江苏省2022年中考数学模拟题(一模)精选按题型分层分类汇编-06填空题(提升题)
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一.实数的运算(共1小题)
1.(2022•秦淮区一模)计算()0= ,2﹣1= .
二.一次函数的性质(共1小题)
2.(2022•滨湖区一模)请写出一个函数y随自变量x增大而减小的函数解析式 .
三.一次函数图象上点的坐标特征(共1小题)
3.(2022•建邺区一模)如图,“爱心”图案是由函数y=﹣x2+6的部分图象与其关于直线y=x的对称图形组成.点A是直线y=x上方“爱心”图案上的任意一点,点B是其对称点.若,则点A的坐标是 .
四.反比例函数系数k的几何意义(共1小题)
4.(2022•建邺区一模)如图,点A是函数y=图象上的任意一点,点B、C在反比例函数y=的图象上.若AB∥x轴,AC∥y轴,阴影部分的面积为4,则k= .
五.反比例函数图象上点的坐标特征(共1小题)
5.(2022•垦利区二模)如图,A,B两点分别在x轴正半轴,y轴正半轴上且∠BAO=30°,AB=4,将△AOB沿AB翻折得△ADB,反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过D点,则k的值是 .
六.二次函数的性质(共1小题)
6.(2022•仪征市一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与一次函数y=ax+c,y=cx+a图象中的每一条都至多有一个公共点,则的最大值是 .
七.待定系数法求二次函数解析式(共1小题)
7.(2022•宜兴市一模)请写出一个开口向上,并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y=
八.等腰三角形的判定(共1小题)
8.(2022•秦淮区一模)如图,M,N是∠AOB的边OA上的两个点(OM<ON),∠AOB=30°,OM=a,MN=4.若边OB上有且只有1个点P,满足△PMN是等腰三角形,则a的取值范围是 .
九.含30度角的直角三角形(共1小题)
9.(2022•邳州市一模)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,延长AB到点D,使BD=BC,连接CD,若AC=2,则CD的长为 .
一十.三角形中位线定理(共1小题)
10.(2022•崇川区一模)如图,△ABC的周长为28,点D、E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10,则PQ的长是 .
一十一.菱形的性质(共1小题)
11.(2022•鼓楼区一模)如图,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,E是CD的中点,连接OE.若OE=5,BD=12,则AC= .
一十二.正方形的性质(共1小题)
12.(2022•海陵区一模)如图,点E在正方形ABCD的边BC上,连接DE、BD,延长CB到点F,使BF=CE,过点E作EG⊥BD于点G,连接FG.若DE=4,则FG的长为 .
一十三.垂径定理(共1小题)
13.(2022•海陵区一模)如图,直线l与圆O相交于A、B两点,AC是圆O的弦,OC∥AB,半径OC的长为10,弦AB的长为12,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿射线AB方向运动.当△APC是直角三角形时,动点P运动的时间t为 秒.
一十四.圆周角定理(共1小题)
14.(2022•海陵区一模)用半径为30,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的底面圆半径是 .
一十五.切线的性质(共1小题)
15.(2022•建邺区一模)如图,⊙O的直径AB=4cm,PB、PC分别与⊙O相切于B、C两点,弦CD∥AB,AD∥CP,则PB= cm.
一十六.切线的判定与性质(共1小题)
16.(2022•宜兴市一模)如图,在四边形ABCD中,AD=CD=2,CB=AB=6,∠BAD=∠BCD=90°,点E在对角线BD上运动,⊙O为△DCE的外接圆,当⊙O与AD相切时,⊙O的半径为 ;当⊙O与四边形ABCD的其它边相切时,其半径为 .
一十七.三角形的内切圆与内心(共1小题)
17.(2022•宿城区一模)Rt△ABC的斜边为13,其内切圆的半径等于2,则Rt△ABC的周长等于 .
一十八.正多边形和圆(共1小题)
18.(2022•玄武区一模)如图,点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心,连接AE,C1F相交于点G,则∠AGF的度数为 °.
一十九.弧长的计算(共2小题)
19.(2022•秦淮区一模)如图,点A,B,C在半径为4的⊙O上,若∠AOB=130°,∠OAC=70°,则的长为 .
20.(2022•兴化市一模)半径为2,圆心角为60°的扇形弧长为 .
