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人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系试讲课ppt课件
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这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系试讲课ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了学习目标，新知学习，即时巩固，题型训练，方法感悟等内容，欢迎下载使用。
1.理解函数的零点与方程的根、不等式的解集之间的关系.2.能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在情况及求一元二次不等式的解集.3.会根据函数零点存在定理判断函数在某一区间上零点的存在性及零点个数，会根据函数零点的情况求参数.4.理解求函数零点近似值的基本思想，会用二分法求零点的近似值.核心素养：数学运算、直观想象
尝试与发现已知函数f（x）＝x-1，我们知道，这个函数的定义域为R，而且可以求出，方程f（x）＝0的解集为{1} ，不等式f（x）>0的解集为（1，+∞），不等式f（x）<0的解集为（-∞，1） . 在图3-2-1中作出函数f（x）＝x-1的图像，总结上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图像之间的关系.
由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合.具体来说，假设函数f（x）的定义域为D，若A＝{x∈D | f（x）<0}，B＝{x∈D | f（x）＝0}， C＝{x∈D | f（x）>0}，显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D＝A∪B∪C.
1.函数零点一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于零，即f（α）＝0，则称α为函数y＝f（x）的零点.上述集合B就是函数所有零点组成的集合.
不难看出，α是函数f（x）零点的充分必要条件是，（α，0）是函数图像与x轴的公共点.因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集.
强调（1）函数的零点是一个实数，而不是一个点.例如，函数f（x）＝x+1的零点是-1，而不是（-1，0）. （2）并不是所有的函数都有零点，如f（x）＝1，f（x）＝x2+1就没有零点. （3）若函数有零点，则零点一定是函数定义域内的实数. （4）函数F（x）＝f（x）-g（x）的零点就是方程f（x）＝g（x）的实数根，也就是函数y1＝f（x）与y2＝g（x）的图像交点的横坐标.
2.函数的零点与方程的根、不等式的解集的关系依照零点的定义可知，求函数y＝f（x）的零点，实质上就是要解方程f（x）＝0，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数图像与x轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似f（x）>0等不等式的解集.
解 由图可知，f（x）＝0的解集为{-5，-3，-1，2，4，6}.f（x）>0的解集为（-5，-3）∪（2，4）∪（4，6）.f（x）≤0的解集为［-6，-5］∪［-3，2］∪{4，6} .
例1 如图所示是函数y＝f（x）的图像，分别写出f（x）＝0，f（x）>0，f（x）≤0的解集.
二次函数的零点及对应方程、不等式解集之间的关系
我们已经知道怎样求解一元二次方程，而且也知道二次函数的图像是抛物线，因此可以借助二次函数的图像得到一元二次不等式的解集.
例2 利用函数求下列不等式的解集：（1）x2-x-6<0；（2）x2-x-6≥0.
解 设f（x）＝x2-x-6，令f（x）＝0，得x2-x-6＝0，即（x-3）（x+2）＝0，从而x＝3或x＝-2.因此，3和-2都是函数f（x）的零点，从而f（x）的图像与x轴相交于（3，0）和（-2，0），又因为函数图像是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图像的示意图，如图所示.由图可知：（1）所求解集为（-2，3）；（2）所求解集为（-∞，-2］∪［3，+∞）..
例3 利用函数求下列不等式的解集：（1）-x2-2x-3≥0； （2）-x2-2x-3<0.
解 设f（x）＝-x2-2x-3，令f（x）＝0，得x2+2x+3＝0，即（x+1）2＝-2，该方程无解.因此函数f（x）无零点，从而f（x）的图像与x轴没有交点，又因为函数图像是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图像的示意图，如图所示.由图可知：（1）所求解集为；（2）所求解集为R.
例4 利用函数求下列不等式的解集：（1）x2-4x+4>0；（2）x2-4x+4≤0.
解 设f（x）＝x2-4x+4，令f（x）＝0，得x2-4x+4＝0，即（x-2）2＝0，从而x＝2.因此，函数f（x）的零点为2，从而f（x）的图像与x轴相交于（2，0），又因为函数图像是开口向上的抛物线，所以可知：（1）所求解集为（-∞，2）∪（2，+∞）；（2）所求解集为{2}.一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）：（1）当Δ＝b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c＝0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f（x）的两个零点，f（x）的图像与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0）；（2）当Δ＝b2-4ac＝0时，方程ax2+bx+c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f（x）唯一的零点，f（x）的图像与x轴有一个公共点；（3）当Δ＝b2-4ac<0时，方程ax2+bx+c＝0没有实数根，此时f（x）无零点，f（x）的图像与x轴没有公共点.
