人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课后作业题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课后作业题，共6页。
课时分层作业(九)　平面向量数量积的坐标表示(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为(　　)A.　　　　B．－　　　　C．1　　　　D．－1D　[向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为：＝＝－1，故选D.]2．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，且(a＋c)⊥(a－b)，则m＝(　　)A．3＋   B．3－C．3±   D．－3±C　[∵a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，∴a＋c＝(1＋m，m)，a－b＝(－1，m－5)，∵(a＋c)⊥(a－b)，∴－1－m＋m(m－5)＝m2－6m－1＝0，解得：m＝3±.]3．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于(　　)A．23       B．57  C．63   D．83D　[因为|a|2＝(－4)2＋32＝25，a·b＝(－4)×5＋3×6＝－2，所以3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.]4．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，则sin θ等于(　　)A.       B.        C.        D.A　[设b＝(x，y)，则a＋3b＝(2＋3x,1＋3y)＝(5,4)，所以解得即b＝(1,1)，所以cos θ＝＝，所以sin θ＝＝.]5．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于(　　)A．(2,1)   B．(1,0)C.   D．(0，－1)A　[设向量c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，因为(c＋b)⊥a，所以(c＋b)·a＝x＋1－(y＋2)＝x－y－1＝0，因为(c－a)∥b，所以＝，即2x－y－3＝0.由解得所以c＝(2,1)．]二、填空题6．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝________.－1或2　[已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0，根据向量的坐标运算公式得x2－x－2＝0，解得x＝－1或2.]7．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________．19　[ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，得k＝19.]8．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________．－　[不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)，所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，|a＋b|＝，|a－b|＝，所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为＝－.]三、解答题9．已知向量a，b满足|a|＝，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.(1)求向量a的坐标；(2)求向量a与b的夹角．[解]　(1)设a＝(x，y)，因为|a|＝，则＝，①又因为b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b，2a＋b＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1,2y－3)，所以(2x＋1,2y－3)·(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)×(－3)＝0，即x－3y＋5＝0，②由①②解得或所以a＝(1,2)或a＝(－2,1)．(2)设向量a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝－或cos θ＝＝＝－，因为0≤θ≤π，所以向量a与b的夹角θ＝.10．在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．[解]　∵＝(2,3)，＝(1，k)，∴＝－＝(－1，k－3)．若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝；若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝.综上，k的值为－或或.[等级过关练]1．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)A．λ＞1　　　　　　　　 B．λ＜1C．λ＜－1   D．λ＜－1或－1＜λ＜1D　[由题意可得：a·b＝λ－1＜0，解得：λ＜1，且a与b的夹角不能为180°，即≠，∴λ≠－1，据此可得λ的取值范围是λ＜－1或－1＜λ＜1.]2．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为(　　)A．3   B．5C．7   D．8B　[如图，以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x，则A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，P(0，x)(0≤x≤a)，则＋3＝(2，－x)＋3(1，a－x)＝(5,3a－4x)，所以|＋3|＝≥5.]3．如图所示，已知点A(1,1)，单位圆上半部分上的点B满足·＝0，则向量的坐标为________．　[根据题意可设B(cos θ，sin θ)(0＜θ＜π)，＝(1,1)，＝(cos θ，sin θ)．由·＝0得sin θ＋cos θ＝0，tan θ＝－1，所以θ＝，cos＝－，sin＝，所以＝.]4．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上存在一点P使·有最小值，则点P的坐标是________．(3,0)　[设点P的坐标是(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，所以·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，·取得最小值，故点P的坐标为(3,0)．]5．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．[解]　(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴＝(1,1)，＝(－3,3)，又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD.(2)⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，∴得∴C点坐标为(0,5)．由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，所以·＝8＋8＝16＞0，||＝2，||＝2.设与夹角为θ，则cos θ＝＝＝＞0，∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.