二十.扇形面积的计算(共1小题)
21.(2022•滨湖区一模)一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起,经测量发现,AC=CE=2,取AB中点O,连接OF.∠FCE在∠ACB内部绕点C任意转动(包括边界),则CE在运动过程中扫过的面积为 ;在旋转过程中,线段OF的长度最小时,两块三角板重叠部分的周长为 .
二十一.轨迹(共1小题)
22.(2022•鼓楼区一模)在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5.若点P在△ABC内部(含边界)且满足∠PBC≤∠PCB,则所有点P组成的区域的面积为 .
二十二.轴对称的性质(共1小题)
23.(2022•宜兴市一模)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3,点D是BC上一动点(点D与点B不重合),连接AD,作B关于直线AD的对称点E,当点E在BC的下方时,连接BE、CE,则CE的取值范围是 ;△BEC面积的最大值为 .
二十三.翻折变换(折叠问题)(共1小题)
24.(2022•锡山区一模)如图,在平面直角坐标系中,C,A分别为x轴、y轴正半轴上的点,以OA,OC为边,在第一象限内作矩形OABC,且S矩形OABC=2,将矩形OABC翻折,使点B与原点O重合,折痕为MN,点C的对应点C'落在第四象限,过M点的反比例函数y=(k≠0)的图象恰好过MN的中点,则k的值为 ,点C'的坐标为 .
二十四.比例线段(共1小题)
25.(2022•盐城一模)在比例尺为1:100000的盐都旅游地图上,测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31cm,则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为 km.
二十五.相似三角形的判定(共1小题)
26.(2022•宿城区一模)如图,在△ABC纸板中,AC=8,BC=4,AB=10,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长的取值范围是 .
二十六.相似三角形的判定与性质(共3小题)
27.(2022•建邺区一模)如图,在△ABC中,∠B=30°,点D是AC上一点,过点D作DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交BC于点F.若AE=5,CF=4,则四边形BFDE的面积为 .
28.(2022•盐城一模)如图,点E、F分别是矩形ABCD边BC和CD上的点,把△CEF沿直线EF折叠得到△GEF,再把△BEG沿直线BG折叠,点E的对应点H恰好落在对角线BD上,若此时F、G、H三点在同一条直线上,且线段HF与HD也恰好关于某条直线对称,则的值为 .
29.(2022•武进区一模)如图,△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,D、E分别是BC、AC边上的动点,且∠ADE=∠ABC,连接BE,则△AEB的面积的最小值为 .
二十七.中位数(共1小题)
30.(2022•常州一模)某地区连续5天的最高气温(单位:℃)分别是30,33,24,29,24,这组数据的中位数是 .
二十八.列表法与树状图法(共1小题)
31.(2022•海陵区一模)一个口袋中装有2个红球、1个白球,现小明和小丽用两种不同的方法从袋中随机摸球.小明从袋中一次性随机摸取2个球,都是红球的概率记为P1;小丽先从袋中随机摸出1个球,记下颜色后放回,再从袋中随机摸出1个球,两次都是红球的概率记为P2.则P1与P2的大小关系是P1 P2(填“>”、“<”或“=”).
江苏省2022年中考数学模拟题(一模)精选按题型分层分类汇编-06填空题(提升题)
参考答案与试题解析
一.实数的运算(共1小题)
1.(2022•秦淮区一模)计算()0= 1 ,2﹣1= .
【解答】解:原式=1,原式=,
故答案为:1;
二.一次函数的性质(共1小题)
2.(2022•滨湖区一模)请写出一个函数y随自变量x增大而减小的函数解析式 y=﹣3x+3,y=﹣4x﹣6等 .
【解答】解;∵一次函数随自变量增大而减小,
∴k<0,
∴满足条件的函数有:y=﹣3x+3,y=﹣4x﹣6等.
故答案为:y=﹣3x+3,y=﹣4x﹣6等.
三.一次函数图象上点的坐标特征(共1小题)
3.(2022•建邺区一模)如图,“爱心”图案是由函数y=﹣x2+6的部分图象与其关于直线y=x的对称图形组成.点A是直线y=x上方“爱心”图案上的任意一点,点B是其对称点.若,则点A的坐标是 (﹣2,2)或(1,5) .
