湖北省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-09解答题（压轴题）

这是一份湖北省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-09解答题（压轴题），共34页。试卷主要包含了，他们称等内容，欢迎下载使用。

湖北省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-09解答题（压轴题）
一．二次函数综合题（共5小题）
1．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．
例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　．
【技能训练】
（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
【拓展升华】
（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．

2．（2022•十堰）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长．

3．（2022•宜昌）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E（0，n）．四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（m+1，m+3），N（m+1，m），P（m+5，m），Q（m+5，m+3）．
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y＝有且只有一个交点，求n2的最大值；
（3）当直线l与四边形MNPQ、抛物线y＝ax2+bx﹣2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y＝ax2+bx﹣2的交点的纵坐标．
①当m＝﹣3时，直接写出n的取值范围；
②求m的取值范围．


4．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．


5．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．


二．三角形综合题（共2小题）
6．（2022•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．


7．（2022•湖北）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD＝m，BD＝n，△ADE与△BDF的面积之和为S．
（1）填空：当∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B＝45°，m＝5，则n＝　 　，S＝　 　；
②如图2，若∠B＝60°，m＝4，则n＝　 　，S＝　 　；
（2）如图3，当∠ACB＝∠EDF＝90°时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，当∠ACB＝60°，∠EDF＝120°，m＝6，n＝4时，请直接写出S的大小．

三．四边形综合题（共1小题）
8．（2022•随州）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①：（a+b+c）d＝ad+bd+cd
公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd
公式③：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2
图1对应公式 　 　，图2对应公式 　 　，图3对应公式 　 　，图4对应公式 　 　．
（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
（3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．
①若E为边AC的中点，则的值为 　 　；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

四．圆的综合题（共1小题）
9．（2022•荆州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x．
（1）求证：DE是半圆O的切线：
（2）当点E落在BD上时，求x的值；
（3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；
（4）直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．



湖北省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-09解答题（压轴题）
参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共5小题）
1．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．
例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　（0，）　，　y＝﹣　．
【技能训练】
（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
【拓展升华】
（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．

【解答】解：（1）∵a＝2，
∴＝，
故答案为：（0，），y＝﹣；
（2）∵a＝，
∴﹣＝﹣2，
∴准线为：y＝﹣2，
∴点P的纵坐标为：4，
∴＝4，
∴x＝±4，
∴P（4，2）或（﹣4，2）；
（3）如图，


作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，
∴AG＝AF＝4，BK＝BF，FH＝，
∵BK∥FH∥AG，
∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，
∴，，
∴＝＝，，
∴a＝；
（4）设点M（m，m2），
∵＝，
∴＝2，
∴＝2，
∴m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
∴M（﹣2，1），
∵E为线段HF的黄金分割点，
∴EH＝＝﹣1或EH＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
当EH＝﹣1时，S△HME＝＝＝﹣1，
当EH＝3﹣时，S△HME＝3﹣，
∴△HME的面积是﹣1或3﹣．
2．（2022•十堰）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长．

【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2+x﹣3；
（2）①如图1，

设直线PC交x轴于E，
∵PD∥OC，
∴∠OCE＝∠CPD＝45°，
∵∠COE＝90°，
∴∠CEO＝90°﹣∠ECO＝45°，
∴∠CEO＝∠OCE，
∴OE＝OC＝3，
∴点E（3，0），
∴直线PC的解析式为：y＝x﹣3，
由x2+x﹣3＝x﹣3得，
∴x1＝﹣，x2＝0（舍去），
当x＝﹣时，y＝﹣﹣3＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
②如图2，

