2022年中考数学基础题提分讲练专题：23 以圆为背景的证明与计算（含答案）

专题23  以圆为背景的证明与计算

考点分析

【例1】已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．

（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；

（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB= ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．

【答案】（1）详见解析；（2）∠BDE=20°．

【解析】

（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC=90°，

∵DE⊥AB，

∴∠DEA=90°，

∴∠DEA=∠ABC，

∴BC∥DF，

∴∠F=∠PBC，

∵四边形BCDF是圆内接四边形，

∴∠F+∠DCB=180°，

∵∠PCB+∠DCB=180°，

∴∠F=∠PCB，

∴∠PBC=∠PCB，

∴PC=PB；

（2）如图2，连接OD，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∵BG⊥AD，

∴∠AGB=90°，

∴∠ADC=∠AGB，

∴BG∥DC，

∵BC∥DE，

∴四边形DHBC是平行四边形，

∴BC=DH=1，

在Rt△ABC中，AB=，tan∠ACB=，

∴∠ACB=60°，

∴BC=AC=OD，

∴DH=OD，

在等腰△DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，

∴∠ODH=20°，

设DE交AC于N，

∵BC∥DE，

∴∠ONH=∠ACB=60°，

∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°，

∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠DOC=20°，

∴∠CBD=∠OAD=20°，

∵BC∥DE，

∴∠BDE=∠CBD=20°．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，解决第（2）问，作出辅助线，求得∠ODH=20°是解决本题的关键.

【例2】如图，点在半径为8的上，过点作，交延长线于点．连接，且．

（1）求证：是的切线；

（2）求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）证明：连接，交于，

∵，，

∴，

∵，

∴，

即，

∵，

∴，

∴是的切线；

（2）解：∵，∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．

考点集训

1．如图，在中，，，点在的内部，经过，两点，交于点，连接并延长交于点，以，为邻边作．

（1）判断与的位置关系，并说明理由．

（2）若点是的中点，的半径为2，求的长．

【答案】（1）是的切线；理由见解析；（2）的长．

【解析】

（1）是的切线；

理由：连接，

，，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

是的切线；

（2）连接，

点是的中点，

，

，

，

的长．

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）BC=，AD=．

【解析】

（1）如图，连接OE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵BE平分∠ABC，

∴∠OBE=∠CBE，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC，

又∵∠C=90°，

∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，

∴AC为⊙O的切线；

（2）∵ED⊥BE，

∴∠BED=∠C=90°，

又∵∠DBE=∠EBC，

∴△BDE∽△BEC，

∴，即，

∴BC=；

∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，

∴△AOE∽△ABC，

∴，即，

解得：AD=．

点睛：本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

（1）求∠CDE的度数；

（2）求证：DF是⊙O的切线；

（3）若AC=DE，求tan∠ABD的值．

【答案】（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．

【解析】

解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠EDC=90°；

（2）证明：连接DO，

∵∠EDC=90°，F是EC的中点，

∴DF=FC，

∴∠FDC=∠FCD，

∵OD=OC，

∴∠OCD=∠ODC，

∵∠OCF=90°，

∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，

∴DF是⊙O的切线；

（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，

∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，

∴∠DCA=∠E，

又∵∠ADC=∠CDE=90°，

∴△CDE∽△ADC，

∴，

∴DC2=AD•DE

∵AC=2DE，

∴设DE=x，则AC=2x，

则AC2﹣AD2=AD•DE，

期（2x）2﹣AD2=AD•x，

整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，

解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），

则DC=，

故tan∠ABD=tan∠ACD=．

4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．

【答案】（1）60°;(2)证明略;(3)

【解析】

（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，

∴∠ABC=∠D=60°；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴∠BAC=30°，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，

即BA⊥AE，

∴AE是⊙O的切线；

（3）如图，连接OC，

∵OB=OC，∠ABC=60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=BC=4，∠BOC=60°，

∴∠AOC=120°，

∴劣弧AC的长为==．

【点睛】

本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键.

5．如图，为⊙的直径，为⊙上一点，为的中点．过点作直线的垂线，垂足为，连接．

（1）求证：；

（2）与⊙有怎样的位置关系？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）与⊙相切，理由见解析.

【解析】

 (1)连接，

为的中点，

∴，

，

，

；

(2)与⊙相切，理由如下：

，

，

∴∠ODE+∠E=180°，

，

∴∠E=90°，

∴∠ODE=90°，

，

又∵OD是半径，

与⊙相切．

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．

6．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB，

（1）求证：PB是的切线．

（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．

【答案】(1)证明见解析；（2）3．

【解析】

（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，

∴∠OBP=∠E=90°，

∵OB为圆的半径，

∴PB为圆O的切线；

（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，

根据勾股定理得：PD=，

∵PD与PB都为圆的切线，

∴PC=PB=6，

∴DC=PD-PC=10-6=4，

在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8-r，

根据勾股定理得：（8-r）2=r2+42，

解得：r=3，

则圆的半径为3．

考点：切线的判定与性质．

7．如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．

（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．

【答案】（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）8.

【解析】

连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．

（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=8．

考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．

8．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．

(1)求证：直线CD是⊙O的切线．

(2)求证：．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

解：证明：(1)连接OD，

∵AD平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴直线CD是⊙O的切线；

(2)连接BD，

∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

9．如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点作，垂足为点．

（1）求证：直线是的切线；

（2）求证：；

（3）若的半径为4，，求阴影部分的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

解：（1）如图所示，连接，

∵，

∴，

而，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴直线是的切线；

（2）连接，则，则，

则，

∵，，

∴，

而，

∴，

∴，即；

（3）连接，

∵，

∴，

∴，

，

【点睛】

本题主要考查圆的综合性知识，难度系数不大，应该熟练掌握，关键在于做辅助线，这是这类题的难点.

10．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E．

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长．

【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）.

【解析】

（1）直线DE与⊙O相切，

连结OD．

∵AD平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，即，

∴，即，

∴DE是⊙O的切线；

（2）过O作于G，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴四边形AODF是菱形，

∵，，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

11．已知，分别与相切于点，，，为上一点．

（Ⅰ）如图①，求的大小；

（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

解：（Ⅰ）如图，连接．

∵是的切线，

∴，．

即．

∵，

∴在四边形中，．

∵在中，，

∴．

（Ⅱ）如图，连接．

∵为的直径，

∴．

由（Ⅰ）知，，

∴．

∴．

∵在中，，

∴．

又是的一个外角，有，

∴．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键

12．如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点．

(1)求证：是的切线；

(2)若，求的半径．

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

 (1)证明：连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴是的切线；

(2)解：连接，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的半径．

【点睛】

本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

13．如图，在中，为的中点，以为直径的分别交于点两点，过点作于点.

试判断与的位置关系，并说明理由．

若求的长．

【答案】（1）切，理由见解析；（2）

【解析】

（1）相切，

理由：如图，连接，

为的中点，

与相切；

连接，

为的直径，

即，

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

14．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．

（1）求证：直线PB与⊙O相切；

（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．

【答案】(1)证明见解析；（2）

【解析】

（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．

∵⊙O与PA相切于点C，        ∴OC⊥PA．

（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．

∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．

∵⊙O与PA相切于点C，    ∴∠PCF=∠E．

又∵∠CPF=∠EPC，       ∴△PCF∽△PEC，

∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．

∵EF是直径，         ∴∠ECF=90°．

设CF=x，则EC=2x．

则x2+（2x）2=62，     解得x=．

则EC=2x=．