2022年中考数学基础题提分讲练专题：03 不等式（组）（含答案）

专题03  不等式（组）

必考点1  不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，

即：若a＞b，那么a±m＞b±m；
 ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，

即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
 ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，

即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；

【典例1】若，下列不等式不一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

解：A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A错误；

B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B错误；

C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C错误；

D、如；故D正确；

故选：D．

【点睛】

主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．

【举一反三】

1.如果，那么下列不等式成立的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

故选：D．

【点睛】

本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型．

必考点2  一元一次不等式的解

【典例2】关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解不等式2x+a≤1得：,

不等式有两个正整数解，一定是1和2，
根据题意得：

解得：-5＜a≤-3．
故选：C．

【点睛】

本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．

【举一反三】

1．若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解：解不等式得：，

不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，

，

，

解得：，

故选：．

【点睛】

本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．

必考点3  一元一次不等式的应用

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．

（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解

【典例3】某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（    ）

A．13 B．14 C．15 D．16

【答案】C

【解析】

解：设要答对x道．

，

，

，

解得：，

根据x必须为整数，故x取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到得分的关系式是解决本题的关键．

必考点4  一元一次不等式组的解

【典例4】已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．因此，

．

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．故选D．

【举一反三】

1.若关于x的不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是(    )

A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2

【答案】D

【解析】

，

由①得，

由②得，

又不等式组的解集是x＞a，

根据同大取大的求解集的原则，∴，

当时，也满足不等式的解集为，

∴，故选D.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集，熟练掌握不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键.

2. 若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

解不等式2x﹣6+m＜0，得：x，

解不等式4x﹣m＞0，得：x，

∵不等式组有解，

∴，

解得m＜4，

如果m＝2，则不等式组的解集为m＜2，整数解为x＝1，有1个；

如果m＝0，则不等式组的解集为0＜m＜3，整数解为x＝1，2，有2个；

如果m＝﹣1，则不等式组的解集为m，整数解为x＝0，1，2，3，有4个；

故选：C．

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

若不等式组无解，则的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

解不等式，得：x＞8，

∵不等式组无解，

∴4m≤8，

解得m≤2，

故选A．

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

必考点5 不等式组的应用

【典例5】某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．

（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；

（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？

【答案】（1）租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；（2）共有三种租车方案，方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．

【解析】

（1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元，

，

解得，，

答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；

（2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆，

，

解得，，，，

∴共有三种租车方案，

方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，

方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，

方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，

由上可得，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．

【点睛】

本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质和方程的知识解答．

1.已知，则下列不等式不成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

-3x<−3y，

∴−3x+6<−3y+6，

故D错误；

故选D.

点睛：不等式的性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.

2. 下列各数轴上表示的的取值范围可以是不等式组的解集的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

由x+2＞a得x＞a-2，

A．由数轴知x＞-3，则a=-1，∴-3x-6＜0，解得x＞-2，与数轴不符；

B．由数轴知x＞0，则a=2，∴3x-6＜0，解得x＜2，与数轴相符合；

C．由数轴知x＞2，则a=4，∴7x-6＜0，解得x＜，与数轴不符；

D．由数轴知x＞-2，则a=0，∴-x-6＜0，解得x＞-6，与数轴不符；

故选B．

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解集在数轴上的表示及解一元一次不等式的能力．

3.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？若设小明答对了x道题，则由题意可列出的不等式为(    )

A．10x+5(20﹣x)＞90 B．10x+5(20﹣x)＜90

C．10x﹣5(20﹣x)＞90 D．10x﹣5(20﹣x)＜90

【答案】C

【解析】

解：由题意可列出的不等式为10x﹣5(20﹣x)＞90，

故选：C.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，掌握：答错或不答都扣5分，至少即大于或等于是解题的关键.

4.不等式的非负整数解有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】

解：，

解得：，

则不等式的非负整数解有：0，1，2，3共4个．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确把握非负整数的定义是解题关键．

5．不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解：不等式组整理得：，

∴不等式组的解集为，

故选：C．

【点睛】

此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

6．若关于的代等式组恰有三个整数解，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．或

【答案】B

【解析】

解不等式，得：，

解不等式，得：，

∵不等式组恰有三个整数解，

∴这三个整数解为0、1、2，

∴，

解得，

故选：B．

【点睛】

此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键在于掌握运算法则

7. 不等式组的解为_____________________．

【答案】

【解析】

解：，

由①得，x＞1，

由②得，x≤9．

故不等式组的解集为：．

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

8. 若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

解不等式，得：，

解不等式，得：，

不等式组的解集为，

，

故答案为：．

【点睛】

此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键

9. 不等式组 的最小整数解是_____．

【答案】0

【解析】

解：不等式组整理得： ，

∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，

则最小的整数解为0，

故答案为：0

【点睛】

此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

10. 若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是_____．

【答案】．

【解析】

解：

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集为，

∵不等式组只有两个整数解，

∴，

解得：，

故答案为．

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于m的不等式组，难度适中．

11.解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．

【答案】，x的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．

【解析】

解：

解不等式①，，

解不等式②，，

∴，

解集在数轴上表示如下：

∴x的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．

【点睛】

本题考查不等式组和数轴，解题的关键是熟练掌握不等式组的求解和有理数在数轴上的表示.

12. 为了参加西部博览会，资阳市计划印制一批宣传册．该宣传册每本共10页，由A、B两种彩页构成．已知A种彩页制版费300元/张，B种彩页制版费200元/张，共计2400元．（注：彩页制版费与印数无关）

（1）每本宣传册A、B两种彩页各有多少张？

（2）据了解，A种彩页印刷费2.5元/张，B种彩页印刷费1.5元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过30900元．如果按到资阳展台处的参观者人手一册发放宣传册，预计最多能发给多少位参观者？

【答案】（1）每本宣传册A、B两种彩页各有4和6张；（2）最多能发给1500位参观者．

【解析】

解：（1）设每本宣传册A、B两种彩页各有x，y张，

，

解得：，

答：每本宣传册A、B两种彩页各有4和6张；

（2）设最多能发给a位参观者，可得：，

解得：，

答：最多能发给1500位参观者．

【点睛】

此题考查一元一次不等式的应用，关键是根据题意列出方程组和不等式解答．