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江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-07解答题（基础题）
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这是一份江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-07解答题（基础题），共58页。试卷主要包含了﹣3，计算，计算或化简等内容，欢迎下载使用。
江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-07解答题（基础题）
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•常州一模）计算：﹣（π+1）0+（﹣3）2﹣（）﹣3．
2．（2022•盐城一模）计算：．
3．（2022•锡山区一模）计算：
（1）计算：﹣3tan60°+（π﹣2）0；
（2）解方程组：．
二．因式分解的应用（共2小题）
4．（2022•鼓楼区一模）已知a是一个正整数，且a除以3余1．判断a2+4a+4是否一定能被9整除，并说明理由．
5．（2022•无锡一模）学校准备在校运动会开幕式上进行大型队列展示，通过变换队形，摆出不同造型，营造活动气氛．活动策划部设想：8路纵队（每路人数相同）进场，队列在主席台前一分为二，左右分开，使两边的人数相同；接着，从一边走出48位学生到另一边，这时两边的学生刚好可以各自组成一个正方形队列．问这次队列展示至多需要多少名学生？
三．分式的加减法（共2小题）
6．（2022•鼓楼区一模）计算：﹣．
7．（2022•仪征市一模）计算：
（1）；
（2）．
四．分式的混合运算（共1小题）
8．（2022•江都区一模）计算或化简：
（1）2cos30°+|﹣3|+（π﹣9）0；
（2）÷（1﹣）．
五．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
9．（2022•徐州一模）（1）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）；
（2）解不等式组：．
六．一元二次方程的应用（共1小题）
10．（2022•邳州市一模）直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上销售一批小商品，平均每天可卖出20件，每件盈利30元通过市场调查发现，在一定范围内，小商品单价每降低1元，平均每天销售量增加2件，商家预期日利润为750元，决定降价促销，小商品的单价应降低多少元？
七．解分式方程（共3小题）
11．（2022•滨湖区一模）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
12．（2022•无锡一模）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
13．（2022•常州一模）解不等式组和方程：
（1）；
（2）．
八．分式方程的应用（共2小题）
14．（2022•仪征市一模）冰墩墩（BingDwenDwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．小聪在某网店分别用30000元购买A，B两款冰墩墩玩偶进行销售，购得A款冰墩墩玩偶数量比B款冰墩墩玩偶少500个．给出如下两个信息：
①A款冰墩墩玩偶的进货价比B款冰墩墩玩偶的进货价多；
②A、B两款冰墩墩玩偶的进货价之比为4：3；
请从以上两个信息中选择一个作为条件，求A、B两款冰墩墩玩偶的进货价？你选择的条件是（填序号），并根据你选择的条件给出求解过程．
15．（2022•锡山区一模）山地自行车越来越受年轻人的喜爱．某车行经营的A型山地自行车去年销售总额为30万元，今年每辆车售价比去年降低了200元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少10%，
（1）今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划再进一批A型车和新款B型车共60辆，要使这批车获利不少于4万元，A型车至多进多少辆？
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
A型车
B型车
进货价格（元）
1200
1400
销售价格（元）
今年的销售价格
2200
九．一元一次不等式的应用（共1小题）
16．（2022•滨湖区一模）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多1万元，且用1200万元恰好能购买300套A型一体机和200套B型一体机．
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共600套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨20%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用的，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
一十．解一元一次不等式组（共1小题）
17．（2022•鼓楼区一模）解不等式组，并在数轴上表示解集．
一十一．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
18．（2022•江都区一模）解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解．
一十二．一次函数的应用（共1小题）
19．（2022•玄武区一模）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y（单位：km）与慢车的行驶时间x（单位：min）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：
（1）慢车的速度为 km/min；
（2）求线段AB表示的y与x之间的函数表达式；
（3）请根据题意补全图象．
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
20．（2022•无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（2，1）为反比例函数图象上一点，连接AO并延长，交图象另一支于点B，若点P为第一象限内反比例函数图象上异于点A的任意一点，直线PA、PB分别交x轴于点M、N．
（1）试探究线段PM和PN的数量关系，并写出你探究的过程；
（2）若△PMN的面积为10，求点P的坐标．
一十四．二次函数的应用（共1小题）
21．（2022•秦淮区一模）在某次科技创新活动中，机器人A和B沿一直道同时同地出发进行50m赛跑．设A出发第xs时，A，B离终点的距离分别为y1m，y2m，其中y1是x的一次函数，y2＝﹣0.01x2﹣0.02x+50，它们的图象如图所示．
（1）求y1与x之间的函数表达式；
（2）在比赛过程中，求两机器人离终点距离相等时x的值．
一十五．勾股定理的逆定理（共1小题）
22．（2022•鼓楼区一模）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）．用两种方法证明∠ACB＝90°．（写出必要的推理过程）
一十六．平行四边形的性质（共2小题）
23．（2022•无锡一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝BF，连接EF交AC于点O，求证：OE＝OF．
24．（2022•徐州一模）如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当∠C＝90°时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
一十七．菱形的性质（共1小题）
25．（2022•建邺区一模）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为 ．
一十八．矩形的性质（共1小题）
26．（2022•滨湖区一模）如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，AB＝DE，CF⊥DE，垂足为F．
（1）求证：CF＝CB；
（2）若∠FCB＝30°，且AD＝2，求EF的长．
一十九．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
27．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．
（1）求证AB＝AC；
（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．
二十．三角形的外接圆与外心（共1小题）
28．（2022•鼓楼区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，经过点A，C，D的圆与BC相交于点E，连接AE．
（1）求证：△ABE是等边三角形．
（2）F是上一点，且FA＝FC，连接EF．求证：EF＝BC．
二十一．切线的判定与性质（共1小题）
29．（2022•邳州市一模）如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，则AE的长为 ．
二十二．作图—复杂作图（共3小题）
30．（2022•建邺区一模）尺规作图：如图，已知△ABC，AB＝AC，作矩形MNPQ，使得点M、N分别在边AB、AC上，点P、Q在边BC上，且MN＝2MQ（不写作法，保留作图痕迹）．
31．（2022•海陵区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．请用无刻度的直尺和圆规作出符合下列条件的图形，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在线段BC的延长线上，找出一点E，使∠CEA＝22.5°；
（2）在（1）的条件下，在线段BC上，找出一点D，使∠EAD＝45°．
32．（2022•无锡一模）如图，已知Rt△ABC（∠C＝90°）．
（1）请利用没有刻度的直尺和圆规作出一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）
（2）在上题中，若已知AC＝5，BC＝12，求出所作⊙O的半径．
二十三．命题与定理（共1小题）
33．（2022•兴化市一模）如图，点A、B在⊙O上，BC⊥OA，垂足为C，D是OA延长线上一点，连接BD，请从信息：①BD是⊙O的切线，②AB平分∠DBC，③OB2＝OC•OD中选择一个作为补充条件，再从剩下的两个信息中选择一个作为结论组成一个真命题，并证明．
你选择 作为补充条件， 作为结论（填序号）．
二十四．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
34．（2022•锡山区一模）亲爱的同学，你能利用一张矩形纸片折出大小不一的菱形吗？请你动手试一试！然后按要求完成下面问题：
已知某矩形长为8，宽为6，请你用虚线在如图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图并在下方横线上直接写出菱形的面积（画图特别说明：①示意图中体现所有折痕；②菱形的顶点必须都在矩形的边上；③所画菱形是能仅用已知数据便可求出面积的图形）
二十五．相似三角形的判定与性质（共2小题）
35．（2022•玄武区一模）如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，BE，AD相交于点F．
（1）求证△ABD≌△BCE；
（2）求证AE2＝EF•EB．
36．（2022•盐城一模）（1）如图△ABC，请在边BC、CA、AB上分别确定点D、E、F，使得四边形BDEF为菱形，请作出菱形BDEF．（要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）
（2）若△ABC中AB＝10，BC＝15，求（1）中所作菱形BDEF的边长．
二十六．条形统计图（共4小题）
37．（2022•江都区一模）2022年，中国航天继续“超级模式”：全面建成空间站、宇航发射次数“50+”……某中学科技兴趣小组为了解本校学生对我国航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
（1）此次调查中接受调查的人数为 人；
（2）补全图1条形统计图；
（3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为 °．
（4）该校共有1000人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
38．（2022•滨湖区一模）为落实“双减”政策，某中学积极开展校内课后服务．学校根据学生的兴趣爱好组建课后兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 名学生；
（2）求m的值并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“音乐”所在扇形的圆心角度数为 ；
（4）若该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
39．（2022•秦淮区一模）图①是某饮品店去年11月至今年3月的销售额的情况，图②是其最畅销饮品的销售额占月销售额的百分比的情况，已知这段时间该饮品店的销售总额是35万元．
（1）将条形统计图补充完整；
（2）该店最畅销饮品去年12月的销售额是多少万元？
（3）店长观察图②后，认为今年3月该店最畅销饮品的销售额是去年11月以来最少的，你同意他的看法吗？为什么？
40．（2022•锡山区一模）重庆一中开展了“爱生活•爱运动”的活动，以鼓励学生积极参与体育锻炼．为了解学生每周体育锻炼时间，学校在活动之前对八年级同学进行了抽样调查，并根据调查结果将学生每周的体育锻炼时间分为3小时、4小时、5小时、6小时、7小时共五种情况．小明根据调查结构制作了如图两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
【整理数据】
“爱生活•爱运动”的活动结束之后，再次抽查这部分学生的体育锻炼时间：
一周体育锻炼时间（小时）
3
4
5
6
7
人数
3
5
15
a
10
活动之后部分学生体育锻炼时间的统计表
【分析数据】
平均数
中位数
众数
活动之前锻炼时间（小时）
5
5
5
活动之后锻炼时间（小时）
5.52
b
c
请根据调查信息分析：
（1）补全条形统计图，并计算a＝ ，b＝ 小时，c＝ 小时；
（2）小亮同学在活动之前与活动之后的这两次调查中，体育锻炼时间均为5小时，根据体育锻炼时间由多到少进行排名统计，请问他在被调查同学中体育锻炼时间排名靠前的是 （填“活动之前”或“活动之后”），理由是 ；
（3）已知八年级共2200名学生，请估算全年级学生在活动结束后，每周体育锻炼时间至少有6小时的学生人数有多少人？
二十七．折线统计图（共2小题）
41．（2022•海陵区一模）为进一步提高学生的英语口语听力水平，某校准备开展英语口语听力比赛．九（1）班准备从甲、乙两人中推荐1人参加比赛，现将两人在班级选拔赛中，5次的测试成绩（总分100分）绘制成如图所示的折线统计图（图中只标注了部分数据）．观察统计图，回答下列问题：
（1）甲5次测试成绩的众数为 分；乙5次测试成绩的中位数为 分；
（2）小红认为：应该选择两人中5次测试成绩方差小的去比赛．你同意他的观点吗？请结合统计图说明理由．
42．（2022•兴化市一模）将我国近年来（1990年～2022年）在冬奥会上获得的奖牌枚数绘制成如图所示的折线统计图，观察统计图回答下列问题：
（1）近年来我国在冬奥会上获得铜牌枚数的众数是 ；
（2）我国获得的金牌枚数首次超过银牌与铜牌枚数之和的是 年冬奥会；
（3）若将2022年冬奥会我国获得的奖牌枚数制成扇形统计图，表示金牌枚数所占比例的扇形的圆心角的度数是多少？
二十八．众数（共1小题）
