2022年中考数学基础题提分讲练专题：02 方程（组）（含答案）

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必考点1 一元一次方程
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
【典例1】关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9B．8C．5D．4
【答案】C
【解析】
解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，
解得：a=3，m=2，
所以a+m=3+2=5，
故选：C．
【点睛】
此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．
必考点2 一元一次方程的应用
【典例2】一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元
【答案】C
【解析】
设两件衣服的进价分别为x、y元，
根据题意得：120-x=20%x，y-120=20%y，
解得：x=100，y=150，
∴120+120-100-150=-10（元）．
故选：C．
点睛：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【举一反三】
1．已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x人，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设男生x人，则女生有(30－x)人，由题意得：，故选D.
【点睛】
本题考查列一元一次方程，解题的关键是读懂题意，得出一元一次方程.
必考点3 二元一次方程组：
一般形式：（不全为0）
解法：代入消远法和加减消元法
【典例3】方程组的解是_______．
【答案】
【解析】
解：，
②﹣①得：
，
把代入①得：
，
解得：，
方程组的解为：，
故答案为：
【点睛】
考查了解二元一次方程组，正确掌握加减消元法是解题的关键．
必考点4 一元二次方程组的应用
【典例4】《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（）
A．1,11B．7,53C．7,61D．6,50
【答案】B
【解析】
解设人数x人，物价y钱.
解得：
故选B.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出等量关系式是解题的关键.
【举一反三】
2. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何?”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设马每匹x两，牛每头y两，由题意得
.
故选D.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可.
必考点5 分式方程
（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法：
一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法：换元法。
（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
【典例5】分式方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根据分式方程的解法去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1)
化简得2x=-2,
解得x=-1，
故选A.
【点睛】
此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是熟知分式方程的求解.
【举一反三】
3 .关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【解析】
解：分式方程去分母得：，
解得：，
根据题意得：，且，
解得：，且．
故选：C．
【点睛】
本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.
4. 易错若方程有增根,则增根可能是（ ）
A．0或2B．0或-2C．2D．0
【答案】C
【解析】
分式方程，
最简公分母x（x-2），
去分母得：4-x2=0，
整理得：x2=4，
解得：x=±2，
把x=2代入x（x-2）=0，
则x=2是原分式方程的增根，原分式方程的解为-2．
故选C．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
必考点6 分式方程的应用
【典例6】小明15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完)，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
找到等量关系为两人买的笔记本数量
故选A
【点睛】
本题考查分式方程的简单应用，本题关键在于找出等量关系
【举一反三】
5. 世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
解：设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是：
．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确等量关系得出等式是解题关键．
必考点7 一元二次方程
（1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0）
（2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。
（4）一元二次方程的根的判别式：
当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时方程有两个相等的实数根；
当Δ< 0时方程没有实数根，无解；
当Δ≥0时方程有两个实数根
（5）一元二次方程根与系数的关系：
若是一元二次方程的两个根，那么：，
（6）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
【典例7】已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】D
【解析】
解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，
∴，，
则a的值为：．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.
【举一反三】
6. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
解：
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积.
7.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．16B．12C．14D．12或16
【答案】A
【解析】
解方程，得：或，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故选：A．
【点睛】
此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则
8.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】D
【解析】
（k-2）x2-2kx+k-6=0，
∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，
∴，
解得：且k≠2．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
9.若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．﹣2B．6C．﹣4D．4
【答案】A
【解析】
解：是一元二次方程的两个实数根，
，，，
故选．
【点睛】
本题考查了方程的解、根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则.
必考点8 一元二次方程的应用
【典例8】 某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
．
故选：D．
【点睛】
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
【举一反三】
10. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得： （舍去），．
故选：C．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
11.在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故选：A．
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.
1. 已知是方程组的解，则的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
【答案】A
【解析】
将代入，
可得：，
两式相加：，
故选A．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法.
2. 《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y；
由甲得乙半而钱五十，可得：
由甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50；可得：
故答案为:A
【点睛】
本题考查了列二元一次方程组解实际问题，解题的关键在于，找到正确的等量关系.
3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．
4. 一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【答案】C
【解析】
∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，
∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴此方程没有实数根.
故选C.
【点睛】
此题主要考查了根的判别式，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△