【解答】解:如图,
过点A作AD⊥x轴,交x轴于点E,交直线y=x于点D,连接BD,
∵A、B关于直线y=x对称,
设A(a,b),
∴△ABD是等腰直角三角形,四边形OEDF是正方形,
∴B(b,a),
∵,
∴,
(4)2=(b﹣a)2+(b﹣a)2,
32=2(b﹣a)2,
(b﹣a)2=16,
b﹣a=4或b﹣a=﹣4(舍去),
∴b=a+4,
又∵A(a,b)在y=﹣x2+6上,
∴b=﹣a2+6,
即a+4=﹣a2+6,
整理得,a2+a﹣2=0,
解得,a1=﹣2,a2=1,
∴当a1=﹣2时,b=a+4=﹣2+4=2,
点A的坐标为(﹣2,2);
当a2=1时,b=a+4=1+4=5,
点A的坐标为(1,5).
故答案为:(﹣2,2)或(1,5).
四.反比例函数系数k的几何意义(共1小题)
4.(2022•建邺区一模)如图,点A是函数y=图象上的任意一点,点B、C在反比例函数y=的图象上.若AB∥x轴,AC∥y轴,阴影部分的面积为4,则k= 6 .
【解答】解:过B作BD⊥x轴于D,过C作CE⊥y轴于E,
∴设A(m,),则C(m,),B( ,),
∴S阴影=S矩形ODBF+S矩形ACEF﹣S△OCE﹣S△OBD
=k+m(﹣)﹣﹣
=k﹣2=4,
解得k=6.
故答案为:6.
五.反比例函数图象上点的坐标特征(共1小题)
5.(2022•垦利区二模)如图,A,B两点分别在x轴正半轴,y轴正半轴上且∠BAO=30°,AB=4,将△AOB沿AB翻折得△ADB,反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过D点,则k的值是 9 .
【解答】解:∵∠AOB=90°,∠BAO=30°,AB=4,
∴AO=ABcos30°=4×=6,
∵将△AOB沿AB翻折得△ADB,
∴∠DAB=∠OAB=30°,AD=AO=6,
∴∠DAO=60°,
过D作DC⊥OA于C,
∴∠ACD=90°,
∴AC=AD=3,CD=AD=3,
∴D(3,3),
∵反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过D点,
∴k=3×3=9,
故答案为:9.
六.二次函数的性质(共1小题)
6.(2022•仪征市一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与一次函数y=ax+c,y=cx+a图象中的每一条都至多有一个公共点,则的最大值是 5 .
【解答】解:令ax2+bx+c=ax+c,整理得ax2+(b﹣a)x=0,
∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=ax+c交于点(0,c),
∴Δ=(b﹣a)2=0,
解得b=a,
∴y=ax2+ax+c,
令ax2+ax+c=cx+a,整理得ax2+(a﹣c)x+c﹣a=0,
由题意得Δ=(a﹣c)2﹣4a(c﹣a)≤0,
设=k,则c=ka,
∴(a﹣ka)2﹣4a(ka﹣a)≤0,
(ka﹣a)(ka﹣5a)≤0,
当时,
解得1≤k≤5,
当时,
不等式组无解,
∴k最大值为5,即的最大值是5,
故答案为:5.
七.待定系数法求二次函数解析式(共1小题)
7.(2022•宜兴市一模)请写出一个开口向上,并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y= (x﹣1)2
【解答】解:符合的表达式是y=(x﹣1)2,
故答案为:(x﹣1)2.
八.等腰三角形的判定(共1小题)
8.(2022•秦淮区一模)如图,M,N是∠AOB的边OA上的两个点(OM<ON),∠AOB=30°,OM=a,MN=4.若边OB上有且只有1个点P,满足△PMN是等腰三角形,则a的取值范围是 a=4或a>8 .
【解答】解:①作线段MN的垂直平分线交OB于点P,连接PM,PN,如图所示:
则PM=PN,此时△PMN是等腰三角形,
过点M作MH⊥OB于点H,
当MH>MN,满足条件的点P恰好只有一个,
∵MN=4,∠AOB=30°,
当MH=4时,OM=2MH=8,
∴当a>8时,满足条件的点P恰好只有一个,
②当△PMN是等边三角形时,满足条件的点P恰好只有一个,
此时MN=MP,∠NMP=60°,
∵∠AOB=30°,
∴∠MPO=30°,
∴OM=MP=MN=4,
∴a=4,
综上,满足条件的a的取值范围:a=4或a>8,
故答案为:a=4或a>8.
九.含30度角的直角三角形(共1小题)
9.(2022•邳州市一模)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,延长AB到点D,使BD=BC,连接CD,若AC=2,则CD的长为 .