43．（2022•仪征市一模）保家卫国尽精英，战绩辉煌留盛名，近几年涌现了很多缅怀中国军人的优秀作品，其中《长津湖》和《长津湖之水门桥》正是其中的优秀代表，为了解学生对这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分，并进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：《长津湖》得分：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表．
平均数
众数
中位数
《长津湖》
8.2
9
b
《长津湖之水门桥》
7.8
c
8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表格中的b＝ ，c＝ ；
（2）根据上述数据，你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校九年级1100名学生都对这两部作品进行打分，请你估计一下这两部作品一共大约可得到多少个满分？
二十九．方差（共3小题）
44．（2022•崇川区一模）为让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校近期开展了形式多样的党史学习教育活动．在党史知识竞赛中，八、九年级各有300名学生参加，现随机抽取两个年级各20名学生的成绩进行整理分析，得到如表信息：
a．表1九年级20名学生的成绩（百分制）统计表
82
80
97
91
94
72
71
91
85
70
94
78
92
75
97
92
91
92
83
98
b．表2九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差统计表
年级
平均数
中位数
方差
九年级
86
a
86.3
c．随机抽取八年级20名学生的成绩的中位数为88，方差为83.2，且八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的平均数是84.5．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）在表2中，a的值等于 ；
（2）求八年级这20名学生成绩的平均数；
（3）你认为哪个年级的成绩较好？试从两个不同的角度说明推断的合理性．
45．（2022•建邺区一模）2021年7月24日，杨倩获得了东京奥运会的首枚金牌，这也激发了人们对射击运动的热情．李雷和林涛去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下：
李雷10次射击成绩统计表
命中环数
命中次数
5环
2
6环
1
7环
3
8环
3
9环
1
（1）完成下列表格：
平均数（单位：环）
中位数（单位：环）
方差（单位：环2）
李雷
7
7
林涛
7
5
（2）李雷和林涛很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由．
46．（2022•玄武区一模）在某次射击训练中，小明10次射击的成绩如下（单位：环）．
（1）填表：
平均数
中位数
方差
8环
环
环2
（2）你认为小明这10次射击的平均成绩8环能反映他的实际水平吗？请说明理由．
（3）若小明增加1次射击，成绩为9环，与增加前相比，小明的射击成绩 ．
A．平均数变小，方差变小
B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
三十．列表法与树状图法（共2小题）
47．（2022•崇川区一模）某校有4个测温通道，分别被记为A，B，C，D，学生可随机选取其中的一个通道测温进校．某日早晨，小明和小东两名同学先后测温进校．
（1）小明选择A通道测温进校的概率是 ；
（2）求小明和小东选择不同通道测温进校的概率．
48．（2022•鼓楼区一模）如图，转盘A中的2个半圆分别标注1和2，转盘B中的半圆标注1，其他两个扇形的面积相等，分别标注2和3．
（1）转动转盘A，当转盘停止转动时，记录指针指向的数．连续进行两次该操作，求记录的2个数相同的概率；
（2）分别转动转盘A，B各一次，当转盘停止转动时，记录两个转盘的指针各自指向的数，则记录的2个数相同的概率是 ．
三十一．游戏公平性（共1小题）
49．（2022•盐城一模）北京冬奥会将在2022年2月4日至20日举行，北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是 ；
（2）小明发明了一种“邮票棋”比胜负的游戏，用小亮的三种邮票当作5颗棋子，其中冬奥会会徽邮票记作A棋，吉祥物冰墩墩邮票记作B棋，吉祥物雪容融邮票记作C棋．
游戏规则：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出1颗棋子，不放回，再摸出第2颗棋子．若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜；其余情况视为平局，游戏重新进行，请你用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．
江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-07解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•常州一模）计算：﹣（π+1）0+（﹣3）2﹣（）﹣3．
【解答】解：﹣（π+1）0+（﹣3）2﹣（）﹣3
＝4﹣1+9﹣8
＝4．
2．（2022•盐城一模）计算：．
【解答】解：原式＝4+1+3﹣2×1
＝8﹣2＝6．
3．（2022•锡山区一模）计算：
（1）计算：﹣3tan60°+（π﹣2）0；
（2）解方程组：．
【解答】解：（1）原式＝3﹣3×+1
＝3﹣3+1
＝1；
（2），
①×2，得：4x+2y＝12③，
③﹣②，得：3x＝15，
解得：x＝5，
把x＝5代入①，可得：2×5+y＝6，
解得：y＝﹣4，
∴原方程组的解为．
二．因式分解的应用（共2小题）
4．（2022•鼓楼区一模）已知a是一个正整数，且a除以3余1．判断a2+4a+4是否一定能被9整除，并说明理由．
【解答】解：一定能被9整除．理由如下：
设a除以3余1的商为b，则a＝3b+1，
a2+4a+4
＝（a+2）2
＝（3b+3）2
＝[3（b+1）]2
＝9（b+1）2，
∴a2+4a+4一定能被9整除．
5．（2022•无锡一模）学校准备在校运动会开幕式上进行大型队列展示，通过变换队形，摆出不同造型，营造活动气氛．活动策划部设想：8路纵队（每路人数相同）进场，队列在主席台前一分为二，左右分开，使两边的人数相同；接着，从一边走出48位学生到另一边，这时两边的学生刚好可以各自组成一个正方形队列．问这次队列展示至多需要多少名学生？
【解答】解：设各自组成正方形队列的边长分别为x人和y人（x、y为正整数，且x＞y），
∴x2﹣y2＝96，（x+y）（x﹣y）＝96，
∴x+y和x﹣y的值可能为96和1，48和2，32和3，24和4，16和6，12和8，
∵x+y和x﹣y的奇偶性相同，
∴x+y和x﹣y的值为24和4，48和2，16和6，12和8，
①，
解得，
∴x2+y2＝296；
②，
解得，
∴x2+y2＝1154；
③，
解得，
∴x2+y2＝146；
④，
解得，
∴x2+y2＝104；
∵1154和146不能被8整除，舍去，且296＞104，
答：这次队列展示至多需要296名学生．
三．分式的加减法（共2小题）
6．（2022•鼓楼区一模）计算：﹣．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝．
7．（2022•仪征市一模）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝1+﹣2
＝1；
（2）
＝
＝
＝
＝2．
四．分式的混合运算（共1小题）
8．（2022•江都区一模）计算或化简：
（1）2cos30°+|﹣3|+（π﹣9）0；
（2）÷（1﹣）．
【解答】解：（1）2cos30°+|﹣3|+（π﹣9）0
＝2×+3﹣+1
＝+3﹣+1
＝4；
（2）÷（1﹣）
＝÷
＝•
＝．
五．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
9．（2022•徐州一模）（1）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）x（x﹣7）＝8（7﹣x），
x（x﹣7）+8（x﹣7）＝0，
（x﹣7）（x+8）＝0，
x﹣7＝0或x+8＝0，
所以x1＝7，x2＝﹣8；
（2），
解①得x＞2，
解②得x＜4，
所以不等式组的解集为2＜x＜4．
六．一元二次方程的应用（共1小题）
10．（2022•邳州市一模）直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上销售一批小商品，平均每天可卖出20件，每件盈利30元通过市场调查发现，在一定范围内，小商品单价每降低1元，平均每天销售量增加2件，商家预期日利润为750元，决定降价促销，小商品的单价应降低多少元？
【解答】解：设每件小商品降价x元，由题意得，
（30﹣x）（20+2x）＝750，
整理得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝15．
又∵降价促销，
∴小商品的单价应降低15元．
答：小商品的单价应降低15元．
七．解分式方程（共3小题）
11．（2022•滨湖区一模）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1），
x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，
∴x＝1是原方程的根；
（2），
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＜3，
∴原不等式组的解集为：x≤2．
12．（2022•无锡一模）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝1；
（2）不等式组整理得：，
解得：x＜﹣4．
13．（2022•常州一模）解不等式组和方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤5，
∴原不等式组的解集为：1＜x≤5；
（2），
x﹣1+1＝3（x﹣2），
解的：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣2≠0，
∴x＝3是原方程的根．
八．分式方程的应用（共2小题）
14．（2022•仪征市一模）冰墩墩（BingDwenDwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．小聪在某网店分别用30000元购买A，B两款冰墩墩玩偶进行销售，购得A款冰墩墩玩偶数量比B款冰墩墩玩偶少500个．给出如下两个信息：
①A款冰墩墩玩偶的进货价比B款冰墩墩玩偶的进货价多；
②A、B两款冰墩墩玩偶的进货价之比为4：3；
请从以上两个信息中选择一个作为条件，求A、B两款冰墩墩玩偶的进货价？你选择的条件是（填序号），并根据你选择的条件给出求解过程．
【解答】解：若选①，设B款冰墩墩玩偶的进货价是x元，则A款冰墩墩玩偶的进货价为（1+）x元，
根据题意得：＝+500，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，也符合题意，
∴x＝15，
∴（1+）x＝20，
答：B款冰墩墩玩偶的进货价是15元，则A款冰墩墩玩偶的进货价为20元；
②若选②，设A款冰墩墩玩偶的进货价是4m元，则B款冰墩墩玩偶的进货价为3m元，
根据题意得：+500＝，
解得m＝5，
经检验，m＝5是原方程的解，也符合题意，
∴m＝5，
∴4m＝20，3m＝15，
答：B款冰墩墩玩偶的进货价是15元，则A款冰墩墩玩偶的进货价为20元．
15．（2022•锡山区一模）山地自行车越来越受年轻人的喜爱．某车行经营的A型山地自行车去年销售总额为30万元，今年每辆车售价比去年降低了200元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少10%，
（1）今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划再进一批A型车和新款B型车共60辆，要使这批车获利不少于4万元，A型车至多进多少辆？
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
A型车
B型车
进货价格（元）
1200
1400
销售价格（元）
今年的销售价格
2200
【解答】解：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+200）元，由题意，得：
＝，
解得：x＝1800．
经检验，x＝1800是原方程的根．
答：今年A型车每辆售价1800元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，由题意，得
（1800﹣1200）a+（2200﹣1400）（60﹣a）≥40000，
解得：a≤40，
故要使这批车获利不少于4万元，A型车至多进40辆．
九．一元一次不等式的应用（共1小题）
16．（2022•滨湖区一模）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多1万元，且用1200万元恰好能购买300套A型一体机和200套B型一体机．
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共600套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨20%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用的，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
【解答】解：（1）设今年每套A型一体机的价格是x万元，则今年每套B型一体机的价格是（x+1）万元，
根据题意得：300x+200（x+1）＝1200，
解得x＝2，
∴x+1＝2+1＝3，
答：今年每套A型一体机的价格是2万元，则今年每套B型一体机的价格是3万元；
（2）设明年采购A型一体机m台，则采购B型一体机（600﹣m）台，
根据题意得：3（600﹣m）≥2×（1+20%）m×，
解得m≤375，
设采购总费用为w万元，则w＝2×（1+20%）m+3（600﹣m）＝﹣0.6m+1800，
∵﹣0.6＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝375时，w取最小值，最小值是﹣0.6×375+1800＝1575（万元），
答：该市明年至少需要投入1575万元才能完成采购计划．
一十．解一元一次不等式组（共1小题）
17．（2022•鼓楼区一模）解不等式组，并在数轴上表示解集．
【解答】解：由2（x﹣1）≥x﹣3，得：x≥﹣1，
由＞x，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
一十一．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
18．（2022•江都区一模）解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解．
【解答】解：，
由①得x≤1，
由②得x＞﹣4，
不等式组的解集为﹣4＜x≤1，
则它的非负整数解为0，1．
一十二．一次函数的应用（共1小题）
19．（2022•玄武区一模）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y（单位：km）与慢车的行驶时间x（单位：min）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：
（1）慢车的速度为 km/min；
（2）求线段AB表示的y与x之间的函数表达式；
（3）请根据题意补全图象．
【解答】解：（1）由图象得：慢车20min行驶10km，
∴慢车的速度为：10÷20＝（km/min），
故答案为：；