设点P（m，m2+m﹣3），四边形PECE′的周长记作l，
点P在第三象限时，作EF⊥y轴于F，
∵点E与E′关于PC对称，
∴∠ECP＝∠E′PC，CE＝CE′，
∵PE∥y轴，
∴∠EPC＝∠PCE′，
∴∠ECP＝∠EPC，
∴PE＝CE，
∴PE＝CE′，
∴四边形PECE′为平行四边形，
∴▱PECE′为菱形，
∴CE＝PE，
∵EF∥OA，
∴，
∴，
∴CE＝﹣m，
∵PE＝﹣（﹣）﹣（+﹣3）＝﹣﹣3m，
∴﹣＝﹣m2﹣3m，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣，
∴CE＝，
∴l＝4CE＝4×＝，
当点P在第二象限时，
同理可得：
﹣m＝+3m，
∴m3＝0（舍去），m4＝﹣，
∴l＝4×＝，
综上所述：四边形PECE′的周长为：或．
3．（2022•宜昌）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E（0，n）．四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（m+1，m+3），N（m+1，m），P（m+5，m），Q（m+5，m+3）．
（1）填空：a＝　　，b＝　﹣　；
（2）若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y＝有且只有一个交点，求n2的最大值；
（3）当直线l与四边形MNPQ、抛物线y＝ax2+bx﹣2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y＝ax2+bx﹣2的交点的纵坐标．
①当m＝﹣3时，直接写出n的取值范围；
②求m的取值范围．


【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，
∴，
解得，
故答案为：，﹣；
（2）设直线BC的解析式为y＝dx+e，
∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
∵直线BC平移得到直线l，直线l与y轴交于点E（0，n），
∴直线l的解析式为y＝x+n，
∵双曲线y＝经过点M（m+1，m+3），
∴k＝（m+1）（m+3），
∴y＝，
∵直线l与双曲线y＝有且只有一个交点，
联立方程组，
整理得x2+2nx﹣2m2﹣8m﹣6＝0，
∴Δ＝0，即4n2﹣4（﹣2m2﹣8m﹣6）＝0，
∴n2+2m2+8m+6＝0，
∴n2＝﹣2m2﹣8m﹣6＝﹣2（m+2）2+2，
∵M点在第二象限，
∴m+1＜0，m+3＞0，
∴﹣3＜m＜﹣1，
∴当m＝﹣2时，n2可以取得最大值2；
（3）如图1，当直线l与抛物线有交点时，联立方程组，
整理得，x2﹣4x﹣4﹣2n＝0，
∵Δ≥0，即8n+16≥0，
∴n≥﹣4，
当n＝﹣4时，直线y＝x﹣4与抛物线的交点为F（2，﹣3）；
①当m＝﹣3时，四边形NMPQ的顶点分别为M（﹣2，0），N（﹣2，﹣3），P（2，﹣3），Q（2，0），
如图2，当直线l经过点P（2，﹣3）时，此时P点与F点重合，
∴n＝﹣4时，直线l与四边形MNPQ、抛物线都有交点，且满足直线l与矩形MNPQ的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标；
如图3，当直线l经过点A时，n＝，
当直线l经过点M时，如图4，n＝1，
∴≤n≤1，
综上所述：n的取值范围为：≤n≤1或n＝﹣4；
②当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M（m+1，m+3）在直线y＝x﹣4上时，直线l与四边形MNPQ、抛物线同时有交点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标，
∴m+3＝（m+1）﹣4，
解得m＝﹣13；
如图5，当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M（m+1，m+3）在这条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线l（即经过此时点M的直线l）与四边形MNPQ、平行同时有交点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，
∴（m+1）2﹣（m+1）﹣2＝m+3，
解得m＝（舍）或m＝，
综上所述：m的取值范围为﹣13≤m≤．





4．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．


【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，抛物线交x轴于点A，B（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，
∴C（0，3），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把（0，3）代入抛物线的解析式，得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如图（2）中，连接OP．设P（m，﹣m2﹣2m+3），

S＝S△PAO+S△POC+S△OBC，
＝×3×（﹣m2﹣2m+3）××3×（﹣m）+×1×3
＝（﹣m2﹣3m+4）
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S的值最大，最大值为，此时P（﹣，）；

（3）存在，理由如下：
如图3﹣1中，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P（﹣1，4），N（0，4）；

如图3﹣2中，当四边形PMCN是矩形时，设M（﹣1，n），P（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t+1，0），

由题意，，
解得，消去n得，3t2+5t﹣10＝0，
解得t＝，
∴P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
综上所述，满足条件的点P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
5．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．


