∥x轴，
∵B'E＝BO，
∴四边形 B'OBE是平行四边形，
∴B'E＝4，
∴B'（t﹣4，﹣t+2），
由折叠可知OB＝OB'＝4，
∴平行四边形OBEB'是菱形，
∴BE＝OB，
∴＝4，
解得t＝4+或t＝4﹣，
∵0≤t≤4，
∴t＝4﹣，
∴B'（﹣，）；
综上所述：B'的坐标为（，）或（﹣，）．


11．（2021•鞍山）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，∵D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∵AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），
∴△AEF∽△PDF，设E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），
又∵△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，S1＝S2，
∴△AEF≌△PDF，
∴AF＝PF，EF＝DF，即点F分别是AP、ED的中点，
又∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），E（e，e+2），D（1，﹣4），
∴由中点坐标公式得：，
解得：m1＝0，m2＝，
∴点P的坐标为（，﹣）或（0，﹣3）；
（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，
以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，
则O′（，），OO′＝O′B＝，
以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），
过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM＝90°，
∵O′H＝﹣1＝，O′M＝OO′＝，
∴MH＝＝＝，
∴t＝+＝，
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，
连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，
∵OB＝OC＝3，
∴⊙O经过点C，
连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，
则OM＝OB＝3，OE＝1，
∵∠MEO＝90°，
∴ME＝＝＝2，
∴t＝2，
综上所述，2≤t≤．



12．（2020•鞍山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的时，请直接写出线段AM的长．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），
则，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）存在，理由是：
在x轴正半轴上取点E，使OB＝OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，
在y＝﹣x2+x+2中，
令y＝0，解得：x＝2或﹣1，
∴点B坐标为（﹣1，0），
∴点E坐标为（1，0），
可知：点B和点E关于y轴对称，
∴∠BDO＝∠EDO，即∠BDE＝2∠BDO，
∵D（0，2），
∴DE＝＝＝BD，
在△BDE中，×BE×OD＝×BD×EF，
即2×2＝×EF，解得：EF＝，
∴DF＝，
∴tan∠BDE＝，
若∠PBC＝2∠BDO，
则∠PBC＝∠BDE，
∵BD＝DE＝，BE＝2，
则BD2+DE2＞BE2，
∴∠BDE为锐角，
当点P在第三象限时，
∠PBC为钝角，不符合；
当点P在x轴上方时，
∵∠PBC＝∠BDE，设点P坐标为（c，﹣c2+c+2），
过点P作x轴的垂线，垂足为G，
则BG＝c+1，PG＝﹣c2+c+2，
∴tan∠PBC＝＝，
解得：c＝，
∴﹣c2+c+2＝，
∴点P的坐标为（，）；

当点P在第四象限时，
同理可得：PG＝c2﹣c﹣2，BG＝c+1，
tan∠PBC＝，
解得：c＝，
∴，
∴点P的坐标为（，），
综上：点P的坐标为（，）或（，）；

（3）设EF与AD交于点N，
∵A（﹣2，﹣4），D（0，2），设直线AD表达式为y＝mx+n，
则，解得：，
∴直线AD表达式为y＝3x+2，
设点M的坐标为（s，3s+2），
∵A（﹣2，﹣4），C（2，0），设直线AC表达式为y＝m1x+n1，
则，解得：，
∴直线AC表达式为y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴点E坐标为（0，﹣2），
可得：点E是线段AC中点，
∴△AME和△CME的面积相等，
由于折叠，
∴△CME≌△FME，即S△CME＝S△FME，
由题意可得：
当点F在直线AC上方时，
∴S△MNE＝S△AMC＝S△AME＝S△FME，
即S△MNE＝S△ANE＝S△MNF，
∴MN＝AN，FN＝NE，
∴四边形FMEA为平行四边形，
∴CM＝FM＝AE＝AC＝，
∵M（s，3s+2），
∴，
解得：s＝或0（舍），
∴M（，），
∴AM＝，

当点F在直线AC下方时，如图，
同理可得：四边形AFEM为平行四边形，
∴AM＝EF，
由于折叠可得：CE＝EF，
∴AM＝EF＝CE＝，

综上：AM的长度为或．
五．全等三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2020•鞍山）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．

