数学选择性必修 第三册7.5 正态分布教案及反思

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高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．
问题 正态分布有哪些应用？
提示 正态分布在概率和统计中占有重要的地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．
1．正态曲线
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线
函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数．
显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～ N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
2．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
(3)当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))无限增大时，曲线无限接近x轴．
3．正态分布的期望与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ μ，D(X)＝σ2．
4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682__7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954__5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997__3．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3 σ原则.
拓展深化
[微判断]
1．函数 (x∈R)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(×)
提示 函数中σ的意义为标准差．
2．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(×)
提示 正态曲线与x轴围成的面积为定值1.
3．正态曲线可以关于y轴对称．(√)
[微训练]
1．若X～Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))，Y＝6X，则E(Y)等于( )
A．1 B.eq \f(3,2)
C．6 D．36
解析 由X～Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))，知E(X)＝1，又Y＝6X，故E(Y)＝6E(X)＝6.
答案 C
2．设随机变量X～N(μ，σ2), 且P(X≤c)＝P(X＞c), 则c等于( )
A．0 B．σ
C．－μ D．μ
解析 由P(X≤c)＝P(X＞c)，知x＝c为对称轴，又由
X～N(μ，σ2)知对称轴为x＝μ，故c＝μ.
答案 D
[微思考]
函数f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))e－eq \f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R的图象如图所示．试确定函数f(x)的解析式．
提示 由图可知，该曲线关于直线x＝72对称，最大值为eq \f(1,10\r(2π))，由函数表达式可知，函数图象的对称轴为x＝μ，
∴μ＝72，且eq \f(1,σ\r(2π))＝eq \f(1,10\r(2π))，
∴σ＝10.
∴f(x)＝eq \f(1,10\r(2π))e－eq \f(（x－72）2,200)(x∈R).
题型一 正态曲线的图象的应用
【例1】 如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．
解 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是eq \f(1,2\r(π))，所以μ＝20.由eq \f(1,σ\r(2π))＝eq \f(1,2\r(π))，解得σ＝eq \r(2).于是该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝eq \f(1,2\r(π))eeq \f(－（x－20）2,4)，x∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝(eq \r(2))2＝2.
规律方法 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为eq \f(1,σ\r(2π)).这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．
【训练1】 若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为eq \f(1,4\r(2π))，求该正态分布的概率密度函数的解析式．
解 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，
所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是eq \f(1,4\r(2π))，所以eq \f(1,\r(2π)·σ)＝eq \f(1,4\r(2π))，
解得σ＝4.
故函数的解析式为φμ，σ(x)＝eq \f(1,4\r(2π))e－eq \f(x2,32)，x∈(－∞，＋∞)．
题型二 利用正态分布的对称性求概率
【例2】 设X～N(1，22)，试求：
(1)P(－1≤X≤3)；
(2)P(3≤X≤5)．
解 ∵X～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，
(1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)
＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
(2)∵P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，
∴P(3≤X≤5)＝eq \f(1,2)[P(－3≤X≤5)－P(－1≤X≤3)]
＝eq \f(1,2)[P(1－4≤X≤1＋4)－P(1－2≤X≤1＋2)]
＝eq \f(1,2)[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]
≈eq \f(1,2)×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
【迁移1】 (变换所求)例2条件不变，求P(X≥5)．
解 P(X≥5)＝P(X≤－3)＝eq \f(1,2)[1－P(－3＜X≤5)]
＝eq \f(1,2)[1－P(1－4＜X≤1＋4)]
＝eq \f(1,2)[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]
≈eq \f(1,2)×(1－0.954 5)＝0.022 75.
【迁移2】 (变换条件)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝( )
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
解析 ∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.
∵P(X＜4)＝0.8，∴P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.2，
∴P(0＜X＜4)＝0.6.
∴P(0＜X＜2)＝0.3.故选C.
答案 C
规律方法 利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如：
①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．
(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解．
【训练2】 设X～N(1，1)，试求：
(1)P(0