一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式. 但是，对于次数大于或等于3的多项式函数（例如f（x）＝ax3+bx2+cx+d，其中a≠0），以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事（事实上，数学家们已经证明：次数大于4的多项式方程，不存在通用的求根公式）.因此，我们有必要探讨什么情况下一个函数一定存在零点.
零点的存在性及其近似值的求法
尝试与发现如图所示，已知A，B都是函数y＝f（x）图像上的点，而且函数图像是连接A，B两点的连续不断的线，作出3种y＝f（x）的可能的图像. 判断f（x）是否一定存在零点，总结出一般规律.
可以看出，尝试与发现中的函数f（x）在区间（a，b）中一定存在零点.
函数零点存在定理是判定函数零点存在的依据.对于函数零点存在定理，应注意以下几点：（1）定理要求具备两个条件：①函数在区间［a，b］上的图像是连续不断的；② f（a）f（b）<0.（2）利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数. （3）若函数y＝f（x）的图像是一条连续不断的曲线，则由f（a）f（b）<0可以推出函数y＝f（x）在区间（a，b）内存在零点.（4）如果单调函数y＝f（x）在区间［a，b］上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f（a）f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有唯一的零点.利用这一性质可以确定函数零点的准确个数.
证明 因为f（0）＝2>0，f（-2）＝-8+4+2＝-2<0，所以 f（-2）f（0）<0，因此x0∈（-2，0），f（x0）＝0，即结论成立..
例5 求证：函数f（x）＝x3-2x+2至少有一个零点.
2.二分法求函数零点的近似值尝试与发现如果在区间（-2，0）中任取一个数作为x0的近似值，那么误差小于多少？如果取区间（-2，0）的中点作为x0的近似值，那么误差小于多少？怎样才能不断缩小误差？
提示如果在区间（-2，0）中任取一个数作为x0的近似值，误差小于2；如果取区间（-2，0）的中点作为x0的近似值，误差小于1.一般地，求x0的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示.
这些步骤可用如图所示的框图表示.
4.二次函数的零点分布（一元二次方程根的分布）问题已知二次函数的零点分布求参数设x1，x2是函数f（x）＝ax2+bx+c（a>0）的两个零点（不妨设x1
题型1 函数的零点个数问题
判断函数零点个数的三种方法（1）解方程法：转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.（2）函数图像法：画出y＝f（x）的图像，判断它与x轴交点的个数，从而判断函数y＝f（x）的零点的个数.（3）图像交点法：转化为两个函数图像的交点问题.例如，函数F（x）＝f（x）-g（x）的零点个数就是方程f（x）＝g（x）的实数根的个数，也就是函数y＝f（x）的图像与y＝g（x）的图像交点的个数.
题型2 判断函数零点（方程的根）所在区间
例2 函数f（x）＝x3+x-7的零点所在的一个区间是（ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）
解析 ∵ f（x）＝x3+x-7，∴ f（0）＝-7<0，f（1）＝-5<0，f（2）＝3>0，f（3）>0，f（4）>0，∴ f（1）·f（2）<0.又函数的图像是连续不断的，∴ 函数f（x）的零点所在的一个区间为（1，2）.答案 B
判断函数零点所在区间的方法和步骤（1）方法：定理法，即利用零点存在定理.（2）步骤：①代入，将区间端点代入函数解析式求出函数值.②判断，把所得函数值相乘，并进行符号判断.③总结，若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点；若符号为负且函数图像连续，则在该区间内至少有一个零点.
题型3 已知函数零点个数或所在区间求参数
解析 （1）函数f（x）＝2|x-1|+x-a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x-1|+x与y＝a的图像有且仅有两个交点.分别作出函数y＝2|x-1|+x与y＝a的图像，如图所示.由图易知，当a>1时，两函数的图像有两个不同的交点，故实数a的取值范围是（1，+∞）.
已知函数零点个数或所在区间求参数取值范围的常用方法（1）直接法：直接根据题设条件列出关于参数的不等式（组），解不等式（组）即可.（2）分离参数法：将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决. （3）数形结合法：将问题转化为两个函数图像交点问题求解，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结合求解.
题型4 二次函数零点（一元二次方程的根）的分布问题
例4 若关于x的方程x2-4x-2-a＝0在区间（1，4）内有解，则实数a的取值范围是 .
解决二次函数零点（一元二次方程的根）的分布问题的方法（1）分离参数法：通过分离参数，转化为函数图像之间的关系，进而求解.（2）图像法：利用二次函数的图像求解.一般需要考虑四个方面：①判别式；②端点函数值的正负；③对称轴与区间的位置关系；④开口方向.