【解答】证明：连接AC，

在△AEC与△AFC中
，
∴△AEC≌△AFC（SSS），
∴∠CAE＝∠CAF，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴CB＝CD．
六．平行四边形的判定（共1小题）
14．（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．

【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE与△CDF中，
．
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB＝CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
七．菱形的判定（共1小题）
15．（2021•鞍山）如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点，DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，AD∥BC，AB∥CD，
∵AF∥ED，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠DGC＝∠ADE，
∵DG＝DC，
∴∠DGC＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形．
八．四边形综合题（共1小题）
16．（2020•鞍山）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．

（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．
①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是　相等　，位置关系是　垂直　；
②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，即∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，又AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵△FCH为等腰直角三角形，
∴FC＝FH＝BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF∥EH且BF＝EH，
∴AE＝EH，AE⊥EH，
故答案为：相等；垂直；
②成立，理由是：
当点E在线段BC的延长线上时，
同理可得：△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵△FCH为等腰直角三角形，
∴FC＝FH＝BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF∥EH且BF＝EH，
∴AE＝EH，AE⊥EH；
（2）∵四边形BEHF是平行四边形，
∴EM＝FM，
∵∠EGF＝90°，
∴GM＝EF，
∴要GM最小，即EF最小，
∵AB＝3，BC＝2，
设BE＝x，则CE＝2﹣x，
同（1）可得：∠CBF＝∠BAE，
又∵∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴，即，
∴CF＝，
∴EF＝＝，
设y＝，
当x＝时，y取最小值，
∴EF的最小值为，
故GM的最小值为．

九．切线的性质（共1小题）
17．（2020•鞍山）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．
（1）求证：AE＝AF．
（2）若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：∵AF与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠B＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵＝，
∴∠CAE＝∠D，
∴∠D+∠CEA＝90°，
∵∠D＝∠B，
∴∠B+∠CEA＝90°，
∴∠F＝∠CEA，
∴AE＝AF．
（2）解：∵AE＝AF，∠ACB＝90°，
∴CF＝CE＝EF＝6，
∵∠ABF＝∠D＝∠CAE，
∴sin∠ABF＝sin∠CAE＝，
∴，
∴AE＝10，
∴AC＝＝＝8，
∵sin∠ABC＝＝＝，
∴AB＝，
∴OA＝AB＝．
即⊙O的半径为．
一十．切线的判定与性质（共1小题）
18．（2022•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE＝∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠BCE＝∠ABC，∠BCE＝∠BOE，
∴∠ABC＝∠BOE，
∴OE∥BC，
∴∠OED＝∠BCD，
∵EF∥AC，
∴∠FEC＝∠ACE，
∴∠OED+∠FEC＝∠BCD+∠ACE，
即∠FEO＝∠ACB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠FEO＝90°，
∴FE⊥EO，
∵EO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵EF∥AC，
∴△FEO∽△ACB，
∴，
∵BF＝2，sin∠BEC＝，
设⊙O的半径为r，
∴FO＝2+r，AB＝2r，BC＝r，
∴，
解得：r＝3，
检验得：r＝3是原分式方程的解，
∴⊙O的半径为3．

一十一．几何变换综合题（共2小题）
19．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在直线AC上，连接BD，将DB绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
（1）求证：BC＝AB；
（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求的值；
（3）过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD＝2CD，请直接写出的值．


【解答】（1）证明：如图1，

作AH⊥BC于H，
∵AB＝AB，
∴∠BAH＝∠CAH＝＝60°，BC＝2BH，
∴sin60°＝，
∴BH＝，
∴BC＝2BH＝；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝30°，
由（1）得，
，
同理可得，
∠DBE＝30°，，
∴∠ABC＝∠DBE，＝，
∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴；
（3）解：如图2，

当点D在线段AC上时，
作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，
设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，
由（1）得，CE＝，
在Rt△ABF中，∠BAF＝180°﹣∠BAC＝60°，AB＝3a，
∴AF＝3a•cos60°＝，BF＝3a．sin60°＝，
在Rt△BDF中，DF＝AD+AF＝2a+a＝，
BD＝＝＝a，
∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，
∴△DAG∽△DBF，
∴，
∴＝，
∴AG＝，
∵AN∥DE，
∴∠AND＝∠BDE＝120°，
∴∠ANG＝60°，
∴AN＝＝a＝a，
∴＝，
如图3，