【解答】解:∵AB=BC,∠ABC=120°,
∴∠ACB=∠A=30°,
∴∠DBC=∠A+∠ACB=60°,
∵BD=BC,
∴△BCD为等边三角形,
∴∠D=∠BCD=60°,
∴∠ACD=90°,
∴AD=2CD,
∵AC2+CD2=AD2,AC=2,
∴22+CD2=(2CD)2,
解得CD=.
故答案为:.
一十.三角形中位线定理(共1小题)
10.(2022•崇川区一模)如图,△ABC的周长为28,点D、E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10,则PQ的长是 4 .
【解答】解:∵△ABC的周长是28,BC=10,
∴AB+AC=28﹣10=18,
∵∠ABC的平分线垂直于AE,
∴在△ABQ和△EBQ中,
,
∴△ABQ≌△EBQ,
∴AQ=EQ,AB=BE,
同理,AP=DP,AC=CD,
∴DE=BE+CD﹣BC=AB+AC﹣BC=18﹣10=8,
∵AQ=DP,AP=DP,
∴PQ是△ADE的中位线,
∴PQ=DE=4.
故答案是:4.
一十一.菱形的性质(共1小题)
11.(2022•鼓楼区一模)如图,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,E是CD的中点,连接OE.若OE=5,BD=12,则AC= 16 .
【解答】解:∵菱形ABCD对角线AC与BD交于点O,
∴DO⊥CO,DO=BO=BD=6,
∵E是DC边上的中点,
∴OE=DC,
∴DC=10,
∴OC==8,
∴AC=2OC=16,
故答案为:16.
一十二.正方形的性质(共1小题)
12.(2022•海陵区一模)如图,点E在正方形ABCD的边BC上,连接DE、BD,延长CB到点F,使BF=CE,过点E作EG⊥BD于点G,连接FG.若DE=4,则FG的长为 .
【解答】解:连接AF,AG,CG,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠DCE=∠ABC=∠ABF=90°,DC=AB,∠ABD=∠CBD=45°,
在△DCE和△ABF中,
,
∴△DCE≌△ABF(SAS),
∴AF=DE=,
在△ABG和△CBG中,
,
∴△ABG≌△CBG(SAS),
∴AG=CG,∠BAG=∠BCG,
∵EG⊥BD,
∴∠BGE=90°,
∴∠BEG=∠EBG=45°,
∴∠CEG=∠FBG=135°,EG=BG,
在△CEG和△FBG中,
,
∴△CEG≌△FBG(SAS),
∴CG=FG,∠ECG=∠BFG,
∴AG=FG,∠BAG=∠BFG,
∵∠AOG=∠FOB,
∴∠AGO=∠ABF=90°,
∴△AGF为等腰直角三角形,
∴FG=AG=.
故答案为:.
一十三.垂径定理(共1小题)
13.(2022•海陵区一模)如图,直线l与圆O相交于A、B两点,AC是圆O的弦,OC∥AB,半径OC的长为10,弦AB的长为12,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿射线AB方向运动.当△APC是直角三角形时,动点P运动的时间t为 16或20 秒.
【解答】解:①当∠APC=90°时,
连接OA,过点O作OH⊥AB于点H,如图,
∵OH⊥AB,
∴AH=AB=6,
∴OH===8.
∵OC∥AB,OH⊥AB,CP⊥AB,
∴四边形OHPC为矩形,
∴PH=OC=10,
∴AP=AH+HP=16,
∵点P以每秒1个单位的速度前进,
∴t=16;
②当∠ACP=90°时,
连接OA,过点O作OH⊥AB于点H,过点C作CM⊥AP于点M,如图,
∵OH⊥AB,
∴AH=AB=6,
∴OH===8.
∵OC∥AB,OH⊥AB,CM⊥AP,
∴四边形OHMC为矩形,
∴HM=OC=10,CM=OH=8,
∴AM=16,
∵∠ACP=90°,CM⊥AP,
∴△AMC∽△CMP,
∴,
∴,
∴MP=4,
∴AP=AM+MP=20.
∵点P以每秒1个单位的速度前进,
∴t=20,
综上,当△APC是直角三角形时,动点P运动的时间t为16秒或20秒,
故答案为:16或20.
一十四.圆周角定理(共1小题)
14.(2022•海陵区一模)用半径为30,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的底面圆半径是 10 .