（2）设线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（20，10）（30，5）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+20（20≤x≤30）；
（3）快车的速度为：＝1（km/min），
快车追上慢车时x＝30+5÷1＝35（min），
快车到达乙地用时40÷1＝40（min），此时，x＝40+20＝60（min），
慢车到达乙地用时40÷+5＝85（min），
补全图象如图：
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
20．（2022•无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（2，1）为反比例函数图象上一点，连接AO并延长，交图象另一支于点B，若点P为第一象限内反比例函数图象上异于点A的任意一点，直线PA、PB分别交x轴于点M、N．
（1）试探究线段PM和PN的数量关系，并写出你探究的过程；
（2）若△PMN的面积为10，求点P的坐标．
【解答】解：（1）PM＝PN，
作PE⊥x轴，垂足为E，BC⊥y轴，两垂线交于点C，作AD⊥PE，垂足为D．
由题意得B（﹣2，﹣1），
∵点A（2，1）为反比例函数图象上一点，
∴k＝2×1＝2，
∴反比例函数为y＝，
设P（a，），当0＜a＜2时，如图1，
在Rt△PCB中，tan∠BPC＝＝＝a，
在Rt△PAD中，tan∠APD＝＝＝a，
∴∠BPC＝∠APD，
∴∠PNM＝∠PMN，
∴PN＝PM．
当a＞2时，如图2，
在Rt△PCB中，tan∠BPC＝＝＝a，
在Rt△PAD中，tan∠APD＝＝＝a，
∴∠BPC＝∠APD，
∴∠PNM＝∠PMN，
∴PN＝PM．
综上，PN＝PM．
（2）在Rt△PNE中，tan∠NPE＝a，
∴＝a，
∴NE＝2，
∴MN＝4，
∵△PMN的面积为10，
∴MN•PE＝10，
∴PE＝5．
∴P（，5）．
一十四．二次函数的应用（共1小题）
21．（2022•秦淮区一模）在某次科技创新活动中，机器人A和B沿一直道同时同地出发进行50m赛跑．设A出发第xs时，A，B离终点的距离分别为y1m，y2m，其中y1是x的一次函数，y2＝﹣0.01x2﹣0.02x+50，它们的图象如图所示．
（1）求y1与x之间的函数表达式；
（2）在比赛过程中，求两机器人离终点距离相等时x的值．
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx+b，
将（0，50），（80，8.4）代入y1＝kx+b，
可得，
解得
所以y1＝﹣0.52x+50；
（2）根据题意，得﹣0.52x+50＝﹣0.01x2﹣0.02x+50，
解得x1＝50，x2＝0（舍去）．
在比赛过程中，两机器人离终点距离相等时x的值是50．
一十五．勾股定理的逆定理（共1小题）
22．（2022•鼓楼区一模）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）．用两种方法证明∠ACB＝90°．（写出必要的推理过程）
【解答】证明一：∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴AC2＝22+42＝20，BC2＝82+42＝80，AB2＝102＝100，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°；
证明二：∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OC＝4，OB＝8，
∴＝＝，＝＝．
在△AOC与△COB中，
，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OAC＝∠OCB，
∵∠OAC+∠OCA＝90°，
∴∠OCB+∠OCA＝90°，
即∠ACB＝90°．
一十六．平行四边形的性质（共2小题）
23．（2022•无锡一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝BF，连接EF交AC于点O，求证：OE＝OF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵DE＝BF，
AE＝CF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF．
24．（2022•徐州一模）如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当∠C＝90°时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵点E为CD的中点，
∴CE＝DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE＝∠FDE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（SAS）；
（2）解：当∠C＝90°时，四边形AEFG是菱形，
理由：由（1）△BCE≌△FDE，
∴BC＝FD，∠C＝∠FDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
∴FD＝AD，
又∵DG＝DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴∠FDE＝90°，
∴GE⊥FA，
∴四边形AEFG是菱形．
一十七．菱形的性质（共1小题）
25．（2022•建邺区一模）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为 3 ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵E、F分别是BC、DC的中点．
∴BE＝BC，DF＝CD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE；
（2）解：连接AC交EF于H，连接BD交AC于点O，
∵菱形ABCD的面积为8，
∴S△ABC＝S△ADC＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∵E、F分别是BC、DC的中点．
∴S△ACE＝S△ACF＝2，EF∥BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴＝＝，
∴CO＝2CH，
∴AC＝4CH，
∴S△AEH＝S△AEC＝，S△AFH＝S△AFC＝，
∴S△AEF＝3，
故答案为：3．
一十八．矩形的性质（共1小题）
26．（2022•滨湖区一模）如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，AB＝DE，CF⊥DE，垂足为F．
（1）求证：CF＝CB；
（2）若∠FCB＝30°，且AD＝2，求EF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠DCE＝∠BEC，
∵AB＝DE，
∴CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴∠DEC＝∠BEC，
∵∠B＝∠EFC＝90°，CE＝CE，
∴△EFC≌△EBC（AAS），
∴CF＝CB；
（2）解：∵∠FCB＝30°，∠BCD＝90°，
∴∠DCF＝60°，
∵∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝30°，
∵AD＝BC＝CF＝2，
∴CD＝2CF＝4，DF＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2．
答：EF的长为4﹣2．
一十九．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
27．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．
（1）求证AB＝AC；
（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠EDA＝90°，
∵D是的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：连接DF，DG．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝10，BC＝12，
∴AC＝10，CD＝6，
由勾股定理得：AD＝＝8，
∵DF∥AC，
∴＝，
∴BF＝FA，
在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，
∴DG＝DF＝AB＝5，
∴DG＝DF＝5，
∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，
∴△AEC∽△DGC，
∴＝，即＝，
解得：AE＝，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE＝，AD＝8，
∴DE＝＝，
∴EC＝CD﹣DE＝．
二十．三角形的外接圆与外心（共1小题）
28．（2022•鼓楼区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，经过点A，C，D的圆与BC相交于点E，连接AE．
（1）求证：△ABE是等边三角形．
（2）F是上一点，且FA＝FC，连接EF．求证：EF＝BC．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠D+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣∠D＝120°，
∴∠AEB＝180°﹣∠AEC＝60°，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝60°，
∴∠B＝∠BAE＝∠AEB，
∴△ABE是等边三角形；
（2）∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，
∵∠D＝∠AFC＝60°，AF＝FC，
∴△AFC是等边三角形，
∴∠FCA＝60°，
∴∠AEF＝∠FCA＝60°，
∴∠AEF＝∠B＝60°，
∵∠AFE＝∠ACB，
∴△ABC≌△AEF（AAS），
∴BC＝EF．
二十一．切线的判定与性质（共1小题）
29．（2022•邳州市一模）如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，则AE的长为 ．
【解答】（1）证明：连接OC，OF，
∴OF＝OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠B＝90°，BC＝DC
∵将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合，
∴∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF，BC＝FC，
∴CF＝DC，
∵OC＝OC，
∴△OFC≌△ODC（SSS），
∴∠OFC＝∠ADC＝90°，
∴∠EFC+∠OFC＝180°，
∴O、F、E三点共线，
∴∠OFC＝90°，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝2，
∵AO＝1，OF＝1，
设BE＝x，则AE＝AB﹣x＝2﹣x，OE＝1+EF＝1+x，
∵AO2+AE2＝OE2，
∴12+（2﹣x）2＝（1﹣x）2，
∴x＝，
∴AE＝2﹣＝．
故答案为：．
二十二．作图—复杂作图（共3小题）
30．（2022•建邺区一模）尺规作图：如图，已知△ABC，AB＝AC，作矩形MNPQ，使得点M、N分别在边AB、AC上，点P、Q在边BC上，且MN＝2MQ（不写作法，保留作图痕迹）．
【解答】解：如图，矩形MNPQ为所作．
31．（2022•海陵区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．请用无刻度的直尺和圆规作出符合下列条件的图形，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在线段BC的延长线上，找出一点E，使∠CEA＝22.5°；
（2）在（1）的条件下，在线段BC上，找出一点D，使∠EAD＝45°．
【解答】解：（1）如图，点E为所作；
（2）如图，点D为所作．
32．（2022•无锡一模）如图，已知Rt△ABC（∠C＝90°）．
（1）请利用没有刻度的直尺和圆规作出一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）
（2）在上题中，若已知AC＝5，BC＝12，求出所作⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所作；
（2）过O点作OD⊥AB于D，如图，设⊙O的半径为r，
∴BA为⊙O的切线，
∴OC＝OD＝r，
∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13．
∵∠ACB＝∠ODA＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ABC，
∴，即，
解得．
即⊙O的半径为．
二十三．命题与定理（共1小题）
33．（2022•兴化市一模）如图，点A、B在⊙O上，BC⊥OA，垂足为C，D是OA延长线上一点，连接BD，请从信息：①BD是⊙O的切线，②AB平分∠DBC，③OB2＝OC•OD中选择一个作为补充条件，再从剩下的两个信息中选择一个作为结论组成一个真命题，并证明．
你选择 ② 作为补充条件， ① 作为结论（填序号）．
【解答】解：选择②作为补充条件，①作为结论，证明过程如下：
∵点A、B在⊙O上，
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵AB平分∠DBC，
∴∠CBA＝∠DBA，
∵BC⊥OA，
∴∠CBA+∠OAB＝90°，
∴∠DBA+∠OBA＝90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线，
故答案为：②，①．
二十四．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
34．（2022•锡山区一模）亲爱的同学，你能利用一张矩形纸片折出大小不一的菱形吗？请你动手试一试！然后按要求完成下面问题：
已知某矩形长为8，宽为6，请你用虚线在如图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图并在下方横线上直接写出菱形的面积（画图特别说明：①示意图中体现所有折痕；②菱形的顶点必须都在矩形的边上；③所画菱形是能仅用已知数据便可求出面积的图形）
【解答】解：作不同折法的菱形的示意图如下（作出两种即可）：
图1的菱形面积为24；图2的菱形面积为36；图3的菱形面积为37.5．
二十五．相似三角形的判定与性质（共2小题）
35．（2022•玄武区一模）如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，BE，AD相交于点F．
（1）求证△ABD≌△BCE；
（2）求证AE2＝EF•EB．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（2）∵∠ABC＝∠BAC，
∴∠ABE+∠CBE＝∠BAF+∠EAF，
∵△ABD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠BAF，
∴∠ABE＝∠EAF，
∵∠AEF＝∠BEA，
∴△ABE∽△FAE，
∴＝，
∴AE2＝EF•EB．
36．（2022•盐城一模）（1）如图△ABC，请在边BC、CA、AB上分别确定点D、E、F，使得四边形BDEF为菱形，请作出菱形BDEF．（要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）
（2）若△ABC中AB＝10，BC＝15，求（1）中所作菱形BDEF的边长．
【解答】解：（1）如图菱形BDEF即为所求；
（2）∵四边形BFED是菱形，
∴DE∥AB，BF＝EF＝DE＝BD，
