湖北省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-06解答题（基础题）

这是一份湖北省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-06解答题（基础题），共29页。试卷主要包含了，其中x＝2，y＝﹣1，先化简，再求值，求代数式+的值，其中x＝2+y，2022，解分式方程等内容，欢迎下载使用。

湖北省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-06解答题（基础题）
一．整式的加减—化简求值（共1小题）
1．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2022•十堰）计算：÷（a+）．
三．分式的化简求值（共3小题）
3．（2022•荆州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝（）﹣1，b＝（﹣2022）0．
4．（2022•鄂州）先化简，再求值：﹣，其中a＝3．
5．（2022•宜昌）求代数式+的值，其中x＝2+y．
四．负整数指数幂（共1小题）
6．（2022•十堰）计算：（）﹣1+|2﹣|﹣（﹣1）2022．
五．解二元一次方程组（共1小题）
7．（2022•荆州）已知方程组的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．
六．根与系数的关系（共1小题）
8．（2022•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
七．一元二次方程的应用（共1小题）
9．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
八．解分式方程（共1小题）
10．（2022•随州）解分式方程：＝．
九．解一元一次不等式（共1小题）
11．（2022•宜昌）解不等式≥+1，并在数轴上表示解集．


一十．一元一次不等式的应用（共1小题）
12．（2022•湖北）某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
一十一．解一元一次不等式组（共2小题）
13．（2022•湖北）（1）化简：（﹣）÷；
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．


14．（2022•武汉）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 　 　；
（2）解不等式②，得 　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是 　 　．
一十二．一次函数的应用（共1小题）
15．（2022•恩施州）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．
（1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
（2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
16．（2022•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB＝90°，A（0，2），C（6，2）．D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC．反比例函数y1＝（k≠0）的图象经过点D．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若AB所在直线解析式为y2＝ax+b（a≠0），当y1＞y2时，求x的取值范围．

一十四．二次函数的应用（共1小题）
17．（2022•荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24﹣x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．
①求该产品第一年的售价；
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
一十五．平行线的判定与性质（共1小题）
18．（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．

一十六．正方形的性质（共1小题）
19．（2022•随州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
（1）求证：AE＝CF；
（2）已知平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长．

一十七．垂径定理（共1小题）
20．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代入民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．

一十八．切线的判定与性质（共1小题）
21．（2022•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的长．

一十九．扇形面积的计算（共1小题）
22．（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．

二十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
23．（2022•湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若DG＝BC＝16，求AB的长．

二十一．解直角三角形的应用（共1小题）
24．（2022•宜昌）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25）
如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上．
（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；
（2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算∠ABO等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？

二十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
25．（2022•湖北）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆EF的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：≈1.732）

二十三．条形统计图（共2小题）
26．（2022•武汉）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）本次调查的样本容量是 　 　，B项活动所在扇形的圆心角的大小是 　 　，条形统计图中C项活动的人数是 　 　；
（2）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．

27．（2022•湖北）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 　 　，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 　 　度，本次调查数据的中位数落在 　 　组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．


二十四．列表法与树状图法（共1小题）
28．（2022•随州）为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生共有 　 　人；
（2）条形统计图中m的值为 　 　，扇形统计图中α的度数为 　 　；
（3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有 　 　人；
（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．


湖北省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-06解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．整式的加减—化简求值（共1小题）
1．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．
【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）
＝4xy﹣2xy+3xy
＝5xy，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2022•十堰）计算：÷（a+）．
【解答】解：÷（a+）
＝÷（+）
＝÷＝
•
＝．
三．分式的化简求值（共3小题）
3．（2022•荆州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝（）﹣1，b＝（﹣2022）0．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•﹣•
＝﹣
＝
＝，
∵a＝（）﹣1＝3，b＝（﹣2022）0＝1，
∴原式＝
＝．
4．（2022•鄂州）先化简，再求值：﹣，其中a＝3．
【解答】解：﹣
＝
＝
＝a﹣1，
当a＝3时，原式＝3﹣1＝2．
5．（2022•宜昌）求代数式+的值，其中x＝2+y．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝，
当x＝2+y时，原式＝＝1．
四．负整数指数幂（共1小题）
6．（2022•十堰）计算：（）﹣1+|2﹣|﹣（﹣1）2022．
【解答】解：（）﹣1+|2﹣|﹣（﹣1）2022
＝3+﹣2﹣1
＝．
五．解二元一次方程组（共1小题）
7．（2022•荆州）已知方程组的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．
【解答】解：①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
①﹣②得：2y＝2，
∴y＝1，
代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5，
∴k＜2．
答：k的取值范围为：k＜2．
六．根与系数的关系（共1小题）
8．（2022•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＞；
（2）根据题意得x1x2＝k2+1，
∵x1x2＝5，
∴k2+1＝5，
解得k1＝﹣2，k2＝2，
∵k＞，
∴k＝2．
七．一元二次方程的应用（共1小题）
9．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【解答】解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，
依题意得：x+2x﹣100＝800，
解得：x＝300，
∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．
答：4月份再生纸的产量为500吨．
（2）依题意得：1000（1+%）×500（1+m%）＝660000，
整理得：m2+300m﹣6400＝0，
解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合题意，舍去）．
答：m的值为20．
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
依题意得：1200（1+y）2•a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y）•a，
∴1200（1+y）2＝1500．
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
八．解分式方程（共1小题）
10．（2022•随州）解分式方程：＝．
【解答】解：左右两边同时乘以（x+3）x得
x+3＝4x，
3＝3x，
x＝1．
检验：当x＝1时，分母x（x+3）≠0，
∴x＝1是原分式方程的解．
九．解一元一次不等式（共1小题）
11．（2022•宜昌）解不等式≥+1，并在数轴上表示解集．


