高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算练习

课时分层作业(十七)　复数的加、减运算及其几何意义

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝(　　)

A.　　　B．－　　　C．－　　　D．5

B　[(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，故有a＋b＝－.]

2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)

A．－2      B．4       C．3       D．－4

B　[z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.]

3．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)

A．3        B．2       C．1        D．－1

D　[z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.]

4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　)

A．2＋4i   B．－2＋4i

C．－4＋2i   D．4－2i

D　[依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D.]

5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是(　　)

A．2        B．3       C．4        D．5

B　[设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图

所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.]

二、填空题

6．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝        .

3　[由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以

解得a＝3.]

7．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则对应的复数为        ．

4－4i　[＝－＝－(＋)，对应的复数为3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i.]

8．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝        .

－1＋10i　[∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，

∴即

∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.]

三、解答题

9．计算：

(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)；

(2)4－(5＋12i)－i；

(3)若z－(－3＋5i)＝－2＋6i，求复数z.

[解]　(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i＝3＋7i.

(2)4－(5＋12i)－i＝(4－5)＋(－12－1)i＝－1－13i.

(3)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z－(－3＋5i)＝－2＋6i，所以(x＋yi)－(－3＋5i)＝－2＋6i，

即(x＋3)＋(y－5)i＝－2＋6i，因此

解得于是z＝－5＋11i.

法二：由z－(－3＋5i)＝－2＋6i可得z＝－2＋6i＋(－3＋5i)，所以z＝(－2－3)＋(6＋5)i＝－5＋11i.

10．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．

[解]　如图所示.

对应复数z3－z1，

对应复数z2－z1，

对应复数z4－z1.

由复数加减运算的几何意义，得＝＋，

∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，

∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.

∴AD的长为||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.

[等级过关练]

1．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)

A　[由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)，故选A.]

2．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(　　)

A．0       B．1  C.  D.

C　[由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，即为.]

3．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝        .

－4i　[设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，

则所以

所以z＝－4i.]

4．若复平面上的▱ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，则对应的复数是        ．

－1－7i　[设AC与BD交于点O，则有＝＋＝＋＝－(＋)．于是对应的复数为－[(6＋8i)＋(－4＋6i)]＝－1－7i.]

5．设z为复数，且|z|＝|z＋1|＝1，求|z－1|的值．

[解]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋1＝(a＋1)＋bi，

又|z|＝|z＋1|＝1，所以

即解得

故|z－1|＝|(a＋bi)－1|＝|(a－1)＋bi|＝＝＝.