∴△BAC∽△DEC，
∴，
∴＝，
∴DE＝6，
∴菱形BDEF的边长为6．
二十六．条形统计图（共4小题）
37．（2022•江都区一模）2022年，中国航天继续“超级模式”：全面建成空间站、宇航发射次数“50+”……某中学科技兴趣小组为了解本校学生对我国航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
（1）此次调查中接受调查的人数为 50 人；
（2）补全图1条形统计图；
（3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为 43.2 °．
（4）该校共有1000人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
【解答】解：（1）此次调查中接受调查的人数为：24÷48%＝50（人），
故答案为：50；
（2）非常关注的人数有：50﹣4﹣6﹣24＝16（人），
补全统计图如图所示：
（3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为：360°×＝43.2°，
故答案为：43.2；
（4）根据题意得：
1000×＝920（人），
答：估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有920人．
38．（2022•滨湖区一模）为落实“双减”政策，某中学积极开展校内课后服务．学校根据学生的兴趣爱好组建课后兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 100 名学生；
（2）求m的值并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“音乐”所在扇形的圆心角度数为 72° ；
（4）若该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
【解答】解：（1）学校本次调查的学生人数为10÷10%＝100（名），
故答案为：100；
（2）喜欢书法的人数为100﹣25﹣25﹣20﹣10＝20（名），
m＝×100＝20，
补全图形如下：
（3）在扇形统计图中，“音乐”所在扇形的圆心角度数为360°×20%＝72°，
故答案为：72°；
（4）估计该校喜欢足球的学生人数为1200×30%＝360（名）．
39．（2022•秦淮区一模）图①是某饮品店去年11月至今年3月的销售额的情况，图②是其最畅销饮品的销售额占月销售额的百分比的情况，已知这段时间该饮品店的销售总额是35万元．
（1）将条形统计图补充完整；
（2）该店最畅销饮品去年12月的销售额是多少万元？
（3）店长观察图②后，认为今年3月该店最畅销饮品的销售额是去年11月以来最少的，你同意他的看法吗？为什么？
【解答】解：（1）1月销售额为：35﹣10﹣8﹣4﹣8＝5（万元），将条形统计图补充完整如下：
（2）8×15%＝1.2（万元），
答：该店最畅销饮品12月的销售额是1.2万元．
（3）不同意．
3月最畅销饮品的销售额是8×10%＝0.8（万元），1月最畅销饮品的销售额是5×11%＝0.55（万元）．因为0.8＞0.55，所以店长的看法不正确．（说明：如果通过计算2月和3月最畅销饮品的销售额进行比较得出结论也可．）
40．（2022•锡山区一模）重庆一中开展了“爱生活•爱运动”的活动，以鼓励学生积极参与体育锻炼．为了解学生每周体育锻炼时间，学校在活动之前对八年级同学进行了抽样调查，并根据调查结果将学生每周的体育锻炼时间分为3小时、4小时、5小时、6小时、7小时共五种情况．小明根据调查结构制作了如图两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
【整理数据】
“爱生活•爱运动”的活动结束之后，再次抽查这部分学生的体育锻炼时间：
一周体育锻炼时间（小时）
3
4
5
6
7
人数
3
5
15
a
10
活动之后部分学生体育锻炼时间的统计表
【分析数据】
平均数
中位数
众数
活动之前锻炼时间（小时）
5
5
5
活动之后锻炼时间（小时）
5.52
b
c
请根据调查信息分析：
（1）补全条形统计图，并计算a＝ 17 ，b＝ 6 小时，c＝ 6 小时；
（2）小亮同学在活动之前与活动之后的这两次调查中，体育锻炼时间均为5小时，根据体育锻炼时间由多到少进行排名统计，请问他在被调查同学中体育锻炼时间排名靠前的是 活动之前 （填“活动之前”或“活动之后”），理由是 活动之前小亮的体育锻炼时间并列排名19名，而活动之后则并列排名28名 ；
（3）已知八年级共2200名学生，请估算全年级学生在活动结束后，每周体育锻炼时间至少有6小时的学生人数有多少人？
【解答】解：（1）调查的总人数为：14÷28%＝50（人），a＝50﹣3﹣5﹣10﹣15＝17（人），
活动结束后，再抽查，体育锻炼时间最多的是6小时，有17人，因此众数是6小时，
把体育锻炼时间从小到大排列后处在第25位、26位的两个数都是6小时，因此中位数是6，
故答案为：17、6、6；
（2）活动之前，体育锻炼为6小时的有：50﹣6﹣12﹣14﹣6＝12人，小亮5小时锻炼时间的并列排名为：12+6+1＝19名，
而活动之后，小亮5小时锻炼时间的并列排名为：17+10+1＝28名，
故答案为：活动之前，活动之前小亮的体育锻炼时间并列排名19名，而活动之后则并列排名28名
（3）2200×＝1188（人），
答：八年级2200名学生中，生在活动结束后，每周体育锻炼时间至少有6小时的学生大约有1188人．
二十七．折线统计图（共2小题）
41．（2022•海陵区一模）为进一步提高学生的英语口语听力水平，某校准备开展英语口语听力比赛．九（1）班准备从甲、乙两人中推荐1人参加比赛，现将两人在班级选拔赛中，5次的测试成绩（总分100分）绘制成如图所示的折线统计图（图中只标注了部分数据）．观察统计图，回答下列问题：
（1）甲5次测试成绩的众数为 100 分；乙5次测试成绩的中位数为 96 分；
（2）小红认为：应该选择两人中5次测试成绩方差小的去比赛．你同意他的观点吗？请结合统计图说明理由．
【解答】解：（1）甲5次测试成绩中，100出现次数最多，故甲5次测试成绩的众数为100分；
乙5次测试成绩从小到大排列为94、94、96、97、99，排在中间的数是96，故乙5次测试成绩的中位数为96分．
故答案为：100；96；
（2）不同意他的观点，虽然乙的方差较小，但甲的中位数为99.5分，甲的众数，中位数均大于乙，且甲的成绩越来越高且趋于稳定，所以选甲去比赛更合适．
42．（2022•兴化市一模）将我国近年来（1990年～2022年）在冬奥会上获得的奖牌枚数绘制成如图所示的折线统计图，观察统计图回答下列问题：
（1）近年来我国在冬奥会上获得铜牌枚数的众数是 2 ；
（2）我国获得的金牌枚数首次超过银牌与铜牌枚数之和的是 2022 年冬奥会；
（3）若将2022年冬奥会我国获得的奖牌枚数制成扇形统计图，表示金牌枚数所占比例的扇形的圆心角的度数是多少？
【解答】解：（1）由统计图可知，2出现了五次，次数最多，所以众数为2．
故答案为：2；
（2）由统计图可知，
1990年，1994年，1998年获金牌0枚，少于银牌与铜牌枚数之和；
2002年，2006年，2014年，2018年获金牌枚数少于银牌与铜牌枚数之和；
2010年获金牌5枚，获银牌2枚，获铜牌4枚，5＜2+4，获金牌枚数少于银牌与铜牌枚数之和；
2022年获金牌9枚，获银牌4枚，获铜牌2枚，9＞4+2，获金牌枚数首次超过银牌与铜牌枚数之和；
故答案为：2022；
（3）360°×＝216°．
答：若将2022年冬奥会我国获得的奖牌枚数制成扇形统计图，表示金牌枚数所占比例的扇形的圆心角的度数是216°．
二十八．众数（共1小题）
43．（2022•仪征市一模）保家卫国尽精英，战绩辉煌留盛名，近几年涌现了很多缅怀中国军人的优秀作品，其中《长津湖》和《长津湖之水门桥》正是其中的优秀代表，为了解学生对这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分，并进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：《长津湖》得分：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表．
平均数
众数
中位数
《长津湖》
8.2
9
b
《长津湖之水门桥》
7.8
c
8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表格中的b＝ 8.5 ，c＝ 8 ；
（2）根据上述数据，你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校九年级1100名学生都对这两部作品进行打分，请你估计一下这两部作品一共大约可得到多少个满分？
【解答】解：（1）将《长津湖》得分按照从小到大排好顺序处在中间位置的两位数为：＝8.5，
根据扇形图可知《长津湖之水门桥》的得分为8分的所占的比例为×100%＝35%，
∴得分为10分的所占的比例为1﹣35%﹣20%﹣20%﹣10%＝15%，
∴《长津湖之水门桥》的得分的众数为8分，
故答案为：8.5，8；
（2）该校九年级学生对《长津湖》评价更高，理由是：《长津湖》的平均数、众数、中位数均比《长津湖之水门桥》的高；
（3）这两部作品一共大约可得到满分的个数为1100×（+15%）＝385（人）
答：该校九年级1100名学生都对这两部作品进行打分，这两部作品一共大约可得到满分的个数为385人．
二十九．方差（共3小题）
44．（2022•崇川区一模）为让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校近期开展了形式多样的党史学习教育活动．在党史知识竞赛中，八、九年级各有300名学生参加，现随机抽取两个年级各20名学生的成绩进行整理分析，得到如表信息：
a．表1九年级20名学生的成绩（百分制）统计表
82
80
97
91
94
72
71
91
85
70
94
78
92
75
97
92
91
92
83
98
b．表2九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差统计表
年级
平均数
中位数
方差
九年级
86
a
86.3
c．随机抽取八年级20名学生的成绩的中位数为88，方差为83.2，且八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的平均数是84.5．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）在表2中，a的值等于 91 ；
（2）求八年级这20名学生成绩的平均数；
（3）你认为哪个年级的成绩较好？试从两个不同的角度说明推断的合理性．
【解答】解：（1）九年级抽取的20名学生成绩的中位数a＝（91+91）÷2＝91，
故答案为：91；
（2）（84.5×40﹣86×20）÷20＝83，
答：八年级这20名学生成绩的平均数为83；
（3）九年级的成绩较好，理由如下：
从平均数上看，九年级平均数为86＞八年级平均数为83；
从中位数上看，九年级成绩的中位数91＞八年级成绩的中位数88，
综上所述，九年级成绩较好．
45．（2022•建邺区一模）2021年7月24日，杨倩获得了东京奥运会的首枚金牌，这也激发了人们对射击运动的热情．李雷和林涛去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下：
李雷10次射击成绩统计表
命中环数
命中次数
5环
2
6环
1
7环
3
8环
3
9环
1
（1）完成下列表格：
平均数（单位：环）
中位数（单位：环）
方差（单位：环2）
李雷
7
7
1.6
林涛
7
8
5
（2）李雷和林涛很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由．
【解答】解：（1）李雷方差为：[2×（5﹣7）2+（6﹣7）2+3×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝1.6，
林涛中位数为：（8+8）÷2＝8，
故答案为：1.6，8；
（2）李雷的成绩更好，
理由：由表格可知，李雷和林涛的平均数一样，但是李雷的方差小，波动小，成绩比较稳定，故选择李雷的成绩更好．
46．（2022•玄武区一模）在某次射击训练中，小明10次射击的成绩如下（单位：环）．
（1）填表：
平均数
中位数
方差
8环
9 环
3.8 环2
（2）你认为小明这10次射击的平均成绩8环能反映他的实际水平吗？请说明理由．
（3）若小明增加1次射击，成绩为9环，与增加前相比，小明的射击成绩 C ．
A．平均数变小，方差变小
B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
【解答】解：（1）小明成绩的方差c＝×[（3﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2×5+（8﹣8）2×2+（10﹣8）2]＝3.8，
把小明的成绩从小到大排列为3，6，8，8，9，9，9，9，9，10，
则中位数＝9（环），
故答案为：9，3.8；
（2）不能较好的反映，
理由：该组数据中“3”与其他数据的大小差异很大，因此不能较好的反映小明的实际水平；
（3）若小明增加1次射击，成绩为9环，
平均成绩＝（8×10+9）÷11＝（环），
∴平均数变大，
由小明的成绩得方差会变小，
故答案为：C．
三十．列表法与树状图法（共2小题）
47．（2022•崇川区一模）某校有4个测温通道，分别被记为A，B，C，D，学生可随机选取其中的一个通道测温进校．某日早晨，小明和小东两名同学先后测温进校．
（1）小明选择A通道测温进校的概率是 ；
（2）求小明和小东选择不同通道测温进校的概率．
【解答】解：（1）小明选择A通道测温进校的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，其中小明和小东选择不同通道测温进校的有12种结果，
所以小明和小东选择不同通道测温进校的概率为＝．
48．（2022•鼓楼区一模）如图，转盘A中的2个半圆分别标注1和2，转盘B中的半圆标注1，其他两个扇形的面积相等，分别标注2和3．
（1）转动转盘A，当转盘停止转动时，记录指针指向的数．连续进行两次该操作，求记录的2个数相同的概率；
（2）分别转动转盘A，B各一次，当转盘停止转动时，记录两个转盘的指针各自指向的数，则记录的2个数相同的概率是 ．
【解答】解：（1）列表如下：
1
2
1
1、1
2、1
2
1、2
2、2
由表知，共有4种等可能结果，其中记录的2个数相同的有2种结果，
所以记录的2个数相同的概率为＝；
（2）列表如下：
1
1
2
3
1
（1，1）
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
由表知，共有8种等可能结果，其中记录的2个数相同的有3种结果，
所以记录的2个数相同的概率为，
故答案为：．
三十一．游戏公平性（共1小题）
49．（2022•盐城一模）北京冬奥会将在2022年2月4日至20日举行，北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是 ；
（2）小明发明了一种“邮票棋”比胜负的游戏，用小亮的三种邮票当作5颗棋子，其中冬奥会会徽邮票记作A棋，吉祥物冰墩墩邮票记作B棋，吉祥物雪容融邮票记作C棋．
游戏规则：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出1颗棋子，不放回，再摸出第2颗棋子．若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜；其余情况视为平局，游戏重新进行，请你用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．
【解答】解：（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是，
故答案为：．
（2）此游戏不公平，理由如下：
列表如下：
A
B
B
C
C
A
（B，A）
（B，A）
（C，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（C，B）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（B，C）
