黑龙江省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-05填空题（提升题）

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黑龙江省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-05填空题（提升题）
一．规律型：图形的变化类（共3小题）
1．（2022•黑龙江）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有 　 　．

2．（2022•大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是 　 　．



3．（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为 　 　．

二．规律型：点的坐标（共2小题）
4．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y＝x交于点B1，B2，B3，B4…记△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2022＝　 　．

5．（2022•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l于点B1，过点B1作B1C2⊥l交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2，…，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是 　 　．

三．抛物线与x轴的交点（共1小题）
6．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 　 　．
四．全等三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2022•大庆）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍．连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N，给出如下几个结论：①若AE＝2，CF＝3，则EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，则MN＝4；④若＝2，BE＝3，则EF＝4．其中正确结论的序号为 　 　．

五．菱形的性质（共1小题）
8．（2022•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 　 　．

六．菱形的判定（共1小题）
9．（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 　 　．（只需写出一个条件即可）

七．矩形的性质（共1小题）
10．（2022•黑龙江）在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在边CD上，且CE＝4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则BP的长为 　 　．
八．三角形的外接圆与外心（共1小题）
11．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为 　 　cm．

九．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
12．（2022•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B'坐标是 　 　．

一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是 　 　．

一十一．解直角三角形（共1小题）
14．（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝　 　．
一十二．列表法与树状图法（共2小题）
15．（2022•大庆）不透明的盒中装有三张卡片，编号分别为1，2，3．三张卡片质地均匀，大小、形状完全相同，摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号，然后放回盒中再摇匀，再从盒中随机取出一张卡片，则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为 　 　．
16．（2022•哈尔滨）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是 　 　．

黑龙江省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-05填空题（提升题）
参考答案与试题解析
一．规律型：图形的变化类（共3小题）
1．（2022•黑龙江）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有 　485　．

【解答】解：第一个图形正三角形的个数为5，
第二个图形正三角形的个数为5×3+2＝2×32﹣1＝17，
第三个图形正三角形的个数为17×3+2＝2×33﹣1＝53，
第四个图形正三角形的个数为53×3+2＝2×34﹣1＝161，
第五个图形正三角形的个数为161×3+2＝2×35﹣1＝485．
如果是第n个图，则有2×3n﹣1个
故答案为：485．
2．（2022•大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是 　49　．



【解答】解：由题意得：
第一个图案中的“”的个数是：4＝4+3×0，
第二个图案中的“”的个数是：7＝4+3×1，
第三个图案中的“”的个数是：10＝4+3×2，
..．
∴第16个图案中的“”的个数是：4+3×15＝49，
故答案为：49．




3．（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为 　（1+）2022　．

【解答】解：由题意可得，
P1K1＝OP1•tan60°＝1×＝，
P2K2＝OP2•tan60°＝（1+）×＝（1+），
P3K3＝OP3•tan60°＝（1+++3）×＝（1+）2，
P4K4＝OP4•tan60°＝[（1+++3）+（1+）2]×＝（1+）3，
…，
PnKn＝（1+）n﹣1，
∴当n＝2023时，P2023K2023＝（1+）2022，
故答案为：（1+）2022．
二．规律型：点的坐标（共2小题）
4．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y＝x交于点B1，B2，B3，B4…记△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2022＝　　．

【解答】解：∵OA1＝1，OA2＝2OA1，
∴OA2＝2，
∵OA3＝2OA2，
∴OA3＝4，
∵OA4＝2OA3，
∴OA4＝8，
把x＝1代入直线y＝x中可得：y＝，
∴A1B1＝，
把x＝2代入直线y＝x中可得：y＝2，
∴A2B2＝2，
把x＝4代入直线y＝x中可得：y＝4，
∴A3B3＝4，
把x＝8代入直线y＝x中可得：y＝8，
∴A4B4＝8，
∴S1＝OA1•A1B1＝×1×＝×20×（20×），
S2＝OA2•A2B2＝×2×2＝×21×（21×），
S3＝OA3•A3B3＝×4×4＝×22×（22×），
S4＝OA4•A4B4＝×8×8＝×23×（23×），
..．
∴S2022＝×22021×（22021×）＝24041×，
故答案为：24041×．
5．（2022•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l于点B1，过点B1作B1C2⊥l交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2，…，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是 　（）2022　．