【解答】解:设圆锥底面圆的半径为r,
则2πr=,
解得:r=10,
故圆锥的底面半径为10.
故答案为:10.
一十五.切线的性质(共1小题)
15.(2022•建邺区一模)如图,⊙O的直径AB=4cm,PB、PC分别与⊙O相切于B、C两点,弦CD∥AB,AD∥CP,则PB= 2 cm.
【解答】解:连接AC,OD,PO,OC,OC与AD交于E,
∵PB、PC分别与⊙O相切于B、C两点,
∴PC=PB,∠PCO=90°,
∴∠PCD+∠OCD=90°,
∵AD∥PC,
∴∠PCD=∠ADC,
∴∠ADC+∠DCO=90°,
∴∠CED=90°,
∴AE=DE,
∵CD∥AB,
∴∠CDE=∠OAD,∠DCO=∠AOC,
∴△AOE≌△DCE(AAS),
∴AO=CD,
∴四边形AODC是平行四边形,
∴CD=OA,
∴△AOC与△COD是等边三角形,
∴∠AOC=∠COD=60°,
∴∠BOP=60°,
∵∠PCO=∠PBO=90°,∠CPO=∠BPO,
∴∠COP=∠BOP,
∵∠COB=120°,
∴∠COP=∠BOP=60°,
∴点D在OP上,
∵AB=4cm,
∴OB=2cm,
∴PB=OB=2(cm),
故答案为:2.
一十六.切线的判定与性质(共1小题)
16.(2022•宜兴市一模)如图,在四边形ABCD中,AD=CD=2,CB=AB=6,∠BAD=∠BCD=90°,点E在对角线BD上运动,⊙O为△DCE的外接圆,当⊙O与AD相切时,⊙O的半径为 2 ;当⊙O与四边形ABCD的其它边相切时,其半径为 或10﹣6 .
【解答】解:如图,⊙O与AD相切,连接OD,连接CO并延长CO交BD于点F,
∵点O到AD的距离等于⊙O的半径,且OD是⊙O的半径,
∴OD就是点O到AD的距离,
∴AD⊥OD,
∴∠ODA=90°,
∵AD=CD=2,CB=AB=6,BD=BD,
∴△ABD≌△CBD(SSS),
∵∠BAD=∠BCD=90°,
∴tan∠ADB==,
∴∠ADB=∠CDB=60°,
∴∠ABD=∠CBD=30°,∠ADC=120°,
∴∠ABC=60°,
∵OD=OC,
∴∠OCD=∠ODC=120°﹣90°=30°,
∴∠ODF=30°,∠FOD=∠OCD+∠ODC=60°,
∴∠OFD=90°,
∴OF=OD=OC,DF=OD•sin60°=OD=OC,
∵DF2+CF2=CD2,且CD=2,
∴(OC)2+(OC+OC)2=(2)2,
∴OC=2或OC=﹣2(不符合题意,舍去),
∴⊙O的半径为2;
如图,点O在CD边上,
∵∠BCD=90°,
∴BC⊥OC,
∴⊙O与BC相切于点C,
∵AD=CD=2,
∴OC=OD=CD=×2=,
∴⊙O的半径为.
如图,⊙O与AD相切于点G,连接OG、OD,OC,作OL⊥AD于点L,设⊙O的半径为r,
∵∠OGA=∠OLA=∠A=90°,
∴四边形OGAL是矩形,
∴AL=OG=OD=OC=r,
∴DL=2﹣r,
作OH⊥CD于点H,交AB于点K,作KM⊥BC于点M,则DH=CH=CD=,
∵∠KMC=∠MCH=∠KHC=90°,
∴四边形MKHC是矩形,
∴KM=CH=,
∵∠BMK=90°,∠KBM=60°,
∴=sin∠KBM=sin60°=,
∴,
∴BK=2,
∵KH∥BC,
∴∠OKG=∠ABC=60°,
∵∠OGK=90°,
∴=tan∠OKG=tan60°=,
∴KG=OG=r,
∴OL=AG=6﹣2﹣r=4﹣r,
∵∠OLD=90°,
∴OL2+DL2=OD2,
∴(4﹣r)2+(2﹣r)2=r2,
整理得r2﹣20r+84=0,
解得r=10﹣6,r=10+6(不符合题意,舍去),
∴⊙O的半径为10﹣6,
综上所述,⊙O的半径为或10+6,
故答案为:2;或10﹣6.