【解答】解：去分母得：2（x﹣1）≥3（x﹣3）+6，
去括号得：2x﹣2≥3x﹣9+6，
移项得：2x﹣3x≥﹣9+6+2，
合并同类项得：﹣x≥﹣1，
系数化为1得：x≤1．
．
一十．一元一次不等式的应用（共1小题）
12．（2022•湖北）某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
【解答】解：（1）设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一份甲种快餐需要30元，购买一份乙种快餐需要20元．
（2）设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐（55﹣m）份，
依题意得：30（55﹣m）+20m≤1280，
解得：m≥37．
答：至少买乙种快餐37份．
一十一．解一元一次不等式组（共2小题）
13．（2022•湖北）（1）化简：（﹣）÷；
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．


【解答】解：（1）原式＝[﹣]•
＝（﹣）•
＝•
＝；
（2）由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤4，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤4，
表示在数轴上，如图所示：

14．（2022•武汉）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 　x≥﹣3　；
（2）解不等式②，得 　x＜1　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是 　﹣3≤x＜1　．
【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥﹣3；
（2）解不等式②，得：x＜1；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：

（4）原不等式组的解集为：﹣3≤x＜1．
故答案为：（1）x≥﹣3；
（2）x＜1；
（4）﹣3≤x＜1．
一十二．一次函数的应用（共1小题）
15．（2022•恩施州）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．
（1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
（2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
【解答】解：（1）设租用甲种客车每辆x元，租用乙种客车每辆y元，
根据题意可得，，
解得．
∴租用甲种客车每辆200元，租用乙种客车每辆300元．
（2）设租用甲型客车m辆，则租用乙型客车（8﹣m）辆，租车总费用为w元，
根据题意可知，w＝200m+300（8﹣m）＝﹣100m+2400，
∵15m+25（8﹣m）≥180，
∴0＜m≤2，
∵﹣100＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝2时，w的最小值为﹣100×2+2400＝2200．
∴当租用甲型客车2辆，租用乙型客车6辆，租车总费用最少为2200元．
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
16．（2022•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB＝90°，A（0，2），C（6，2）．D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC．反比例函数y1＝（k≠0）的图象经过点D．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若AB所在直线解析式为y2＝ax+b（a≠0），当y1＞y2时，求x的取值范围．

【解答】解：（1）∵A（0，2），C（6，2），
∴AC＝6，
∵△ABC是∠C为直角的等腰直角三角形，
∴BC＝AC＝6，
∵D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC．
∴CD＝2，
∴D（6，4），
∵反比例函数y1＝（k≠0）的图象经过点D，
∴k＝6×4＝24，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵A（0，2），B（6，8），
∴把A、B的坐标代入y2＝ax+b得，
解得，
∴y2＝x+2，
解得或，
∴两函数的交点为（﹣6，﹣4），（4，6）
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣6或0＜x＜4．
一十四．二次函数的应用（共1小题）
17．（2022•荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24﹣x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．
①求该产品第一年的售价；
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
【解答】解：（1）根据题意得：w＝（x﹣8）（24﹣x）﹣60＝﹣x2+32x﹣252；
（2）①∵该产品第一年利润为4万元，
∴4＝﹣x2+32x﹣252，
解得：x＝16，
答：该产品第一年的售价是16元．
②∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，
∴，
解得11≤x≤16，
设第二年利润是w'万元，
w'＝（x﹣6）（24﹣x）﹣4＝﹣x2+30x﹣148，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝15，又11≤x≤16，
∴x＝11时，w'有最小值，最小值为（11﹣6）×（24﹣11）﹣4＝61（万元），
答：第二年的利润至少为61万元．
一十五．平行线的判定与性质（共1小题）
18．（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．

【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝100°；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝50°，
∵∠BCD＝50°，
∴∠AEB＝∠BCD，
∴AE∥DC．
一十六．正方形的性质（共1小题）
19．（2022•随州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
（1）求证：AE＝CF；
（2）已知平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长．

【解答】（1）证明：∵四边形BEDF为正方形，
∴DF＝EB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，
∴DC﹣DF＝AB﹣EB，
∴CF＝AE，
即AE＝CF；
（2）解：∵平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，四边形BEDF为正方形，
∴5DE＝20，DE＝EB，
∴DE＝EB＝4，
∴AE＝AB﹣EB＝5﹣4＝1，
由（1）知：AE＝CF，
∴CF＝1．
一十七．垂径定理（共1小题）
20．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代入民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．