（C，C）
C
（A，C）
（B，C）
（B，C）
（C，C）
由表知，共有20种等可能结果，其中摸到A棋的有8种结果，摸到两颗相同的棋子的有4种结果，
所以小明获胜的概率为＝，小亮获胜的概率为＝，
∵≠，
∴此游戏不公平．
江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-07解答题（基础题）
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•常州一模）计算：﹣（π+1）0+（﹣3）2﹣（）﹣3．
2．（2022•盐城一模）计算：．
3．（2022•锡山区一模）计算：
（1）计算：﹣3tan60°+（π﹣2）0；
（2）解方程组：．
二．因式分解的应用（共2小题）
4．（2022•鼓楼区一模）已知a是一个正整数，且a除以3余1．判断a2+4a+4是否一定能被9整除，并说明理由．
5．（2022•无锡一模）学校准备在校运动会开幕式上进行大型队列展示，通过变换队形，摆出不同造型，营造活动气氛．活动策划部设想：8路纵队（每路人数相同）进场，队列在主席台前一分为二，左右分开，使两边的人数相同；接着，从一边走出48位学生到另一边，这时两边的学生刚好可以各自组成一个正方形队列．问这次队列展示至多需要多少名学生？
三．分式的加减法（共2小题）
6．（2022•鼓楼区一模）计算：﹣．
7．（2022•仪征市一模）计算：
（1）；
（2）．
四．分式的混合运算（共1小题）
8．（2022•江都区一模）计算或化简：
（1）2cos30°+|﹣3|+（π﹣9）0；
（2）÷（1﹣）．
五．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
9．（2022•徐州一模）（1）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）；
（2）解不等式组：．
六．一元二次方程的应用（共1小题）
10．（2022•邳州市一模）直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上销售一批小商品，平均每天可卖出20件，每件盈利30元通过市场调查发现，在一定范围内，小商品单价每降低1元，平均每天销售量增加2件，商家预期日利润为750元，决定降价促销，小商品的单价应降低多少元？
七．解分式方程（共3小题）
11．（2022•滨湖区一模）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
12．（2022•无锡一模）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
13．（2022•常州一模）解不等式组和方程：
（1）；
（2）．
八．分式方程的应用（共2小题）
14．（2022•仪征市一模）冰墩墩（BingDwenDwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．小聪在某网店分别用30000元购买A，B两款冰墩墩玩偶进行销售，购得A款冰墩墩玩偶数量比B款冰墩墩玩偶少500个．给出如下两个信息：
①A款冰墩墩玩偶的进货价比B款冰墩墩玩偶的进货价多；
②A、B两款冰墩墩玩偶的进货价之比为4：3；
请从以上两个信息中选择一个作为条件，求A、B两款冰墩墩玩偶的进货价？你选择的条件是（填序号），并根据你选择的条件给出求解过程．
15．（2022•锡山区一模）山地自行车越来越受年轻人的喜爱．某车行经营的A型山地自行车去年销售总额为30万元，今年每辆车售价比去年降低了200元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少10%，
（1）今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划再进一批A型车和新款B型车共60辆，要使这批车获利不少于4万元，A型车至多进多少辆？
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
A型车
B型车
进货价格（元）
1200
1400
销售价格（元）
今年的销售价格
2200
九．一元一次不等式的应用（共1小题）
16．（2022•滨湖区一模）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多1万元，且用1200万元恰好能购买300套A型一体机和200套B型一体机．
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共600套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨20%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用的，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
一十．解一元一次不等式组（共1小题）
17．（2022•鼓楼区一模）解不等式组，并在数轴上表示解集．
一十一．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
18．（2022•江都区一模）解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解．
一十二．一次函数的应用（共1小题）
19．（2022•玄武区一模）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y（单位：km）与慢车的行驶时间x（单位：min）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：
（1）慢车的速度为 km/min；
（2）求线段AB表示的y与x之间的函数表达式；
（3）请根据题意补全图象．
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
20．（2022•无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（2，1）为反比例函数图象上一点，连接AO并延长，交图象另一支于点B，若点P为第一象限内反比例函数图象上异于点A的任意一点，直线PA、PB分别交x轴于点M、N．
（1）试探究线段PM和PN的数量关系，并写出你探究的过程；
（2）若△PMN的面积为10，求点P的坐标．
一十四．二次函数的应用（共1小题）
21．（2022•秦淮区一模）在某次科技创新活动中，机器人A和B沿一直道同时同地出发进行50m赛跑．设A出发第xs时，A，B离终点的距离分别为y1m，y2m，其中y1是x的一次函数，y2＝﹣0.01x2﹣0.02x+50，它们的图象如图所示．
（1）求y1与x之间的函数表达式；
（2）在比赛过程中，求两机器人离终点距离相等时x的值．
一十五．勾股定理的逆定理（共1小题）
22．（2022•鼓楼区一模）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）．用两种方法证明∠ACB＝90°．（写出必要的推理过程）
一十六．平行四边形的性质（共2小题）
23．（2022•无锡一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝BF，连接EF交AC于点O，求证：OE＝OF．
24．（2022•徐州一模）如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当∠C＝90°时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
一十七．菱形的性质（共1小题）
25．（2022•建邺区一模）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为 ．
一十八．矩形的性质（共1小题）
26．（2022•滨湖区一模）如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，AB＝DE，CF⊥DE，垂足为F．
（1）求证：CF＝CB；
（2）若∠FCB＝30°，且AD＝2，求EF的长．
一十九．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
27．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．
（1）求证AB＝AC；
（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．
二十．三角形的外接圆与外心（共1小题）
28．（2022•鼓楼区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，经过点A，C，D的圆与BC相交于点E，连接AE．
（1）求证：△ABE是等边三角形．
（2）F是上一点，且FA＝FC，连接EF．求证：EF＝BC．
二十一．切线的判定与性质（共1小题）
29．（2022•邳州市一模）如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，则AE的长为 ．
二十二．作图—复杂作图（共3小题）
30．（2022•建邺区一模）尺规作图：如图，已知△ABC，AB＝AC，作矩形MNPQ，使得点M、N分别在边AB、AC上，点P、Q在边BC上，且MN＝2MQ（不写作法，保留作图痕迹）．
31．（2022•海陵区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．请用无刻度的直尺和圆规作出符合下列条件的图形，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在线段BC的延长线上，找出一点E，使∠CEA＝22.5°；
（2）在（1）的条件下，在线段BC上，找出一点D，使∠EAD＝45°．
32．（2022•无锡一模）如图，已知Rt△ABC（∠C＝90°）．
（1）请利用没有刻度的直尺和圆规作出一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）
（2）在上题中，若已知AC＝5，BC＝12，求出所作⊙O的半径．
二十三．命题与定理（共1小题）
33．（2022•兴化市一模）如图，点A、B在⊙O上，BC⊥OA，垂足为C，D是OA延长线上一点，连接BD，请从信息：①BD是⊙O的切线，②AB平分∠DBC，③OB2＝OC•OD中选择一个作为补充条件，再从剩下的两个信息中选择一个作为结论组成一个真命题，并证明．
你选择 作为补充条件， 作为结论（填序号）．
二十四．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
34．（2022•锡山区一模）亲爱的同学，你能利用一张矩形纸片折出大小不一的菱形吗？请你动手试一试！然后按要求完成下面问题：
已知某矩形长为8，宽为6，请你用虚线在如图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图并在下方横线上直接写出菱形的面积（画图特别说明：①示意图中体现所有折痕；②菱形的顶点必须都在矩形的边上；③所画菱形是能仅用已知数据便可求出面积的图形）
二十五．相似三角形的判定与性质（共2小题）
35．（2022•玄武区一模）如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，BE，AD相交于点F．
（1）求证△ABD≌△BCE；
（2）求证AE2＝EF•EB．
36．（2022•盐城一模）（1）如图△ABC，请在边BC、CA、AB上分别确定点D、E、F，使得四边形BDEF为菱形，请作出菱形BDEF．（要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）
（2）若△ABC中AB＝10，BC＝15，求（1）中所作菱形BDEF的边长．
二十六．条形统计图（共4小题）
37．（2022•江都区一模）2022年，中国航天继续“超级模式”：全面建成空间站、宇航发射次数“50+”……某中学科技兴趣小组为了解本校学生对我国航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
（1）此次调查中接受调查的人数为 人；
（2）补全图1条形统计图；
（3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为 °．
（4）该校共有1000人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
38．（2022•滨湖区一模）为落实“双减”政策，某中学积极开展校内课后服务．学校根据学生的兴趣爱好组建课后兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 名学生；
（2）求m的值并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“音乐”所在扇形的圆心角度数为 ；
（4）若该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
39．（2022•秦淮区一模）图①是某饮品店去年11月至今年3月的销售额的情况，图②是其最畅销饮品的销售额占月销售额的百分比的情况，已知这段时间该饮品店的销售总额是35万元．
（1）将条形统计图补充完整；
（2）该店最畅销饮品去年12月的销售额是多少万元？
（3）店长观察图②后，认为今年3月该店最畅销饮品的销售额是去年11月以来最少的，你同意他的看法吗？为什么？
40．（2022•锡山区一模）重庆一中开展了“爱生活•爱运动”的活动，以鼓励学生积极参与体育锻炼．为了解学生每周体育锻炼时间，学校在活动之前对八年级同学进行了抽样调查，并根据调查结果将学生每周的体育锻炼时间分为3小时、4小时、5小时、6小时、7小时共五种情况．小明根据调查结构制作了如图两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
【整理数据】
“爱生活•爱运动”的活动结束之后，再次抽查这部分学生的体育锻炼时间：
一周体育锻炼时间（小时）
3
4
5
6
7
人数
3
5
15
a
10
活动之后部分学生体育锻炼时间的统计表
【分析数据】
平均数
中位数
众数
活动之前锻炼时间（小时）
5
5
5
活动之后锻炼时间（小时）
5.52
b
c
请根据调查信息分析：
（1）补全条形统计图，并计算a＝ ，b＝ 小时，c＝ 小时；
（2）小亮同学在活动之前与活动之后的这两次调查中，体育锻炼时间均为5小时，根据体育锻炼时间由多到少进行排名统计，请问他在被调查同学中体育锻炼时间排名靠前的是 （填“活动之前”或“活动之后”），理由是 ；
（3）已知八年级共2200名学生，请估算全年级学生在活动结束后，每周体育锻炼时间至少有6小时的学生人数有多少人？
二十七．折线统计图（共2小题）
41．（2022•海陵区一模）为进一步提高学生的英语口语听力水平，某校准备开展英语口语听力比赛．九（1）班准备从甲、乙两人中推荐1人参加比赛，现将两人在班级选拔赛中，5次的测试成绩（总分100分）绘制成如图所示的折线统计图（图中只标注了部分数据）．观察统计图，回答下列问题：
（1）甲5次测试成绩的众数为 分；乙5次测试成绩的中位数为 分；
（2）小红认为：应该选择两人中5次测试成绩方差小的去比赛．你同意他的观点吗？请结合统计图说明理由．
42．（2022•兴化市一模）将我国近年来（1990年～2022年）在冬奥会上获得的奖牌枚数绘制成如图所示的折线统计图，观察统计图回答下列问题：
（1）近年来我国在冬奥会上获得铜牌枚数的众数是 ；
（2）我国获得的金牌枚数首次超过银牌与铜牌枚数之和的是 年冬奥会；
（3）若将2022年冬奥会我国获得的奖牌枚数制成扇形统计图，表示金牌枚数所占比例的扇形的圆心角的度数是多少？
二十八．众数（共1小题）
43．（2022•仪征市一模）保家卫国尽精英，战绩辉煌留盛名，近几年涌现了很多缅怀中国军人的优秀作品，其中《长津湖》和《长津湖之水门桥》正是其中的优秀代表，为了解学生对这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分，并进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：《长津湖》得分：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表．