一十七.三角形的内切圆与内心(共1小题)
17.(2022•宿城区一模)Rt△ABC的斜边为13,其内切圆的半径等于2,则Rt△ABC的周长等于 30 .
【解答】解:如图,Rt△ABC三边分别切圆O于点D,E,F,
得四边形ODBE是正方形,
∴BE=BD=OD=OE,
∴AF=AD=AB﹣2,CF=CE=BC﹣2,
∴AC=AF+CF=AB﹣2+BC﹣2=AB+BC﹣4,
∴AB+BC=AC+4=13+4=17,
∴AB+BC+AC=17+13=30.
∴Rt△ABC的周长等于30.
故答案为:30.
一十八.正多边形和圆(共1小题)
18.(2022•玄武区一模)如图,点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心,连接AE,C1F相交于点G,则∠AGF的度数为 78 °.
【解答】解:连接OA,OB1,OC1,
∵点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心,
∴∠AOB1=∠B1OC1==72°,
∴∠AOC1=144°,
∴∠AFC1=AOC1=72°,
∵AF=EF,∠AFE=120°,
∴∠GAF=30°,
∴∠AGF=180°﹣∠GAF﹣∠AFG=180°﹣30°﹣72°=78°,
故答案为:78.
一十九.弧长的计算(共2小题)
19.(2022•秦淮区一模)如图,点A,B,C在半径为4的⊙O上,若∠AOB=130°,∠OAC=70°,则的长为 2π .
【解答】解:如图,连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=70°,
∴∠AOC=40°,
∴∠COB=130°﹣40°=90°,
∴的长为.
故答案为2π.
20.(2022•兴化市一模)半径为2,圆心角为60°的扇形弧长为 .
【解答】解:扇形端点弧长==.
故答案为:.
二十.扇形面积的计算(共1小题)
21.(2022•滨湖区一模)一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起,经测量发现,AC=CE=2,取AB中点O,连接OF.∠FCE在∠ACB内部绕点C任意转动(包括边界),则CE在运动过程中扫过的面积为 ;在旋转过程中,线段OF的长度最小时,两块三角板重叠部分的周长为 3+2﹣ .
【解答】解:CE在运动过程中扫过的部分是半径为2,圆心角为90°﹣45°=45°的扇形,
因此面积为=,
当点C、O、F在一条直线上时,OF最小,如图,过点O作ON⊥CE于N,
在Rt△ABC中,∠A=30°,AC=2,
∴BC=tan30°•AC=2,AB=2BC=4,
∵点O是AB的中点,
∴OC=AB=2,
在Rt△OCN中,OC=2,∠OCN=45°,
∴CN=ON=sin45°•OC=,
在Rt△MON中,∠MON=60°﹣45°=15°,
设MN=x,则ON=(2+)x=,
解得x=2﹣,
即MN=2﹣,
由勾股定理得,
OM==2﹣2,
∴△MOC的周长为ON+CM+OM=2++2﹣+2﹣2
=3+2﹣,
故答案为:,3+2﹣.
二十一.轨迹(共1小题)
22.(2022•鼓楼区一模)在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5.若点P在△ABC内部(含边界)且满足∠PBC≤∠PCB,则所有点P组成的区域的面积为 .
【解答】解:如图,作线段BC的垂直平分线MN交BC于点M,交AC于点N.
由题意,点P组成的图形是△MNC,
∵AB=3,AC=4,BC=5,
∴AB2+AC2=AB2,
∴∠A=90°,
∵∠CMN=∠A,∠ACB=∠MCN,
∴△MCN∽△ACB,
∴=,
∴=,
∴MN=,
∴S△NMC=××=,
故答案为:.
二十二.轴对称的性质(共1小题)
23.(2022•宜兴市一模)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3,点D是BC上一动点(点D与点B不重合),连接AD,作B关于直线AD的对称点E,当点E在BC的下方时,连接BE、CE,则CE的取值范围是 1≤CE<5 ;△BEC面积的最大值为 4 .
