人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行综合训练题

课时分层作业(二十八)　平面与平面平行

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．下列命题正确的有(　　)

①如果两个平面不相交，那么它们平行；②如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；③空间两个相等的角所在的平面平行．

A．0个　　　　B．1个　　　　C．2个　　　　D．3个

B　[对①，由两个平面平行的定义知正确；对②，若这无数条直线都平行，则这两个平行可能相交，②错误；对③，这两个角可能在同一平面内，故③错误．]

2．下列命题：

①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；

②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；

③夹在两个平行平面间的平行线段相等．

其中正确的命题的个数为(　　)

A．1       B．2      C．3        D．0

C　[根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.]

3．平面α∥平面β，点A、C在平面α内，点B、D在平面β内，若AB＝CD，则AB，CD的位置关系是(　　)

A. 平行   B. 相交

C. 异面   D. 以上都有可能

D　[可将AB与CD想象为同高圆台的母线，显然相交、平行、异面都有可能．]

4．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C(　　)

A. 不共面

B. 不论A，B如何移动，都共面

C. 当且仅当A，B分别在两直线上移动时才共面

D. 当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

B　[如图，不论点A，B如何移动，点C都共面，且所在平面与平面α、平面β平行．]

5．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′. 若PA′∶AA′＝2∶5，则△A′B′C′与△ABC的面积比为(　　)

A. 2∶5   B. 2∶7

C. 4∶49   D. 9∶25

C　[因为平面α∥平面ABC，A′B′⊂α，AB⊂平面ABC，

所以A′B′∥AB. 所以A′B′∶AB＝PA′∶PA.

又PA′∶AA′＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶7.

同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7，

所以△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49.]

二、填空题

6．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是        ．

相交或平行　[b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．]

7．如图，四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是        ．

平行四边形　[因为平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1. 又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD.同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．]

8．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为        ．

a⊂β或a∥β　[若a⊂β，则显然满足题目条件．若a⊄β，过直线a作平面γ，γ∩α＝b，γ∩β＝c，于是由直线a∥平面α得a∥b，由α∥β得b∥c，所以a∥c，又a⊄β，c⊂β，所以a∥β.]

三、解答题

9．如图，在四棱锥P­ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.

求证：平面EFO∥平面PCD.

 [证明]　因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，

所以点O为BD的中点．

又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.

又OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

所以OF∥平面PCD，

因为点O，E分别是AC，PA的中点，所以OE∥PC，

又OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，

所以OE∥平面PCD.

又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O，

所以平面EFO∥平面PCD.

10．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.

求证：N为AC的中点．

[证明]　∵平面AB1M∥平面BC1N，

平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，

平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，

∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，

∴四边形ANC1M为平行四边形，

∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，∴N为AC的中点．

[等级过关练]

1．棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积为(　　)

A．2        B．4       C.         D．5

C　[如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求MN＝，CD1＝2，MD1＝NC＝，

所以此截面的面积

S＝×(＋2)×＝.]

2．如图，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E、F分别是AB、CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝        .

　[因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD，因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.

因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，所以G是PD的中点，因为PA＝PB＝AB＝2，所以

PE＝2×sin 60°＝.所以GH＝PE＝.]