高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理教案设计

1.2 空间向量基本定理

★★★★学习目标★★★★

1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；

2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；

3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．

★★★★问题导学★★★★

知识点一　空间向量基本定理

思考　平面向量基本定量的内容是什么？

答案　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

梳理　(1)如果三个向量a，b，c共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量．

(3)单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的起点．

知识点二　空间向量的坐标表示

思考　平面向量的坐标是如何表示的？

答案　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．

梳理　(1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)．

(2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.

★★★★题型探究★★★★

类型一　空间向量的基底

例1　若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？

解　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.

∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．

∴此方程组无解．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．

∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．

反思与感悟　空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．

跟踪训练1　以下四个命题中正确的是________．

①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；

②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；

③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；

④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．

答案　②③

解析　因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．

类型二　用基底表示向量

例2　如图，已知正方体OABC­O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.

(1)用a，b，c表示向量；

(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】 (1)＝＋＝＋＋＝.

＝＋＝＋＋＝＋－＝.

(2)＝＝＝－ (＋)＋ (＋)＝－ ()＋ (＋)＝ (c－b)．

反思与感悟　求解空间向量在某基底下的坐标的关键：一是运用空间向量的基本定理，二是理解空间向量的坐标表示的意义．

跟踪训练2在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量.

【答案】a－b＋c.

【解析】，

又

故答案为

类型三　应用空间向量坐标表示解题

例3（2020·黑龙江高二期末（理））是空间的一个单位正交基底，在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ）

 A．          B．        C．       D．

【答案】A

【解析】由题意向量，设向量在基底下的坐标为

，

，所以向量在基底下的坐标为，故选A．

反思与感悟　(1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，a＝λe1＋μe2＋ke3，则a的坐标为(λ，μ，k)．

(2)的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标．

跟踪训练3　已知点在基底下的坐标为，其中，，，则点在基底下的坐标是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】∵点在基底下的坐标为，

∴，

∴点在基底下的坐标是。故选：A

★★★★综合训练★★★★

一、单选题

1．（2020·延安市第一中学高二月考（理））如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解析】依题意

，所以.

故选：C.

2．（2020·九台市第四中学高二期末（理））如图，正四棱锥中，已知，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】如图所示：

连接交点为O，则，

又，

所以，又，

所以.故选：A.

3．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考（理））已知空间四边形，其对角线为，，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

,

,故选：C．

4．（2020·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（理））已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，，表示，则等于(　　)

A． B．)

C． D．

【答案】D

【解析】 ，故选D.

5．（2020·广东省普宁市华美实验学校高三月考（文））如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，试用，，表示（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】是的中点，

.故选：A.

6．（2020·吴起高级中学高二月考（理））一个向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为向量在基底下的坐标为，

所以，

设在基底下的坐标为，

所以，

有，，，

在基底下的坐标为.故选：B.

7．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考（理））给出下列命题：

①已知，则；

②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；

③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；

④若共线，则所在直线或者平行或者重合．

正确的结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】对于①，若，则，

故

，故①正确；

对于②，若不构成空间的一个基底，这3个向量共线面，

故共面，故②正确；

对于③，当时，若与不共面，则可构成空间的一个基底，

故③不正确；

对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确；

故选：C

8．（2020·六盘山高级中学高二期末（理））已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【解析】，，，共面，不能构成基底，排除；

，，，共面，不能构成基底，排除；

，，，共面，不能构成基底，排除；

若、，共面，则，则、、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底．故选：．

9．（2020·陕西省西北工业大学附属中学高二月考（理））若为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】A：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；

B：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；

C：因为为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.

若不构成一组基底，则有，所以向量是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一组基底，

D：因为，所以向量是共面向量，因此

不能构成一组基底.故选：C

10．（2020·广东省深圳中学高二期中（理））以下命题

①是共线的充要条件；

②若是空间的一组基底，则是空间的另一组基底；

③．

其中正确的命题有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【解析】①，共线，反之不成立，

是，共线的充分不必要条件，因此不正确；

②若，，是空间的一组基底，假设共面，

则存在唯一一组实数，使成立，

即，

所以，显然无解，

假设不成立，即不共面，

则，，是空间的另一组基底，正确；

③，而不一定等于1，

因此不正确．其中正确的命题有一个．故选：．

11．（2020·上海市七宝中学高三开学考试）如图，在斜三棱柱中，的中点为，，则可用、、表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为

.故选：A.

12．（2020·湖北省高二期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则它在下的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设向量，，；

则向量，，

又向量，

不妨设，

则，

即，解得，

所以向量在下的坐标为．故选：．

二、填空题

13．（2020·西宁市海湖中学高二月考（理））下列关于空间向量的命题中，正确的有______.

①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；

②若非零向量，，满足，，则有；

③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；

④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底.

【答案】①③④

【解析】对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；

对于②：若非零向量，，满足，，则与不一定共线，故②错误；

对于③：若，，是空间的一组基底，且，则，即，可得到，，，四点共面，故③正确；

对于④：若向量，，，是空间一组基底，则空间任意一个向量，存在唯一实数组，使得，则，，也是空间的一组基底，故④正确.

故答案为：①③④

14．（2020·湖北省高二期末（理））已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若x，则x+y+z=_____.

【答案】

【解析】如图,根据条件:

,

又,∴由空间向量基本定理得,

故答案为:

15．（2020·上海中学高三其他）在平行六面体中,,,,试用､､表示_____.

【答案】

【解析】

，故答案为:.

16．（2020·内蒙古自治区高二月考）已知向量{，，}是空间的一个单位正交基底，向量{+，-，}是空间另一个基底，若向量在基底{+，-，}下的坐标为（，-，3）则在基底{，，}下的坐标为______．

【答案】（1，2，3）

【解析】∵向量在基底{+，-，}下的坐标为（，-，3）

∴向量=（+）-（-）+3=+2+3，

故在基底{，，}下的坐标为（1，2，3），故答案为：（1，2，3）．

三、解答题

17．（2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，

（1）用表示；

（2）求对角线的长；

（3）求

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）连接,，，如图：

，，

在，根据向量减法法则可得：

底面是平行四边形

且

又为线段中点

在中

（2）顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是

由（1）可知

平行四边形中

故：

故：对角线的长为：.

（3），

又

18．（2020·三亚华侨学校高二期中）如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记.

（1）试用表示；

（2）求模.

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1），

.

（2）因为AB，AD，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.

所以，

..

19．（2020·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，

设．

（1）试用表示出向量；

（2）求的长．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）∵是PC的中点，

∴

（2）

.

20．（2020·全国高二课时练习）已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{}能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,请说明理由.

【答案】能，=17-5-30．

【解析】能作为空间的一组基底．

假设共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y使=x+y成立

又因为是空间的一个基底,

所以不共面.

因此此方程组无解,

即不存在实数x,y使=x+y,

所以不共面.

故{}能作为空间的一个基底.

设=p+q+z,

则有

因为为空间的一个基底,

所以解得故=17-5-30.