当点D在AC的延长线上时，
设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，
由（1）得，
CE＝＝4，
作BR⊥CA，交CA的延长线于R，作AQ⊥BD于Q，
同理可得，
AR＝a，BR＝，
∴BD＝＝2a，
∴，
∴AQ＝，
∴AN＝＝a，
∴＝＝，
综上所述：或．
20．（2021•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF∥AM交直线AN于点F，在AM上取点E，使∠AEB＝∠ACB．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当α＝60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 　AE＝CF+CE　．
②如图2，当α＝90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
（2）当tanα＝，AB＝5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长．

【解答】解：（1）①结论：AE＝CF+CE．
理由：如图1中，作CT∥AF交AM于T．

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵AF∥CT，CF∥AT，
∴四边形AFCT是平行四边形，
∴CF＝AT，
∵∠ADC＝∠BDE，∠DEB＝∠ACD，
∴△ACD∽△BED，
∴＝，
∴＝，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴∠ABD＝∠CED＝60°，
∵CT∥AF，
∴∠CTE＝∠FAE＝60°，
∴△CTE是等边三角形，
∴EC＝ET，
∴AE＝AT+ET＝CF+CE．
故答案为：AE＝CF+CE．

②如图2中，结论：EC＝（AE﹣CF）．
理由：过点C作CQ⊥AE于Q．

∵CF∥AM，
∴∠CFA+∠MAN＝180°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠CFA＝∠FAQ＝90°，
∵∠CQA＝90°，
∴四边形AFCQ是矩形，
∴CF＝AQ，
∵∠ADC＝∠BDE，∠DEB＝∠ACD，
∴△ACD∽△BED，
∴＝，
∴＝，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴∠ABD＝∠CED＝45°，
∵∠CQE＝90°，
∴CE＝EQ，
∴AE﹣CF＝AE﹣AQ＝EQ，
∴EC＝（AE﹣CF）．

（2）如图3﹣1中，当∠CDE＝90°时，过点B作BJ⊥AC于J，过点F作FK⊥AE于K．

在Rt△ABJ中，tan∠BAJ＝＝，AB＝5，
∴AJ＝3，BJ＝4，
∵AC＝AB＝5，
∴CJ＝AC﹣AJ＝5﹣3＝2，
∴BC＝＝＝2，
∵•AC•BJ＝•BC•AD，
∴AD＝＝2，
∴CD＝＝＝，
∵FK⊥AD，
∴∠CDE＝∠FKD＝90°，
∴CD∥FK，
∵CF∥DK，
∴四边形CDKF是平行四边形，
∵∠FKD＝90°，
∴四边形CDKF是矩形，
∴FK＝CD＝，
∵tan∠FAK＝tan∠CAB＝，
∴＝，
∴AK＝，
∴AF＝＝＝．

如图3﹣2中，当∠ECD＝90°时，∠DAB＝90°，

∵CF∥AM，
∴∠AKF＝∠DAB＝90°，
在Rt△ACK中，tan∠CAK＝＝，AC＝5，
∴CK＝4，AK＝3，
∵∠MAN＝∠CAB，
∴∠CAN＝∠DAB＝90°，
∴∠CAB+∠BAF＝90°，∠BAF+∠AFK＝90°，
∴∠AFK＝∠CAB，
∴tan∠AFK＝＝，
∴FK＝，
∴AF＝＝＝．
综上所述，满足条件的AF的值为或．
一十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
21．（2021•鞍山）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD＝BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA＝2∠E．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，AG＝，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）∵∠B＝∠AGC，∠ADG＝∠CDB，
∴△ADG∽△DCB，
∴，
∵BD＝BC，
∴GD＝GA，
∴∠ADG＝∠DAG，
又∵AE⊥AB，
∴∠EAD＝90°，
∴∠GAE+∠DAG＝∠E+∠ADG＝90°，
∴∠GAE＝∠E，
∴AG＝DG＝EG，∠AGD＝2∠E，
∵∠FCA＝2∠E，
∴∠FCA＝∠AGD＝∠B，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CAB+∠B＝90°，
又∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAB，
∴∠FCA+∠ACO＝90°，
∴∠FCO＝90°，
即CF是⊙O的切线；
（2）∵CF是⊙O的切线，AE⊥AB，
∴AF＝CF，
∴∠FAC＝∠FCA＝2∠E，
∴AC＝AE＝6，
又∵AG＝DG＝EG＝，
在Rt△ADE中，AD＝，
设⊙O的半径为x，则AB＝2x，BD＝BC＝2x﹣2，
在Rt△ABC中，62+（2x﹣2）2＝（2x）2，
解得：x＝5，
∴⊙O的半径为5．
一十三．解直角三角形的应用（共1小题）
22．（2020•鞍山）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