平均数
众数
中位数
《长津湖》
8.2
9
b
《长津湖之水门桥》
7.8
c
8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表格中的b＝ ，c＝ ；
（2）根据上述数据，你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校九年级1100名学生都对这两部作品进行打分，请你估计一下这两部作品一共大约可得到多少个满分？
二十九．方差（共3小题）
44．（2022•崇川区一模）为让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校近期开展了形式多样的党史学习教育活动．在党史知识竞赛中，八、九年级各有300名学生参加，现随机抽取两个年级各20名学生的成绩进行整理分析，得到如表信息：
a．表1九年级20名学生的成绩（百分制）统计表
82
80
97
91
94
72
71
91
85
70
94
78
92
75
97
92
91
92
83
98
b．表2九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差统计表
年级
平均数
中位数
方差
九年级
86
a
86.3
c．随机抽取八年级20名学生的成绩的中位数为88，方差为83.2，且八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的平均数是84.5．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）在表2中，a的值等于 ；
（2）求八年级这20名学生成绩的平均数；
（3）你认为哪个年级的成绩较好？试从两个不同的角度说明推断的合理性．
45．（2022•建邺区一模）2021年7月24日，杨倩获得了东京奥运会的首枚金牌，这也激发了人们对射击运动的热情．李雷和林涛去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下：
李雷10次射击成绩统计表
命中环数
命中次数
5环
2
6环
1
7环
3
8环
3
9环
1
（1）完成下列表格：
平均数（单位：环）
中位数（单位：环）
方差（单位：环2）
李雷
7
7
林涛
7
5
（2）李雷和林涛很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由．
46．（2022•玄武区一模）在某次射击训练中，小明10次射击的成绩如下（单位：环）．
（1）填表：
平均数
中位数
方差
8环
环
环2
（2）你认为小明这10次射击的平均成绩8环能反映他的实际水平吗？请说明理由．
（3）若小明增加1次射击，成绩为9环，与增加前相比，小明的射击成绩 ．
A．平均数变小，方差变小
B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
三十．列表法与树状图法（共2小题）
47．（2022•崇川区一模）某校有4个测温通道，分别被记为A，B，C，D，学生可随机选取其中的一个通道测温进校．某日早晨，小明和小东两名同学先后测温进校．
（1）小明选择A通道测温进校的概率是 ；
（2）求小明和小东选择不同通道测温进校的概率．
48．（2022•鼓楼区一模）如图，转盘A中的2个半圆分别标注1和2，转盘B中的半圆标注1，其他两个扇形的面积相等，分别标注2和3．
（1）转动转盘A，当转盘停止转动时，记录指针指向的数．连续进行两次该操作，求记录的2个数相同的概率；
（2）分别转动转盘A，B各一次，当转盘停止转动时，记录两个转盘的指针各自指向的数，则记录的2个数相同的概率是 ．
三十一．游戏公平性（共1小题）
49．（2022•盐城一模）北京冬奥会将在2022年2月4日至20日举行，北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是 ；
（2）小明发明了一种“邮票棋”比胜负的游戏，用小亮的三种邮票当作5颗棋子，其中冬奥会会徽邮票记作A棋，吉祥物冰墩墩邮票记作B棋，吉祥物雪容融邮票记作C棋．
游戏规则：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出1颗棋子，不放回，再摸出第2颗棋子．若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜；其余情况视为平局，游戏重新进行，请你用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．
江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-07解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•常州一模）计算：﹣（π+1）0+（﹣3）2﹣（）﹣3．
【解答】解：﹣（π+1）0+（﹣3）2﹣（）﹣3
＝4﹣1+9﹣8
＝4．
2．（2022•盐城一模）计算：．
【解答】解：原式＝4+1+3﹣2×1
＝8﹣2＝6．
3．（2022•锡山区一模）计算：
（1）计算：﹣3tan60°+（π﹣2）0；
（2）解方程组：．
【解答】解：（1）原式＝3﹣3×+1
＝3﹣3+1
＝1；
（2），
①×2，得：4x+2y＝12③，
③﹣②，得：3x＝15，
解得：x＝5，
把x＝5代入①，可得：2×5+y＝6，
解得：y＝﹣4，
∴原方程组的解为．
二．因式分解的应用（共2小题）
4．（2022•鼓楼区一模）已知a是一个正整数，且a除以3余1．判断a2+4a+4是否一定能被9整除，并说明理由．
【解答】解：一定能被9整除．理由如下：
设a除以3余1的商为b，则a＝3b+1，
a2+4a+4
＝（a+2）2
＝（3b+3）2
＝[3（b+1）]2
＝9（b+1）2，
∴a2+4a+4一定能被9整除．
5．（2022•无锡一模）学校准备在校运动会开幕式上进行大型队列展示，通过变换队形，摆出不同造型，营造活动气氛．活动策划部设想：8路纵队（每路人数相同）进场，队列在主席台前一分为二，左右分开，使两边的人数相同；接着，从一边走出48位学生到另一边，这时两边的学生刚好可以各自组成一个正方形队列．问这次队列展示至多需要多少名学生？
【解答】解：设各自组成正方形队列的边长分别为x人和y人（x、y为正整数，且x＞y），
∴x2﹣y2＝96，（x+y）（x﹣y）＝96，
∴x+y和x﹣y的值可能为96和1，48和2，32和3，24和4，16和6，12和8，
∵x+y和x﹣y的奇偶性相同，
∴x+y和x﹣y的值为24和4，48和2，16和6，12和8，
①，
解得，
∴x2+y2＝296；
②，
解得，
∴x2+y2＝1154；
③，
解得，
∴x2+y2＝146；
④，
解得，
∴x2+y2＝104；
∵1154和146不能被8整除，舍去，且296＞104，
答：这次队列展示至多需要296名学生．
三．分式的加减法（共2小题）
6．（2022•鼓楼区一模）计算：﹣．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝．
7．（2022•仪征市一模）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝1+﹣2
＝1；
（2）
＝
＝
＝
＝2．
四．分式的混合运算（共1小题）
8．（2022•江都区一模）计算或化简：
（1）2cos30°+|﹣3|+（π﹣9）0；
（2）÷（1﹣）．
【解答】解：（1）2cos30°+|﹣3|+（π﹣9）0
＝2×+3﹣+1
＝+3﹣+1
＝4；
（2）÷（1﹣）
＝÷
＝•
＝．
五．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
9．（2022•徐州一模）（1）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）x（x﹣7）＝8（7﹣x），
x（x﹣7）+8（x﹣7）＝0，
（x﹣7）（x+8）＝0，
x﹣7＝0或x+8＝0，
所以x1＝7，x2＝﹣8；
（2），
解①得x＞2，
解②得x＜4，
所以不等式组的解集为2＜x＜4．
六．一元二次方程的应用（共1小题）
10．（2022•邳州市一模）直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上销售一批小商品，平均每天可卖出20件，每件盈利30元通过市场调查发现，在一定范围内，小商品单价每降低1元，平均每天销售量增加2件，商家预期日利润为750元，决定降价促销，小商品的单价应降低多少元？
【解答】解：设每件小商品降价x元，由题意得，
（30﹣x）（20+2x）＝750，
整理得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝15．
又∵降价促销，
∴小商品的单价应降低15元．
答：小商品的单价应降低15元．
七．解分式方程（共3小题）
11．（2022•滨湖区一模）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1），
x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，
∴x＝1是原方程的根；
（2），
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＜3，
∴原不等式组的解集为：x≤2．
12．（2022•无锡一模）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝1；
（2）不等式组整理得：，
解得：x＜﹣4．
13．（2022•常州一模）解不等式组和方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤5，
∴原不等式组的解集为：1＜x≤5；
（2），
x﹣1+1＝3（x﹣2），
解的：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣2≠0，
∴x＝3是原方程的根．
八．分式方程的应用（共2小题）
14．（2022•仪征市一模）冰墩墩（BingDwenDwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．小聪在某网店分别用30000元购买A，B两款冰墩墩玩偶进行销售，购得A款冰墩墩玩偶数量比B款冰墩墩玩偶少500个．给出如下两个信息：
①A款冰墩墩玩偶的进货价比B款冰墩墩玩偶的进货价多；
②A、B两款冰墩墩玩偶的进货价之比为4：3；
请从以上两个信息中选择一个作为条件，求A、B两款冰墩墩玩偶的进货价？你选择的条件是（填序号），并根据你选择的条件给出求解过程．
【解答】解：若选①，设B款冰墩墩玩偶的进货价是x元，则A款冰墩墩玩偶的进货价为（1+）x元，
根据题意得：＝+500，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，也符合题意，
∴x＝15，
∴（1+）x＝20，
答：B款冰墩墩玩偶的进货价是15元，则A款冰墩墩玩偶的进货价为20元；
②若选②，设A款冰墩墩玩偶的进货价是4m元，则B款冰墩墩玩偶的进货价为3m元，
根据题意得：+500＝，
解得m＝5，
经检验，m＝5是原方程的解，也符合题意，
∴m＝5，
∴4m＝20，3m＝15，
答：B款冰墩墩玩偶的进货价是15元，则A款冰墩墩玩偶的进货价为20元．
15．（2022•锡山区一模）山地自行车越来越受年轻人的喜爱．某车行经营的A型山地自行车去年销售总额为30万元，今年每辆车售价比去年降低了200元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少10%，
（1）今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划再进一批A型车和新款B型车共60辆，要使这批车获利不少于4万元，A型车至多进多少辆？
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
A型车
B型车
进货价格（元）
1200
1400
销售价格（元）
今年的销售价格
2200
【解答】解：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+200）元，由题意，得：
＝，
解得：x＝1800．
经检验，x＝1800是原方程的根．
答：今年A型车每辆售价1800元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，由题意，得
（1800﹣1200）a+（2200﹣1400）（60﹣a）≥40000，
解得：a≤40，
故要使这批车获利不少于4万元，A型车至多进40辆．
九．一元一次不等式的应用（共1小题）
16．（2022•滨湖区一模）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多1万元，且用1200万元恰好能购买300套A型一体机和200套B型一体机．
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共600套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨20%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用的，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
【解答】解：（1）设今年每套A型一体机的价格是x万元，则今年每套B型一体机的价格是（x+1）万元，
根据题意得：300x+200（x+1）＝1200，
解得x＝2，
∴x+1＝2+1＝3，
答：今年每套A型一体机的价格是2万元，则今年每套B型一体机的价格是3万元；
（2）设明年采购A型一体机m台，则采购B型一体机（600﹣m）台，
根据题意得：3（600﹣m）≥2×（1+20%）m×，
解得m≤375，
设采购总费用为w万元，则w＝2×（1+20%）m+3（600﹣m）＝﹣0.6m+1800，
∵﹣0.6＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝375时，w取最小值，最小值是﹣0.6×375+1800＝1575（万元），
答：该市明年至少需要投入1575万元才能完成采购计划．
一十．解一元一次不等式组（共1小题）
17．（2022•鼓楼区一模）解不等式组，并在数轴上表示解集．
【解答】解：由2（x﹣1）≥x﹣3，得：x≥﹣1，
由＞x，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
一十一．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
18．（2022•江都区一模）解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解．
【解答】解：，
由①得x≤1，
由②得x＞﹣4，
不等式组的解集为﹣4＜x≤1，
则它的非负整数解为0，1．
一十二．一次函数的应用（共1小题）
19．（2022•玄武区一模）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y（单位：km）与慢车的行驶时间x（单位：min）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：
（1）慢车的速度为 km/min；
（2）求线段AB表示的y与x之间的函数表达式；
（3）请根据题意补全图象．
【解答】解：（1）由图象得：慢车20min行驶10km，
∴慢车的速度为：10÷20＝（km/min），
故答案为：；
（2）设线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（20，10）（30，5）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+20（20≤x≤30）；
（3）快车的速度为：＝1（km/min），
快车追上慢车时x＝30+5÷1＝35（min），