【解答】解：（1）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）∵OP＝OA＝1，
∴P（0，1），
∴直线AC的解析式为y＝x+1．
①若点D在AC的下方时，
过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．
∵B（3，0），BD1∥AC，
∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3，
由，解得或，
∴D1（0，﹣3），
∴D1的横坐标为0．
②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（0，5），
过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．
直线l的解析式为y＝x+5，
由，可得x2﹣3x﹣8＝0，
解得x＝或，
∴D2，D3的横坐标为，，
综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，．

（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，
由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，
设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，
∴xA•xC＝xB•xE＝﹣3﹣b
∵xA＝﹣1，
∴xC＝3+b，
∴m＝3+b，
∵xB＝3，
∴xE＝﹣1﹣，
∴n＝﹣1﹣，
设直线CE的解析式为y＝px+q，
同法可得mn＝﹣3﹣q
∴q＝﹣mn﹣3，
∴q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，
∴OF＝b2+2b，
∴＝b+1＝（m﹣3）+1＝m．

二．三角形综合题（共2小题）
6．（2022•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．


【解答】解：（1）如图1中，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，OA＝6，OB＝10，
∴AB＝＝＝8，
∴B（8，6）；

（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．

∵∠POH＝45°，
∴PH＝OH，
设PH＝OH＝x，
∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠BAO＝90°，
∴△BHP∽△BAO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BH＝x，PB＝x，
∴x+x＝10，
∴x＝，
∴PB＝×＝，
∴PA＝AB﹣PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；

（3）如图2中，设PA′交OB于点T．

∵∠OAB＝90°，OE＝EB，
∴EA＝EO＝EB＝5，
∴∠EAB＝∠B，
由翻折的性质可知∠EAB＝∠A′，
∴∠A′＝∠B，
∵A′P⊥OB，
∴∠ETA′＝∠BAO＝90°，
∴△A′TE∽△BAO，
∴＝，
∴＝，
∴ET＝3，BT＝5﹣3＝2，
∵cosB＝＝，
∴＝，
∴PB＝，
∴AP＝AB＝PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；

（4）如图3中，以AF为边向右作等边△AFK，连接KG，延长KG交x轴于点R，过点K作KJ⊥AF于点J．KQ⊥OR于点Q，过点O作OW⊥KR于W．

∵∠AFK＝∠PFG＝60°，
∴∠AFP＝∠KFG，
∵FA＝FK，FP＝FG，
∴△AFP≌△KFG（SAS），
∴∠PAF＝∠GKF＝90°，
∴点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小，
∵KJ⊥OA，KQ⊥OR，
∴∠KJO＝∠JOQ＝∠OQK＝90°，
∴四边形JOQK是矩形，
∴OJ＝KQ，JK＝OQ，
∵KA＝KF，KJ⊥AF，
∴AJ＝JF＝1，KJ＝，
∴KQ＝OJ＝5，
∵∠KRQ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴QR＝KQ＝，
∴OR＝+＝，
∴OW＝OR•sin60°＝4，
∴OG的最小值为4，
∵OF＝OW＝4，∠FOW＝60°，
∴△FOW是等边三角形，
∴FW＝4，即FG＝4，
∴线段FP扫过的面积＝＝．
7．（2022•湖北）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD＝m，BD＝n，△ADE与△BDF的面积之和为S．
（1）填空：当∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B＝45°，m＝5，则n＝　5　，S＝　25　；
②如图2，若∠B＝60°，m＝4，则n＝　4　，S＝　8　；
（2）如图3，当∠ACB＝∠EDF＝90°时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，当∠ACB＝60°，∠EDF＝120°，m＝6，n＝4时，请直接写出S的大小．

【解答】解：（1）①如图1中，∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，
∴CA＝CB，
∵CD平分∠ACB，
∴AD＝DB＝5，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠A＝∠B＝45°，
∴△ADE，△BDF都是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝5，AE＝DE＝5，
∴S＝×5×5+×5×5＝25，
故答案为：5，25；
②如图2中，

在Rt△ADE中，AD＝4，∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∴DE＝AD＝2，AE＝DE＝6，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，CD平分∠ACB，
∴DE＝DF＝2，
∴BF＝2，BD＝2BF＝4，
∴n＝4，
∴S＝×2×6+×2×2＝8，
故答案为：4，8；