【解答】解:∵B、E关于AD对称,
∴AE=AB=4,
则可知E点在以A点为圆心、AE为半径的圆上,如图,
在Rt△ABC中,AB=4,AC=3,则BC=5,
当E点与B点重合时,有CE最长,即为5;
又∵B、E不重合,
∴CE<5,
当E点移动到F点时,使得A、C、F三点共线,此时CF最短,且为CF=AF﹣AC=4﹣3=l,
即CE最短为l,
即CE的取值范围为:1≤CE<5;
当点E移动到使得AE⊥BC时,A点到BC的距离最短,则E点到BC的距离最大,则此时△BCE的面积最大,
设AE交BC于点G点,
利用面积可知AB×AC=BC×AG,
∴AG=2.4,
∵AE=AB=4,
∴EG=4﹣2.4=1.6,
∴△BCE的面积最大值为:1.6×5×=4,
∴△BCE的面积的最大值为4;
故答案为:1≤CE<5;4.
二十三.翻折变换(折叠问题)(共1小题)
24.(2022•锡山区一模)如图,在平面直角坐标系中,C,A分别为x轴、y轴正半轴上的点,以OA,OC为边,在第一象限内作矩形OABC,且S矩形OABC=2,将矩形OABC翻折,使点B与原点O重合,折痕为MN,点C的对应点C'落在第四象限,过M点的反比例函数y=(k≠0)的图象恰好过MN的中点,则k的值为 ,点C'的坐标为 (,﹣) .
【解答】解:如图,连接OB,交MN于点Q,
∵矩形OABC翻折,使点B与原点重合,折痕为MN,
∴QB=QO,MB=MO,
∵AB∥CO,
∴∠ABQ=∠NOQ,
∵∠MQB=∠NQO,
而OQ=BQ,
∴△BQM≌△OQN(AAS),
∴QM=QN,即点Q是MN的中点,
过点Q作QH⊥BC于点H,则QH是△OBC的中位线,
则Rt△OHQ∽Rt△OCB,
则=()2=,
而S△OBC=S矩形AOCB=,
则S△OHQ=×==k,
解得k=,
∵点M是反比例函数上的点,
则S△AOM=k=,
而S△ABO=S矩形AOCB==4S△AOM,
故AM=AB,
设AM=a,则BM=3a=OM,
则OA==2a,
则S△AOM==•AM•AO=a•2a,
解得a=(负值已舍去),
则AB=4AM=2,AM=a=,
连接BN,作C′G⊥ON于G,
∵QO=BQ,QM=NQ,
∴四边形MONB是平行四边形,
∴ON=BN=OM,
∵OC′=BC=OA,
∴Rt△AOM≌Rt△CBN≌Rt△C′ON(HL),
∴S△C′ON=S△AOM=,ON=OM=,OC′=OA=2a=,
∴ON•C′G=,
∴×C′G=,
∴C′G=,
∴OG===,
∴C′为(,﹣),
故答案为:,(,﹣).
二十四.比例线段(共1小题)
25.(2022•盐城一模)在比例尺为1:100000的盐都旅游地图上,测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31cm,则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为 31 km.
【解答】解:大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为31÷=3100000(cm)=31(km),
故答案为:31.
二十五.相似三角形的判定(共1小题)
26.(2022•宿城区一模)如图,在△ABC纸板中,AC=8,BC=4,AB=10,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长的取值范围是 6≤AP<8 .
【解答】解:如图所示,过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E,则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB,
此时0<AP<8;
如图所示,过P作∠APF=∠B交AB于F,则△APF∽△ABC,
此时0<AP≤8;
如图所示,过P作∠CPG=∠CBA交BC于G,则△CPG∽△CBA,
此时,△CPG∽△CBA,
当点G与点B重合时,CB2=CP×CA,即42=CP×8,
∴CP=2,AP=6,
∴此时,6≤AP<8;
综上所述,要有4种不同的剪法,使得过点P沿直线剪下一个与△ABC相似,则AP长的取值范围是6≤AP<8.
故答案为:6≤AP<8.
二十六.相似三角形的判定与性质(共3小题)
27.(2022•建邺区一模)如图,在△ABC中,∠B=30°,点D是AC上一点,过点D作DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交BC于点F.若AE=5,CF=4,则四边形BFDE的面积为 10 .
【解答】解:∵DE∥BC,
∴∠AED=∠B,∠ADE=∠C,
∵DF∥AB,
∴∠B=∠DFC,
∴∠AED=∠DFC,
∴△AED∽△DFC,
∴,
∴DE•DF=AE•FC=5×4=20,
∵DE∥BC,DF∥AB,
∴四边形BEDF是平行四边形,
过点E作EM⊥BF,
∴S▱BEDF=DE•EM,EM=BE•sin∠B,
∵BE=DF,sin∠B=sin30°=,
∴S▱BEDF=DE•EM
=DE•BE•sin∠B
=DE•DF•sin∠B
=20×
=10.