快车到达乙地用时40÷1＝40（min），此时，x＝40+20＝60（min），
慢车到达乙地用时40÷+5＝85（min），
补全图象如图：
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
20．（2022•无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（2，1）为反比例函数图象上一点，连接AO并延长，交图象另一支于点B，若点P为第一象限内反比例函数图象上异于点A的任意一点，直线PA、PB分别交x轴于点M、N．
（1）试探究线段PM和PN的数量关系，并写出你探究的过程；
（2）若△PMN的面积为10，求点P的坐标．
【解答】解：（1）PM＝PN，
作PE⊥x轴，垂足为E，BC⊥y轴，两垂线交于点C，作AD⊥PE，垂足为D．
由题意得B（﹣2，﹣1），
∵点A（2，1）为反比例函数图象上一点，
∴k＝2×1＝2，
∴反比例函数为y＝，
设P（a，），当0＜a＜2时，如图1，
在Rt△PCB中，tan∠BPC＝＝＝a，
在Rt△PAD中，tan∠APD＝＝＝a，
∴∠BPC＝∠APD，
∴∠PNM＝∠PMN，
∴PN＝PM．
当a＞2时，如图2，
在Rt△PCB中，tan∠BPC＝＝＝a，
在Rt△PAD中，tan∠APD＝＝＝a，
∴∠BPC＝∠APD，
∴∠PNM＝∠PMN，
∴PN＝PM．
综上，PN＝PM．
（2）在Rt△PNE中，tan∠NPE＝a，
∴＝a，
∴NE＝2，
∴MN＝4，
∵△PMN的面积为10，
∴MN•PE＝10，
∴PE＝5．
∴P（，5）．
一十四．二次函数的应用（共1小题）
21．（2022•秦淮区一模）在某次科技创新活动中，机器人A和B沿一直道同时同地出发进行50m赛跑．设A出发第xs时，A，B离终点的距离分别为y1m，y2m，其中y1是x的一次函数，y2＝﹣0.01x2﹣0.02x+50，它们的图象如图所示．
（1）求y1与x之间的函数表达式；
（2）在比赛过程中，求两机器人离终点距离相等时x的值．
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx+b，
将（0，50），（80，8.4）代入y1＝kx+b，
可得，
解得
所以y1＝﹣0.52x+50；
（2）根据题意，得﹣0.52x+50＝﹣0.01x2﹣0.02x+50，
解得x1＝50，x2＝0（舍去）．
在比赛过程中，两机器人离终点距离相等时x的值是50．
一十五．勾股定理的逆定理（共1小题）
22．（2022•鼓楼区一模）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）．用两种方法证明∠ACB＝90°．（写出必要的推理过程）
【解答】证明一：∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴AC2＝22+42＝20，BC2＝82+42＝80，AB2＝102＝100，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°；
证明二：∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OC＝4，OB＝8，
∴＝＝，＝＝．
在△AOC与△COB中，
，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OAC＝∠OCB，
∵∠OAC+∠OCA＝90°，
∴∠OCB+∠OCA＝90°，
即∠ACB＝90°．
一十六．平行四边形的性质（共2小题）
23．（2022•无锡一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝BF，连接EF交AC于点O，求证：OE＝OF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵DE＝BF，
AE＝CF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF．
24．（2022•徐州一模）如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当∠C＝90°时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵点E为CD的中点，
∴CE＝DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE＝∠FDE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（SAS）；
（2）解：当∠C＝90°时，四边形AEFG是菱形，
理由：由（1）△BCE≌△FDE，
∴BC＝FD，∠C＝∠FDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
∴FD＝AD，
又∵DG＝DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴∠FDE＝90°，
∴GE⊥FA，
∴四边形AEFG是菱形．
一十七．菱形的性质（共1小题）
25．（2022•建邺区一模）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为 3 ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵E、F分别是BC、DC的中点．
∴BE＝BC，DF＝CD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE；
（2）解：连接AC交EF于H，连接BD交AC于点O，
∵菱形ABCD的面积为8，
∴S△ABC＝S△ADC＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∵E、F分别是BC、DC的中点．
∴S△ACE＝S△ACF＝2，EF∥BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴＝＝，
∴CO＝2CH，
∴AC＝4CH，
∴S△AEH＝S△AEC＝，S△AFH＝S△AFC＝，
∴S△AEF＝3，
故答案为：3．
一十八．矩形的性质（共1小题）
26．（2022•滨湖区一模）如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，AB＝DE，CF⊥DE，垂足为F．
（1）求证：CF＝CB；
（2）若∠FCB＝30°，且AD＝2，求EF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠DCE＝∠BEC，
∵AB＝DE，
∴CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴∠DEC＝∠BEC，
∵∠B＝∠EFC＝90°，CE＝CE，
∴△EFC≌△EBC（AAS），
∴CF＝CB；
（2）解：∵∠FCB＝30°，∠BCD＝90°，
∴∠DCF＝60°，
∵∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝30°，
∵AD＝BC＝CF＝2，
∴CD＝2CF＝4，DF＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2．
答：EF的长为4﹣2．
一十九．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
27．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．
（1）求证AB＝AC；
（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠EDA＝90°，
∵D是的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：连接DF，DG．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝10，BC＝12，
∴AC＝10，CD＝6，
由勾股定理得：AD＝＝8，
∵DF∥AC，
∴＝，
∴BF＝FA，
在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，
∴DG＝DF＝AB＝5，
∴DG＝DF＝5，
∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，
∴△AEC∽△DGC，
∴＝，即＝，
解得：AE＝，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE＝，AD＝8，
∴DE＝＝，
∴EC＝CD﹣DE＝．
二十．三角形的外接圆与外心（共1小题）
28．（2022•鼓楼区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，经过点A，C，D的圆与BC相交于点E，连接AE．
（1）求证：△ABE是等边三角形．
（2）F是上一点，且FA＝FC，连接EF．求证：EF＝BC．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠D+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣∠D＝120°，
∴∠AEB＝180°﹣∠AEC＝60°，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝60°，
∴∠B＝∠BAE＝∠AEB，
∴△ABE是等边三角形；
（2）∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，
∵∠D＝∠AFC＝60°，AF＝FC，
∴△AFC是等边三角形，
∴∠FCA＝60°，
∴∠AEF＝∠FCA＝60°，
∴∠AEF＝∠B＝60°，
∵∠AFE＝∠ACB，
∴△ABC≌△AEF（AAS），
∴BC＝EF．
二十一．切线的判定与性质（共1小题）
29．（2022•邳州市一模）如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，则AE的长为 ．
【解答】（1）证明：连接OC，OF，
∴OF＝OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠B＝90°，BC＝DC
∵将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合，
∴∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF，BC＝FC，
∴CF＝DC，
∵OC＝OC，
∴△OFC≌△ODC（SSS），
∴∠OFC＝∠ADC＝90°，
∴∠EFC+∠OFC＝180°，
∴O、F、E三点共线，
∴∠OFC＝90°，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝2，
∵AO＝1，OF＝1，
设BE＝x，则AE＝AB﹣x＝2﹣x，OE＝1+EF＝1+x，
∵AO2+AE2＝OE2，
∴12+（2﹣x）2＝（1﹣x）2，
∴x＝，
∴AE＝2﹣＝．
故答案为：．
二十二．作图—复杂作图（共3小题）
30．（2022•建邺区一模）尺规作图：如图，已知△ABC，AB＝AC，作矩形MNPQ，使得点M、N分别在边AB、AC上，点P、Q在边BC上，且MN＝2MQ（不写作法，保留作图痕迹）．
【解答】解：如图，矩形MNPQ为所作．
31．（2022•海陵区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．请用无刻度的直尺和圆规作出符合下列条件的图形，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在线段BC的延长线上，找出一点E，使∠CEA＝22.5°；
（2）在（1）的条件下，在线段BC上，找出一点D，使∠EAD＝45°．
【解答】解：（1）如图，点E为所作；
（2）如图，点D为所作．
32．（2022•无锡一模）如图，已知Rt△ABC（∠C＝90°）．
（1）请利用没有刻度的直尺和圆规作出一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）
（2）在上题中，若已知AC＝5，BC＝12，求出所作⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所作；
（2）过O点作OD⊥AB于D，如图，设⊙O的半径为r，
∴BA为⊙O的切线，
∴OC＝OD＝r，
∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13．
∵∠ACB＝∠ODA＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ABC，
∴，即，
解得．
即⊙O的半径为．
二十三．命题与定理（共1小题）
33．（2022•兴化市一模）如图，点A、B在⊙O上，BC⊥OA，垂足为C，D是OA延长线上一点，连接BD，请从信息：①BD是⊙O的切线，②AB平分∠DBC，③OB2＝OC•OD中选择一个作为补充条件，再从剩下的两个信息中选择一个作为结论组成一个真命题，并证明．
你选择 ② 作为补充条件， ① 作为结论（填序号）．
【解答】解：选择②作为补充条件，①作为结论，证明过程如下：
∵点A、B在⊙O上，
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵AB平分∠DBC，
∴∠CBA＝∠DBA，
∵BC⊥OA，
∴∠CBA+∠OAB＝90°，
∴∠DBA+∠OBA＝90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线，
故答案为：②，①．
二十四．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
34．（2022•锡山区一模）亲爱的同学，你能利用一张矩形纸片折出大小不一的菱形吗？请你动手试一试！然后按要求完成下面问题：
已知某矩形长为8，宽为6，请你用虚线在如图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图并在下方横线上直接写出菱形的面积（画图特别说明：①示意图中体现所有折痕；②菱形的顶点必须都在矩形的边上；③所画菱形是能仅用已知数据便可求出面积的图形）
【解答】解：作不同折法的菱形的示意图如下（作出两种即可）：
图1的菱形面积为24；图2的菱形面积为36；图3的菱形面积为37.5．
二十五．相似三角形的判定与性质（共2小题）
35．（2022•玄武区一模）如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，BE，AD相交于点F．
（1）求证△ABD≌△BCE；
（2）求证AE2＝EF•EB．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（2）∵∠ABC＝∠BAC，
∴∠ABE+∠CBE＝∠BAF+∠EAF，
∵△ABD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠BAF，
∴∠ABE＝∠EAF，
∵∠AEF＝∠BEA，
∴△ABE∽△FAE，
∴＝，
∴AE2＝EF•EB．
36．（2022•盐城一模）（1）如图△ABC，请在边BC、CA、AB上分别确定点D、E、F，使得四边形BDEF为菱形，请作出菱形BDEF．（要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）
（2）若△ABC中AB＝10，BC＝15，求（1）中所作菱形BDEF的边长．
【解答】解：（1）如图菱形BDEF即为所求；
（2）∵四边形BFED是菱形，
∴DE∥AB，BF＝EF＝DE＝BD，
∴△BAC∽△DEC，
∴，
∴＝，
∴DE＝6，
∴菱形BDEF的边长为6．
二十六．条形统计图（共4小题）
37．（2022•江都区一模）2022年，中国航天继续“超级模式”：全面建成空间站、宇航发射次数“50+”……某中学科技兴趣小组为了解本校学生对我国航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
