高中数学必修一 海南省临高县临高中学-2020学年高一上学期期末数学试题（含答案）

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

试题分析：由已知，所以

考点：集合的运算

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2.已知，则“”是“”的        (     )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

因为,所以0<a<2;所以“”是“”的必要不充分条件

3.设，则的大小关系是(　　)

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

因为，

，所以；故选B.

4.已知为第三象限角，则所在的象限是(  )．

A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限

C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：为第三象限角，

当时，当时，在第二或第四象限

考点：角的概念的推广

点评：角的范围推广到任意角后与角终边相同的角为

5.函数的最大值是3，则它的最小值是（    ）

A. 0 B. 1 C.  D. 与有关

【答案】C

【解析】

【分析】

设，转化为在上的最大值是3,分的符号进行分类讨论，先求出的值，再求其最小值.

【详解】设，

当时，不满足条件.

当时,当时，有最大值3，

即，则，则当时，有最小值-1，

当时, 当时，有最大值3，

即，则，则当时，有最小值-1，

综上的最小值是-1.

故选：C.

【点睛】本题考查正弦函数的最值，还可以由函数的最大值是3，得到，函数的最小值为，从而得到函数的最小值，属于基础题.

6.设函数是定义在R上的奇函数，当时，则的零点个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

试题分析：时，由数形结合知，此时有一个零点．依据奇函数的对称性知，时也有一个零点．又因为奇函数定义域为全体实数，所以，即过原点．因此共有3个零点．选C．

考点：函数零点问题，‚奇函数图像性质．

7.要得到函数y=cos()的图像，只需将y=sin的图像( )

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

【答案】A

【解析】

试题分析：本题考查三角函数的图像平移问题，要注意将函数解析式变为，然后根据“左加右减”的口诀平移即可.

考点：三角函数图像平移.

8.若且则的值是(      ).

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

由题设，又，则，所以，，应选答案C．

点睛：角変换是三角变换中的精髓，也是等价化归与转化数学思想的具体运用，求解本题的关键是巧妙地将一个角变为已知两角的差，再运用三角变换公式进行求解．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据集合中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.

【详解】对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误.

对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确.

对于C选项，锐角第一象限角，故C选项正确.

对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.

故选：BC

【点睛】本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.

10.下列函数中，在区间上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据基本初等函数的单调性，对选项进行逐一判断即可.

【详解】选项A，在上单调递增，所以A正确.

选项B，在上单调递增，所以B正确.

选项C，在上单调递增，所以C正确.

选项D，在上单调递减，所以D不正确.

故选：ABC.

【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，属于基础题.

11.下列函数，最小正周期为的偶函数有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】

对选项逐一分析函数的奇偶性和最小正周期，由此选出正确选项.

【详解】对于A选项，函数为奇函数，不符合题意.

对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数，符合题意.

对于C选项，函数的最小正周期为，不符合题意.

对于D选项，函数，是最小正周期为的偶函数，符合题意.

故选：BD

【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题.

12.定义运算，设函数，则下列命题正确的有（    ）

A. 的值域为

B. 的值域为

C. 不等式成立的范围是

D. 不等式成立的范围是

【答案】AC

【解析】

分析】

根据题目给出的定义运算法则先求出的表达式，然后作出函数图像，根据函数图像可得答案.

【详解】由函数，有,

即，作出函数的图像如下，

根据函数图像有的值域为，

若不等式成立，由函数图像有

当即时成立，

当即时也成立.

所以不等式成立时，.

故选：AC.

【点睛】本题考查在新的概念下解决函数的性质问题，考查指数函数的性质，关键是弄清楚新定义的意义，属于基础题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数（且）的图象恒过定点，则________.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据指数函数图像过定点的知识，求得的值，进而求得的值.

【详解】根据指数函数过定点的知识可知，解得，所以.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查指数型函数过定点问题，属于基础题.

14.若，则________

【答案】

【解析】

【分析】

利用诱导公式，求得所求表达式的值.

【详解】依题意.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，属于基础题.

15.已知则的最小值是     .