【解答】解：（1）∵OC⊥AB，
∴AD＝BD；
（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，
∴BD＝AB＝13，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠OBD＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+132＝R2，
解得R＝19.4≈19，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．
一十八．切线的判定与性质（共1小题）
21．（2022•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OF，

∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OF＝OC，
∴∠C＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠B，
∴OF∥AB，
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF，
又∵OF是半径，
∴GF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OE，过点O作OH⊥CF于H，

∵BG＝1，BF＝3，∠BGF＝90°，
∴FG＝＝＝2，
∵⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
又∵AB⊥GF，OF⊥GF，
∴四边形GFOE是矩形，
∴OE＝GF＝2，
∴OF＝OC＝2，
又∵OH⊥CF，
∴CH＝FH，
∵cosC＝cosB＝，
∴，
∴CH＝，
∴CF＝．
一十九．扇形面积的计算（共1小题）
22．（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．

【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3，
∴S＝＝，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴S△OAB＝，
∴阴影部分的面积S阴＝﹣．
（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，
∵相切两圆的连心线必过切点，
∴O、O1、C三点共线，

∴∠EOO1＝∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°，
在Rt△OO1E中，
∵∠EOO1＝30°，
∴OO1＝2O1E，
∴O1E＝1，
∴⊙O1的半径O1E＝1．
∴S1＝πr2＝π．
二十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
23．（2022•湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若DG＝BC＝16，求AB的长．

【解答】（1）证明：∵EF是⊙O的切线，
∴DA⊥EF，
∵BC∥EF，
∴DA⊥BC，
∵DA是直径，
∴，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC．
（2）解：连接DB，
∵BG⊥AD，
∴∠BGD＝∠BGA，
∵∠ABG+∠DBG＝90°，∠DBG+∠BDG＝90°，
∴∠ABG＝∠BDG，
∴△ABG∽△BDG，
∴＝，
即BG2＝AG×DG，
∵BC＝16，BG＝GC，
∴BG＝8，
∴82＝16×AG，
解得：AG＝4，
在Rt△ABG中，BG＝8，AG＝4，
∴AB＝4．
故答案为：4．

二十一．解直角三角形的应用（共1小题）
24．（2022•宜昌）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25）
如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上．
（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；
（2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算∠ABO等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？

【解答】解：（1）53°≤α≤72°，当α＝72°时，AO取最大值，
在Rt△AOB中，sin∠ABO＝，
∴AO＝AB•sin∠ABO＝4×sin72°＝4×0.95＝3.8（米），
∴梯子顶端A与地面的距离的最大值为3.8米；
（2）在Rt△AOB中，cos∠ABO＝＝1.64÷4＝0.41，
∵cos66°≈0.41，
∴∠ABO＝66°，
∵53°≤α≤72°，
∴人能安全使用这架梯子．
二十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
25．（2022•湖北）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆EF的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：≈1.732）

【解答】解：过点D作DG⊥EF于点G，

则A，D，G三点共线，BC＝AD＝20米，AB＝CD＝FG＝1.58米，
设DG＝x米，则AG＝（20+x）米，
在Rt△DEG中，∠EDG＝60°，
tan60°＝，
解得EG＝x，
在Rt△AEG中，∠EAG＝30°，
tan30°＝＝，
解得x＝10，
经检验，x＝10是所列分式方程的解，
∴EG＝10米，
∴EF＝EG+FG≈18.9米．
∴旗杆EF的高度约为18.9米．
二十三．条形统计图（共2小题）
26．（2022•武汉）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）本次调查的样本容量是 　80　，B项活动所在扇形的圆心角的大小是 　54°　，条形统计图中C项活动的人数是 　20　；
（2）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．

【解答】解：（1）本次调查的样本容量是16÷20%＝80，B项活动所在扇形的圆心角的大小是360°×＝54°，条形统计图中C项活动的人数是80﹣32﹣12﹣16＝20（人），
故答案为：80，54°，20；
（2）2000×＝800（人），
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为800人．
27．（2022•湖北）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 　100　，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 　72　度，本次调查数据的中位数落在 　C　组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．


【解答】解：（1）这次调查的样本容量是：25÷25%＝100，
D组的人数为：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×＝72°，
∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组，
故答案为：72，C；
（3）1800×＝1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．

二十四．列表法与树状图法（共1小题）
28．（2022•随州）为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生共有 　60　人；
（2）条形统计图中m的值为 　11　，扇形统计图中α的度数为 　90°　；
（3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有 　100　人；
（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．

【解答】解：（1）24÷40%＝60（人），
∴参加问卷调查的学生共有60人．
故答案为：60．
（2）m＝60﹣10﹣24﹣15＝11，
α＝360°×＝90°，
故答案为：11；90°．
（3）600×＝100（人），
∴估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人．
故答案为：100．
（4）画树状图如图：

∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．