（1）此次调查中接受调查的人数为 50 人；
（2）补全图1条形统计图；
（3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为 43.2 °．
（4）该校共有1000人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
【解答】解：（1）此次调查中接受调查的人数为：24÷48%＝50（人），
故答案为：50；
（2）非常关注的人数有：50﹣4﹣6﹣24＝16（人），
补全统计图如图所示：
（3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为：360°×＝43.2°，
故答案为：43.2；
（4）根据题意得：
1000×＝920（人），
答：估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有920人．
38．（2022•滨湖区一模）为落实“双减”政策，某中学积极开展校内课后服务．学校根据学生的兴趣爱好组建课后兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 100 名学生；
（2）求m的值并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“音乐”所在扇形的圆心角度数为 72° ；
（4）若该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
【解答】解：（1）学校本次调查的学生人数为10÷10%＝100（名），
故答案为：100；
（2）喜欢书法的人数为100﹣25﹣25﹣20﹣10＝20（名），
m＝×100＝20，
补全图形如下：
（3）在扇形统计图中，“音乐”所在扇形的圆心角度数为360°×20%＝72°，
故答案为：72°；
（4）估计该校喜欢足球的学生人数为1200×30%＝360（名）．
39．（2022•秦淮区一模）图①是某饮品店去年11月至今年3月的销售额的情况，图②是其最畅销饮品的销售额占月销售额的百分比的情况，已知这段时间该饮品店的销售总额是35万元．
（1）将条形统计图补充完整；
（2）该店最畅销饮品去年12月的销售额是多少万元？
（3）店长观察图②后，认为今年3月该店最畅销饮品的销售额是去年11月以来最少的，你同意他的看法吗？为什么？
【解答】解：（1）1月销售额为：35﹣10﹣8﹣4﹣8＝5（万元），将条形统计图补充完整如下：
（2）8×15%＝1.2（万元），
答：该店最畅销饮品12月的销售额是1.2万元．
（3）不同意．
3月最畅销饮品的销售额是8×10%＝0.8（万元），1月最畅销饮品的销售额是5×11%＝0.55（万元）．因为0.8＞0.55，所以店长的看法不正确．（说明：如果通过计算2月和3月最畅销饮品的销售额进行比较得出结论也可．）
40．（2022•锡山区一模）重庆一中开展了“爱生活•爱运动”的活动，以鼓励学生积极参与体育锻炼．为了解学生每周体育锻炼时间，学校在活动之前对八年级同学进行了抽样调查，并根据调查结果将学生每周的体育锻炼时间分为3小时、4小时、5小时、6小时、7小时共五种情况．小明根据调查结构制作了如图两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
【整理数据】
“爱生活•爱运动”的活动结束之后，再次抽查这部分学生的体育锻炼时间：
一周体育锻炼时间（小时）
3
4
5
6
7
人数
3
5
15
a
10
活动之后部分学生体育锻炼时间的统计表
【分析数据】
平均数
中位数
众数
活动之前锻炼时间（小时）
5
5
5
活动之后锻炼时间（小时）
5.52
b
c
请根据调查信息分析：
（1）补全条形统计图，并计算a＝ 17 ，b＝ 6 小时，c＝ 6 小时；
（2）小亮同学在活动之前与活动之后的这两次调查中，体育锻炼时间均为5小时，根据体育锻炼时间由多到少进行排名统计，请问他在被调查同学中体育锻炼时间排名靠前的是 活动之前 （填“活动之前”或“活动之后”），理由是 活动之前小亮的体育锻炼时间并列排名19名，而活动之后则并列排名28名 ；
（3）已知八年级共2200名学生，请估算全年级学生在活动结束后，每周体育锻炼时间至少有6小时的学生人数有多少人？
【解答】解：（1）调查的总人数为：14÷28%＝50（人），a＝50﹣3﹣5﹣10﹣15＝17（人），
活动结束后，再抽查，体育锻炼时间最多的是6小时，有17人，因此众数是6小时，
把体育锻炼时间从小到大排列后处在第25位、26位的两个数都是6小时，因此中位数是6，
故答案为：17、6、6；
（2）活动之前，体育锻炼为6小时的有：50﹣6﹣12﹣14﹣6＝12人，小亮5小时锻炼时间的并列排名为：12+6+1＝19名，
而活动之后，小亮5小时锻炼时间的并列排名为：17+10+1＝28名，
故答案为：活动之前，活动之前小亮的体育锻炼时间并列排名19名，而活动之后则并列排名28名
（3）2200×＝1188（人），
答：八年级2200名学生中，生在活动结束后，每周体育锻炼时间至少有6小时的学生大约有1188人．
二十七．折线统计图（共2小题）
41．（2022•海陵区一模）为进一步提高学生的英语口语听力水平，某校准备开展英语口语听力比赛．九（1）班准备从甲、乙两人中推荐1人参加比赛，现将两人在班级选拔赛中，5次的测试成绩（总分100分）绘制成如图所示的折线统计图（图中只标注了部分数据）．观察统计图，回答下列问题：
（1）甲5次测试成绩的众数为 100 分；乙5次测试成绩的中位数为 96 分；
（2）小红认为：应该选择两人中5次测试成绩方差小的去比赛．你同意他的观点吗？请结合统计图说明理由．
【解答】解：（1）甲5次测试成绩中，100出现次数最多，故甲5次测试成绩的众数为100分；
乙5次测试成绩从小到大排列为94、94、96、97、99，排在中间的数是96，故乙5次测试成绩的中位数为96分．
故答案为：100；96；
（2）不同意他的观点，虽然乙的方差较小，但甲的中位数为99.5分，甲的众数，中位数均大于乙，且甲的成绩越来越高且趋于稳定，所以选甲去比赛更合适．
42．（2022•兴化市一模）将我国近年来（1990年～2022年）在冬奥会上获得的奖牌枚数绘制成如图所示的折线统计图，观察统计图回答下列问题：
（1）近年来我国在冬奥会上获得铜牌枚数的众数是 2 ；
（2）我国获得的金牌枚数首次超过银牌与铜牌枚数之和的是 2022 年冬奥会；
（3）若将2022年冬奥会我国获得的奖牌枚数制成扇形统计图，表示金牌枚数所占比例的扇形的圆心角的度数是多少？
【解答】解：（1）由统计图可知，2出现了五次，次数最多，所以众数为2．
故答案为：2；
（2）由统计图可知，
1990年，1994年，1998年获金牌0枚，少于银牌与铜牌枚数之和；
2002年，2006年，2014年，2018年获金牌枚数少于银牌与铜牌枚数之和；
2010年获金牌5枚，获银牌2枚，获铜牌4枚，5＜2+4，获金牌枚数少于银牌与铜牌枚数之和；
2022年获金牌9枚，获银牌4枚，获铜牌2枚，9＞4+2，获金牌枚数首次超过银牌与铜牌枚数之和；
故答案为：2022；
（3）360°×＝216°．
答：若将2022年冬奥会我国获得的奖牌枚数制成扇形统计图，表示金牌枚数所占比例的扇形的圆心角的度数是216°．
二十八．众数（共1小题）
43．（2022•仪征市一模）保家卫国尽精英，战绩辉煌留盛名，近几年涌现了很多缅怀中国军人的优秀作品，其中《长津湖》和《长津湖之水门桥》正是其中的优秀代表，为了解学生对这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分，并进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：《长津湖》得分：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表．
平均数
众数
中位数
《长津湖》
8.2
9
b
《长津湖之水门桥》
7.8
c
8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表格中的b＝ 8.5 ，c＝ 8 ；
（2）根据上述数据，你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校九年级1100名学生都对这两部作品进行打分，请你估计一下这两部作品一共大约可得到多少个满分？
【解答】解：（1）将《长津湖》得分按照从小到大排好顺序处在中间位置的两位数为：＝8.5，
根据扇形图可知《长津湖之水门桥》的得分为8分的所占的比例为×100%＝35%，
∴得分为10分的所占的比例为1﹣35%﹣20%﹣20%﹣10%＝15%，
∴《长津湖之水门桥》的得分的众数为8分，
故答案为：8.5，8；
（2）该校九年级学生对《长津湖》评价更高，理由是：《长津湖》的平均数、众数、中位数均比《长津湖之水门桥》的高；
（3）这两部作品一共大约可得到满分的个数为1100×（+15%）＝385（人）
答：该校九年级1100名学生都对这两部作品进行打分，这两部作品一共大约可得到满分的个数为385人．
二十九．方差（共3小题）
44．（2022•崇川区一模）为让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校近期开展了形式多样的党史学习教育活动．在党史知识竞赛中，八、九年级各有300名学生参加，现随机抽取两个年级各20名学生的成绩进行整理分析，得到如表信息：
a．表1九年级20名学生的成绩（百分制）统计表
82
80
97
91
94
72
71
91
85
70
94
78
92
75
97
92
91
92
83
98
b．表2九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差统计表
年级
平均数
中位数
方差
九年级
86
a
86.3
c．随机抽取八年级20名学生的成绩的中位数为88，方差为83.2，且八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的平均数是84.5．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）在表2中，a的值等于 91 ；
（2）求八年级这20名学生成绩的平均数；
（3）你认为哪个年级的成绩较好？试从两个不同的角度说明推断的合理性．
【解答】解：（1）九年级抽取的20名学生成绩的中位数a＝（91+91）÷2＝91，
故答案为：91；
（2）（84.5×40﹣86×20）÷20＝83，
答：八年级这20名学生成绩的平均数为83；
（3）九年级的成绩较好，理由如下：
从平均数上看，九年级平均数为86＞八年级平均数为83；
从中位数上看，九年级成绩的中位数91＞八年级成绩的中位数88，
综上所述，九年级成绩较好．
45．（2022•建邺区一模）2021年7月24日，杨倩获得了东京奥运会的首枚金牌，这也激发了人们对射击运动的热情．李雷和林涛去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下：
李雷10次射击成绩统计表
命中环数
命中次数
5环
2
6环
1
7环
3
8环
3
9环
1
（1）完成下列表格：
平均数（单位：环）
中位数（单位：环）
方差（单位：环2）
李雷
7
7
1.6
林涛
7
8
5
（2）李雷和林涛很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由．
【解答】解：（1）李雷方差为：[2×（5﹣7）2+（6﹣7）2+3×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝1.6，
林涛中位数为：（8+8）÷2＝8，
故答案为：1.6，8；
（2）李雷的成绩更好，
理由：由表格可知，李雷和林涛的平均数一样，但是李雷的方差小，波动小，成绩比较稳定，故选择李雷的成绩更好．
46．（2022•玄武区一模）在某次射击训练中，小明10次射击的成绩如下（单位：环）．
（1）填表：
平均数
中位数
方差
8环
9 环
3.8 环2
（2）你认为小明这10次射击的平均成绩8环能反映他的实际水平吗？请说明理由．
（3）若小明增加1次射击，成绩为9环，与增加前相比，小明的射击成绩 C ．
A．平均数变小，方差变小
B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
【解答】解：（1）小明成绩的方差c＝×[（3﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2×5+（8﹣8）2×2+（10﹣8）2]＝3.8，
把小明的成绩从小到大排列为3，6，8，8，9，9，9，9，9，10，
则中位数＝9（环），
故答案为：9，3.8；
（2）不能较好的反映，
理由：该组数据中“3”与其他数据的大小差异很大，因此不能较好的反映小明的实际水平；
（3）若小明增加1次射击，成绩为9环，
平均成绩＝（8×10+9）÷11＝（环），
∴平均数变大，
由小明的成绩得方差会变小，
故答案为：C．
三十．列表法与树状图法（共2小题）
47．（2022•崇川区一模）某校有4个测温通道，分别被记为A，B，C，D，学生可随机选取其中的一个通道测温进校．某日早晨，小明和小东两名同学先后测温进校．
（1）小明选择A通道测温进校的概率是 ；
（2）求小明和小东选择不同通道测温进校的概率．
【解答】解：（1）小明选择A通道测温进校的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，其中小明和小东选择不同通道测温进校的有12种结果，
所以小明和小东选择不同通道测温进校的概率为＝．
48．（2022•鼓楼区一模）如图，转盘A中的2个半圆分别标注1和2，转盘B中的半圆标注1，其他两个扇形的面积相等，分别标注2和3．
（1）转动转盘A，当转盘停止转动时，记录指针指向的数．连续进行两次该操作，求记录的2个数相同的概率；
（2）分别转动转盘A，B各一次，当转盘停止转动时，记录两个转盘的指针各自指向的数，则记录的2个数相同的概率是 ．
【解答】解：（1）列表如下：
1
2
1
1、1
2、1
2
1、2
2、2
由表知，共有4种等可能结果，其中记录的2个数相同的有2种结果，
所以记录的2个数相同的概率为＝；
（2）列表如下：
1
1
2
3
1
（1，1）
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
由表知，共有8种等可能结果，其中记录的2个数相同的有3种结果，
所以记录的2个数相同的概率为，
故答案为：．
三十一．游戏公平性（共1小题）
49．（2022•盐城一模）北京冬奥会将在2022年2月4日至20日举行，北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是 ；
（2）小明发明了一种“邮票棋”比胜负的游戏，用小亮的三种邮票当作5颗棋子，其中冬奥会会徽邮票记作A棋，吉祥物冰墩墩邮票记作B棋，吉祥物雪容融邮票记作C棋．
游戏规则：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出1颗棋子，不放回，再摸出第2颗棋子．若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜；其余情况视为平局，游戏重新进行，请你用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．
【解答】解：（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是，
故答案为：．
（2）此游戏不公平，理由如下：
列表如下：
A
B
B
C
C
A
（B，A）
（B，A）
（C，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（C，B）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（B，C）
（C，C）
C
（A，C）
（B，C）
（B，C）
（C，C）
由表知，共有20种等可能结果，其中摸到A棋的有8种结果，摸到两颗相同的棋子的有4种结果，
所以小明获胜的概率为＝，小亮获胜的概率为＝，
∵≠，
∴此游戏不公平．
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