【解答】解：如图2，过C作CD⊥MN于D，
则∠CDB＝90°，
∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm），
∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm），
∵∠ACB＝15°，
∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝45°，
∴BC＝CD＝20≈49（cm），
答：支架BC的长约为49cm．

一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
23．（2022•鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【解答】解：设AC与GE相交于点H，

由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH•tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°＝＝≈0.75，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
一十五．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
24．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）

【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，
∵BC⊥AB，
∴四边形BCFE是矩形，
∴BE＝CF，EF＝BC＝150 m，
设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，
在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，
∴AD＝2DE＝2（x+150）m，
在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6°，
∴CD＝≈＝xm，
∵AD＝CD+BC，
∴2（x+150）＝+150，
解得x＝250（m），
∴DF＝250 m，
∴DE＝250+150＝400 m，
∴AD＝2DE＝800 m，
∴CD＝800﹣150＝650 m，
由勾股定理得AE＝＝＝400 m，
BE＝CF＝＝＝600 m，
∴AB＝AE+BE＝400+600≈1293（m），
答：公园北门A与南门B之间的距离约为1293 m．

一十六．频数（率）分布直方图（共1小题）
25．（2020•鞍山）为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．6≤x＜7，B．7≤x＜8，C．8≤x＜9，D．9≤x≤10，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．
请回答下列问题：
（1）本次共调查了　50　名学生；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求扇形统计图中C组所对应的圆心角度数；
（4）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于7时．
【解答】解：（1）本次共调查了17÷34%＝50名学生，
故答案为：50；
（2）C组学生有50﹣5﹣18﹣17＝10（名），
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）扇形统计图中C组所对应的圆心角度数是：360°×＝72°，
即扇形统计图中C组所对应的圆心角度数是72°；
（4）1500×＝150（名），
答：估计该校有150名学生平均每天睡眠时间低于7时．

一十七．条形统计图（共2小题）
26．（2022•鞍山）某校开展“凝心聚力颂家乡”系列活动，组建了四个活动小组供学生参加：A（朗诵），B（绘画），C（唱歌），D（征文）．学校规定：每名学生都必须参加且只能参加其中一个活动小组．学校随机抽取了部分学生，对其参加活动小组情况进行了调查．根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图1和图2）．

请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 　100　名学生，扇形统计图中“C”对应的圆心角度数为 　126°　．
（2）请补全条形统计图．
（3）若该校共有2000名学生，根据调查结果，请你估计这所学校参加D活动小组的学生人数．

【解答】解：（1）这次学校抽查的学生人数是24÷24%＝100（人），
扇形统计图中“C”对应的圆心角度数为×360°＝126°．
故答案为：100；126°；
（2）B人数为：100﹣（24+35+16）＝25（人），
补全条形图如下：

（3）2000×＝320（人），
答：估计这所学校参加D活动小组的学生人数有320人．
27．（2021•鞍山）为庆祝建党100周年，某校开展“学党史•颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据以上信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．
【解答】解：（1）根据题意得：12÷10%＝120（件），
所抽取的学生作品的样本容量是120；
（2）绘画作品为120﹣（42+30+12）＝36（件），
补全统计图，如图所示：

故答案为：36；
（3）根据题意得：1200×＝360（件），
则绘画作品约有360件．
答：本次活动共征集作品1200件时，绘画作品约有360件．
一十八．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2022•鞍山）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名学生（用C，D表示）获得优秀奖．
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 　　．
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
【解答】解：（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是＝，
故答案为：；
（2）列表如下：

A
B
C
D
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果，
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为＝．
29．（2021•鞍山）为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
A．防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 　　．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．
【解答】解：（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，
∴小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的概率为＝．
30．（2020•鞍山）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是　　；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
【解答】解：（1）∵蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶，
∴甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：；
故答案为：；

（2）根据题意画树状图如下：

共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，
则两人选购到同一种类奶制品的概率是＝．