【答案】4

【解析】

lg 2x＋lg 8y＝xlg2＋3ylg 2＝lg 2，∴x＋3y＝1，

∴＝·(x＋3y)＝2＋≥4，当且仅当x＝，y＝时取等号．

16.关于函数有下列命题，其中正确的是___________.（填序号）

①的表达式可改写为；

②是以为最小正周期的周期函数；

③的图像关于点对称；

④的图像关于直线对称.

【答案】①③

【解析】

【分析】

根据诱导公式，周期的公式，对称中心和对称轴的公式，分别判断四个命题的正确性，得到答案.

【详解】因为，所以①正确；

的最小正周期为，易得②不正确；

，故是对称中心，③正确，④不正确.

【点睛】本题考查命题的判断，求三角函数的周期，对称中心和对称轴，属于简单题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知，求：

（1）的值.

（2）的值.

【答案】（1）-3；（2）.

【解析】

【分析】

（1）原式分子分母除以cosx，利用同角三角函数间基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值；（2）原式分母看做“1”，利用同角三角函数间基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．

【详解】（1）∵tanx＝2，

∴；

（2）∵tanx＝2，

∴2sin2x﹣sinxcosx+cos2x．

【点睛】本题题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，是基础题

18.已知 ．

(1)求 的值；

(2)求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据同角三角函数的基本关系即可求解.

（2）由二倍角公式，诱导公式求值即可.

【详解】（1），

，

 （2） ，

且，，

原式    

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式，需熟记公式，属于基础题.

19.已知函数.

（1）求证：函数为奇函数；

（2）用定义证明：函数在上是增函数

【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）先求得函数的定义域，然后证得，由此证得为奇函数.

（2）利用函数单调性定义，计算，由此证得在上为增函数.

【详解】（1）证明：函数的定义域关于原点对称

所以函数为奇函数

（2）设，且，则

∵，∴，∴，∴

∴，∴，即

∴在上是增函数

【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的证明，考查函数单调性的证明，属于基础题.

20.已知(a＞0且a≠1)

（1）求f（x）的定义域 ;  

（2）求使f（x）＞0成立的x的取值范围.

【答案】（1）{x|x<1}（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据函数的解析式，则满足，即求解函数的定义域；

（2）由，即，分类讨论即可求解不等式的解集；

【详解】（1）依题意得1-x>0，                    

解得x<1                                     

故所求定义域{x|x<1}                           

（2）由f（x）>0得        

当a>1时，1-x>1即x<0                   

当0<a<1时，0<1-x<1即0<x<1             

综上，当a>1时，x的取值范围是{x|x<0},

当0<a<1时，x的取值范围是{x|0<x<1}

【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域的求解，以及与对数有关的不等式的求解，其中熟记对数函数的图象与性质是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

21.已知函数，求：

（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；

（2）函数y单调递增区间

【答案】（1）最大值为2,  最小值为－2最小正周期（2）

【解析】

【分析】

（1）先根据配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最值以及周期，（2）根据正弦函数求单调递增区间.

【详解】解：(1)∵ y=2()        

=2()    

=2sin()                 

∴ 函数y的最大值为2,                  

最小值为－2                         

最小正周期             

（2）由，得         

函数y的单调递增区间为：

【点睛】研究三角函数性质，关键先根据三角恒等变换化为基本三角函数形式，再根据正余弦函数或正切函数性质求对应性质.

22.某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．

(1)试求的函数关系式；

(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．

【答案】（1）；（2）能，见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据所给的函数图像先求出当t∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点，代入函数求出t∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可.

(2)对分段函数，分别解不等式，求出的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断.

【详解】解：（1）当t∈(0,14]时，设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，

将点(14,81)代入得c＝－，

∴当t∈(0,14]时，p＝f(t)＝－ (t－12)2＋82；

当t∈(14,40]时，将点(14,81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝.

所以p＝f(t)＝

(2)当t∈(0,14]时，－ (t－12)2＋82≥80，

解得:，

所以；

当t∈(14,40]时，log (t－5)＋83≥80，

解得5<t≤32，所以t∈(14,32]，

综上时学生听课效果最佳.

此时

所以，教师能够合理安排时间讲完题目.

【点睛】本题考查分段函数，函数与方程的思想，用函数解决实际问题的关键是建立数学模型，属于基础题.