（2）如图3中，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．

∵DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，
∴DM＝DN，
∵∠DMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴DM＝DN，
∴四边形DMCN是正方形，
∴∠MDN＝∠EDF＝90°，
∴∠MDE＝∠NDF，
∵∠DME＝∠DNF，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，
把△BDN绕点D逆时针旋转90°得到右边△ADH，∠ADH＝90°，AD＝m，DH＝n，
∴S＝mn；

（3）如图4中，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．

∵DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，
∴DM＝DN，
∵∠DMC＝∠DNC＝90°，
∴∠MDN＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠EDF＝∠MDN＝120°，
∴∠EDM＝∠FDN，
∵∠DME＝∠DNF＝90°，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，
把△ADM绕点顺时针旋转120°得到△DNT，∠BDT＝60°，DT＝6，DB＝4，
过点D作DN⊥BT于点N，
∴BH＝BD×sin60°＝4×＝2，
∴S＝S△BDT＝×6×2＝6．
三．四边形综合题（共1小题）
8．（2022•随州）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①：（a+b+c）d＝ad+bd+cd
公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd
公式③：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2
图1对应公式 　①　，图2对应公式 　②　，图3对应公式 　④　，图4对应公式 　③　．
（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
（3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．
①若E为边AC的中点，则的值为 　2　；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

【解答】（1）解：观察图象可得：
图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
故答案为：①，②，④，③；
（2）证明：
如图：

由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，
∵AK＝BM＝BF﹣MF＝a﹣b，BD＝BC﹣CD＝a﹣b，
∴S矩形AKLC＝AK•AC＝a（a﹣b）＝BF•BD＝S矩形DBFG，
∴S正方形BCEF＝a2＝S矩形CDHL+S矩形DBFG+S正方形EGHL＝S矩形CDHL+S矩形AKLC+b2，
∴a2＝S矩形AKHD+b2，
∵S矩形AKHD＝AK•AD＝（a﹣b）（a+b），
∴a2＝（a﹣b）（a+b）+b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）解：①设BD＝m，
由已知可得△ABD、△AEH、△CEG、△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
∴AD＝BD＝CD＝m，
∵E是AC中点，
∴HE＝DG＝m＝AH，
∴CG＝CD﹣DG＝m，BG＝FG＝BD+DG＝m，
∴S1＝S△BFG+S△CEG＝×m×m+×m×m＝m2，
S2＝S△ABD+S△AEH＝m2+×m×m＝m2，
∴＝2；
故答案为：2；
②E不为边AC的中点时①中的结论仍成立，证明如下：
设BD＝a，DG＝b，
由已知可得△ABD、△AEH、△CEG、△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
∴AD＝BD＝CD＝a，AH＝HE＝DG＝b，EG＝CG＝a﹣b，FG＝BG＝a+b，
∴S1＝S△BFG+S△CEG＝×（a+b）2+×（a﹣b）2＝a2+b2，
S2＝S△ABD+S△AEH＝a2+×b2＝（a2+b2），
∴＝2．
四．圆的综合题（共1小题）
9．（2022•荆州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x．
（1）求证：DE是半圆O的切线：
（2）当点E落在BD上时，求x的值；
（3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；
（4）直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．


【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO＝90°，
∵将△OAD沿OD折叠，得到△OED，
∴∠OED＝∠DAO＝90°，
∴OE⊥DE，
∵OE是半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图2中，当点E落在BD上时，

在Rt△ADB中，∠DAB＝90°，AD＝3，AB＝4，
∴BD＝＝＝5，
∵S△ADB＝S△ADO+S△BDO，
∴×3×4＝×3×x+×5×x，
∴x＝．

（3）解：图2中，当点E落在BD上时，

∵DA＝DE，OA＝OE，
∴OD垂直平分线段AE，
∵•AD•AO＝•DO•AJ，
∴AJ＝，
∴AE＝2AJ＝，
∵AG是直径，
∴∠AEG＝∠ABF＝90°，
∵∠EAG＝∠BAF，
∴△AEG∽△ABF，
∴y＝＝（）2＝＝（0＜x＜）；

（4）当⊙O与CD相切时，x＝3，
当⊙O经过点C时，x2＝（4﹣x）2+32，
∴x＝，
观察图象可知，当＜x＜3或＜x≤4时，半圆O与△BCD的边有两个交点．