【解答】解：∵y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，），
∴OA＝3，OB＝，
∴tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝30°，
∵BC1⊥l，
∴∠C1BO＝∠BAO＝30°，
∴BC1＝＝2，
∵B1C1⊥x轴，
∴∠B1C1B＝30°，
∴B1C1＝＝，
同理可得，B2C2＝C1＝（）2，
依此规律，可得Bn∁n＝（）n，
当n＝2022时，B2022C2022＝（）2022，
故答案为：（）2022．
三．抛物线与x轴的交点（共1小题）
6．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 　1或﹣　．
【解答】解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，
②与x、y轴各一个交点，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣，
综上所述：m的值为1或﹣．
四．全等三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2022•大庆）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍．连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N，给出如下几个结论：①若AE＝2，CF＝3，则EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，则MN＝4；④若＝2，BE＝3，则EF＝4．其中正确结论的序号为 　②　．

【解答】解：∵正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍，
∴BE+BF+EF＝AB+BC，
∴EF＝AE+FC，
若AE＝2，CF＝3，则EF＝2+3＝5，故①错误；
如图，在BA的延长线上取点H，使得AH＝CF，

在正方形ABCD中，AD＝CD，∠HAD＝∠FCD＝90°，
在△AHD和△CFD中，
，
∴△AHD≌△CFD（SAS），
∴∠CDF＝∠ADH，HD＝DF，∠H＝∠DFC，
又∵EF＝AE+CF，
∴EF＝AE+AH＝EH，
在△DEH和△DEF中，
，
∴△DEH≌△DEF（SSS），
∴∠HDE＝∠FDE，∠H＝∠EFD，∠HED＝∠FED，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADH+∠ADF＝∠HDF＝90°
∴∠EDF＝∠HDE＝45°，
∵∠H＝∠DFC＝∠DFE，∠EMN＝∠HED+∠EAM＝45°+∠DEF，
∴∠EFN+∠EMN＝∠DFC+45°+∠DEF＝∠DFC+∠EDF+∠DEF＝180°，
则∠EFN+∠EMN＝180°，故②正确；
如图，作DG⊥EF于点G，连接GM，GN，

在△AED和△GED中，
，
∴△AED≌△GED（AAS），
同理，△GDF≌△CDF（AAS），
∴AG＝DG＝CF，∠ADE＝∠GDE，∠GDF＝∠CDF，
∴点A，G关于DE对称轴，C，G关于DF对称，
∴GM＝AM，GN＝CN，∠EGM＝∠EAM＝45°，∠NGF＝∠NCF＝45°，
∴∠MGN＝90°，即△GMN是直角三角形，
若AM＝2，CN＝3，
∴GM＝2，GN＝3，
在Rt△GMN中，MN＝＝，故③错误；
∵MG＝AM，且＝2，BE＝3，
在Rt△GMN中，sin∠MNG＝＝＝，
∴∠MNG＝30°，
∵∠EFN+∠EMN＝180°，∠EMN+∠AME＝180°，
且∠CFN＝∠EFN，
∴∠AME＝∠CFN，
∴2∠AME＝2∠CFN，
即∠AMG＝∠CFG，
∴∠GMN＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠MNG＝30°，
∴cos∠BEF＝cos∠MNG＝＝，
∴EF＝2，故④错误，
综上，正确结论的序号为②，
故答案为：②．
五．菱形的性质（共1小题）
8．（2022•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 　　．

【解答】解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，

∴AP是OO′的垂直平分线，
∴OP＝O′P，
∴OP+PE＝O′P+PE＝O′E，
此时，OP+PE的值最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝3，∠BAC＝∠BAD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∠AOD＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD＝AD＝3，
∴OD＝BD＝，
∴AO＝＝＝，
∴AC＝2OA＝3，
∵CE⊥AH，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝OA＝AC＝，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE＝∠EAB，
∴∠OEA＝∠EAB，
∴OE∥AB，
∴∠EOF＝∠AFO＝90°，
在Rt△AOF中，∠OAB＝DAB＝30°，
∴OF＝OA＝，
∴OO′＝2OF＝，
在Rt△EOO′中，O′E＝＝＝，
∴OP+PE＝，
∴OP+PE的最小值为，
故答案为：．