故答案为:10.
28.(2022•盐城一模)如图,点E、F分别是矩形ABCD边BC和CD上的点,把△CEF沿直线EF折叠得到△GEF,再把△BEG沿直线BG折叠,点E的对应点H恰好落在对角线BD上,若此时F、G、H三点在同一条直线上,且线段HF与HD也恰好关于某条直线对称,则的值为 .
【解答】解:∵线段HF与HD关于某条直线对称,
∴HF=HD,
∴∠HDF=∠HFD,
∵∠BHG=∠HDF+∠HFD,
∴∠BHG=2∠HFD,
由折叠可得:
CF=FG,CE=EG=HG,∠CFE=∠GFE,∠BHG=∠BEG,∠CEF=∠GEF,
∴∠BEG=2∠HFD,
∵∠BEG+∠CEG=180°,
∴2∠HFD+2∠CEF=180°,
∴∠HFD+∠CEF=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,
∴∠CEF+∠CFE=90°,
∴∠CFE=∠HFD,
∴∠CFE=∠HFD=∠GFE=×180°=60°,
∴△HDF是等边三角形,
∴∠HDF=60°,HF=DF,
∵∠HDF=∠CFE=60°,∠C=∠C,
∴△CFE∽△CDB,
∴=,
设CF=GF=a,
∵∠C=90°,∠CFE=60°,
∴CE=CF=a,
∴CE=HG=a,
∴DF=HF=HG+FG=a+a,
∴CD=CF+DF=2a+a,
∴===2+,
故答案为:2+.
29.(2022•武进区一模)如图,△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,D、E分别是BC、AC边上的动点,且∠ADE=∠ABC,连接BE,则△AEB的面积的最小值为 .
【解答】解:过点A作AH⊥BC于H,过点E作EK⊥BA交BA的延长线于K.设AE=y,BD=x.
∵AB=AC=2,AH⊥BC,∠BAC=120°,
∴BH=CH,∠BAH=∠CAH=60°,
∴BH=CH=AB•sin60°=,
∴BC=2BH=2,
∴CD=2﹣x,EC=2﹣y,
在Rt△AEK中,EK=AE•sin60°=y,
∴S△ABE=•AB•EK=×2×y=y,
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABC+∠DAB,∠ADE=∠ABD,
∴∠EDC=∠DAB,
∵∠C=∠ABD,
∴△ADB∽△DEC,
∴=,
∴=,
整理得y=x2﹣x+2=(x﹣)2+,
∵>0,
∴x=时,y的值最小,最小值为,
∴△ABE的面积的最小值=,
二十七.中位数(共1小题)
30.(2022•常州一模)某地区连续5天的最高气温(单位:℃)分别是30,33,24,29,24,这组数据的中位数是 29 .
【解答】解:数据从小到大排列为:24,24,29,30,33,
则最中间为:29,
故这组数据的中位数是:29.
故答案为:29.
二十八.列表法与树状图法(共1小题)
31.(2022•海陵区一模)一个口袋中装有2个红球、1个白球,现小明和小丽用两种不同的方法从袋中随机摸球.小明从袋中一次性随机摸取2个球,都是红球的概率记为P1;小丽先从袋中随机摸出1个球,记下颜色后放回,再从袋中随机摸出1个球,两次都是红球的概率记为P2.则P1与P2的大小关系是P1 < P2(填“>”、“<”或“=”).
【解答】解:小明从袋中一次性随机摸取2个球,所有等可能结果如下表所示:
红
红
白
红
(红,红)
(白,红)
红
(红,红)
(白,红)
白
(红,白)
(红,白)
由表知,共有6种等可能结果,其中都是红球的有2种结果,
所以都是红球的概率P1==;
小丽先从袋中随机摸出1个球,记下颜色后放回,再从袋中随机摸出1个球,所有等可能结果如下表所示:
红
红
白
红
(红,红)
(红,红)
(白,红)
红
(红,红)
(红,红)
(白,红)
白
(红,白)
(红,白)
(白,白)
由表知,共有9种等可能结果,其中两次都是红球的有4种结果,
所以两次都是红球的概率P2=;
∴P1<P2,
故答案为:<.
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