六．菱形的判定（共1小题）
9．（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 　AB＝CD（答案不唯一）　．（只需写出一个条件即可）

【解答】解：添加的条件是AB＝CD，理由如下：
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
七．矩形的性质（共1小题）
10．（2022•黑龙江）在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在边CD上，且CE＝4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则BP的长为 　或或6　．
【解答】解：若△APE是直角三角形，有以下三种情况：
①如图1，∠AEP＝90°，

∴∠AED+∠CEP＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴∠CEP+∠CPE＝90°，
∴∠AED＝∠CPE，
∴△ADE∽△ECP，
∴＝，即＝，
∴CP＝，
∵BC＝AD＝12，
∴BP＝12﹣＝；
②如图2，∠PAE＝90°，

∵∠DAE+∠BAE＝∠BAE+∠BAP＝90°，
∴∠DAE＝∠BAP，
∵∠D＝∠ABP＝90°，
∴△ADE∽△ABP，
∴＝，即＝，
∴BP＝；
③如图3，∠APE＝90°，设BP＝x，则PC＝12﹣x，

同理得：△ABP∽△PCE，
∴＝，即＝，
∴x1＝x2＝6，
∴BP＝6，
综上，BP的长是或或6．
故答案为：或或6．
八．三角形的外接圆与外心（共1小题）
11．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为 　3　cm．

【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，

∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
在Rt△ABD中，AD＝6cm，
∴AB＝AD•sin60°＝6×＝3（cm），
故答案为：3．

九．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
12．（2022•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B'坐标是 　（﹣2，3）或（2，﹣3）　．

【解答】解：∵A（﹣1，2），OC＝4，
∴C（4，0），B（3，2），M（0，2），BM＝3，AB∥x轴，BM＝3，

将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，
由旋转得：OM＝OM1＝OM2＝2，∠AOA1＝∠AOA2＝90°，BM＝B1M1＝B2M2＝3，
A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴B1和B2 的坐标分别为：（﹣2，3）、（2，﹣3），
∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是（﹣2，3）或（2，﹣3），
故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3））．
一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是 　②③　．

【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
而∠BAD的度数不确定，
∴∠ADC与∠CAD不一定相等，
∴AC与CD不一定相等，
故①错误；
②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠B＝∠AED＝45°，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝，
∵AE＝AD，AB＝BC，
∴AD2＝AF•AB＝AF•BC，
∴AD2＝AF•BC，
故②正确；
④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，
∴△ADH∽△BAH，
∴＝，
∴AH2＝DH•BH，
而BH与AC不一定相等，
故④不一定正确；
③∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADG＝45°，
∵AH⊥DE，
∴∠AGD＝90°，
∵AD＝3，
∴AG＝DG＝，
∵DH＝5，
∴GH＝＝＝，
∴AH＝AG+GH＝2，
由④知：AH2＝DH•BH，
∴（2）2＝5BH，
∴BH＝8，
∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，
故③正确；
本题正确的结论有：②③
故答案为：②③．
一十一．解直角三角形（共1小题）
14．（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝　3+3或3﹣3　．
【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，
过点A作AD⊥BC于点D，如图，

∵AB＝3，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，
∴CD＝＝3，
∴BC＝BD+CD＝3+3；
②当△ABC为钝角三角形时，
过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，如图，

∵AB＝3，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，
∴CD＝＝3，
∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；
综上，BC的长为3+3或3﹣3．
一十二．列表法与树状图法（共2小题）
15．（2022•大庆）不透明的盒中装有三张卡片，编号分别为1，2，3．三张卡片质地均匀，大小、形状完全相同，摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号，然后放回盒中再摇匀，再从盒中随机取出一张卡片，则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为 　　．
【解答】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次所取卡片的编号之积为奇数的结果有4种，
∴两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为，
故答案为：．
16．（2022•哈尔滨）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是 　　．
【解答】解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，其中一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的结果有2种，
∴一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率为＝，
故答案为：．