题型5 用二分法求方程的近似解（函数零点的近似值）
例5 求函数f（x）＝x3+2x2-3x-6的一个正零点的近似值（精确度小于0.1）.
二分法求函数零点的近似值的解法（1）定区间：估计零点所在的初始区间（m，n）（m
1.理解函数的零点与方程的根、不等式的解集之间的关系.2.能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在情况及求一元二次不等式的解集.3.会根据函数零点存在定理判断函数在某一区间上零点的存在性及零点个数，会根据函数零点的情况求参数.4.理解求函数零点近似值的基本思想，会用二分法求零点的近似值.核心素养：数学运算、直观想象
尝试与发现已知函数f（x）＝x-1，我们知道，这个函数的定义域为R，而且可以求出，方程f（x）＝0的解集为{1} ，不等式f（x）>0的解集为（1，+∞），不等式f（x）<0的解集为（-∞，1） . 在图3-2-1中作出函数f（x）＝x-1的图像，总结上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图像之间的关系.
由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合.具体来说，假设函数f（x）的定义域为D，若A＝{x∈D | f（x）<0}，B＝{x∈D | f（x）＝0}， C＝{x∈D | f（x）>0}，显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D＝A∪B∪C.
1.函数零点一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于零，即f（α）＝0，则称α为函数y＝f（x）的零点.上述集合B就是函数所有零点组成的集合.
不难看出，α是函数f（x）零点的充分必要条件是，（α，0）是函数图像与x轴的公共点.因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集.
强调（1）函数的零点是一个实数，而不是一个点.例如，函数f（x）＝x+1的零点是-1，而不是（-1，0）. （2）并不是所有的函数都有零点，如f（x）＝1，f（x）＝x2+1就没有零点. （3）若函数有零点，则零点一定是函数定义域内的实数. （4）函数F（x）＝f（x）-g（x）的零点就是方程f（x）＝g（x）的实数根，也就是函数y1＝f（x）与y2＝g（x）的图像交点的横坐标.
2.函数的零点与方程的根、不等式的解集的关系依照零点的定义可知，求函数y＝f（x）的零点，实质上就是要解方程f（x）＝0，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数图像与x轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似f（x）>0等不等式的解集.
解 由图可知，f（x）＝0的解集为{-5，-3，-1，2，4，6}.f（x）>0的解集为（-5，-3）∪（2，4）∪（4，6）.f（x）≤0的解集为［-6，-5］∪［-3，2］∪{4，6} .
例1 如图所示是函数y＝f（x）的图像，分别写出f（x）＝0，f（x）>0，f（x）≤0的解集.
二次函数的零点及对应方程、不等式解集之间的关系
我们已经知道怎样求解一元二次方程，而且也知道二次函数的图像是抛物线，因此可以借助二次函数的图像得到一元二次不等式的解集.
例2 利用函数求下列不等式的解集：（1）x2-x-6<0；（2）x2-x-6≥0.
解 设f（x）＝x2-x-6，令f（x）＝0，得x2-x-6＝0，即（x-3）（x+2）＝0，从而x＝3或x＝-2.因此，3和-2都是函数f（x）的零点，从而f（x）的图像与x轴相交于（3，0）和（-2，0），又因为函数图像是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图像的示意图，如图所示.由图可知：（1）所求解集为（-2，3）；（2）所求解集为（-∞，-2］∪［3，+∞）..
例3 利用函数求下列不等式的解集：（1）-x2-2x-3≥0； （2）-x2-2x-3<0.
解 设f（x）＝-x2-2x-3，令f（x）＝0，得x2+2x+3＝0，即（x+1）2＝-2，该方程无解.因此函数f（x）无零点，从而f（x）的图像与x轴没有交点，又因为函数图像是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图像的示意图，如图所示.由图可知：（1）所求解集为；（2）所求解集为R.
例4 利用函数求下列不等式的解集：（1）x2-4x+4>0；（2）x2-4x+4≤0.
解 设f（x）＝x2-4x+4，令f（x）＝0，得x2-4x+4＝0，即（x-2）2＝0，从而x＝2.因此，函数f（x）的零点为2，从而f（x）的图像与x轴相交于（2，0），又因为函数图像是开口向上的抛物线，所以可知：（1）所求解集为（-∞，2）∪（2，+∞）；（2）所求解集为{2}.一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）：（1）当Δ＝b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c＝0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f（x）的两个零点，f（x）的图像与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0）；（2）当Δ＝b2-4ac＝0时，方程ax2+bx+c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f（x）唯一的零点，f（x）的图像与x轴有一个公共点；（3）当Δ＝b2-4ac<0时，方程ax2+bx+c＝0没有实数根，此时f（x）无零点，f（x）的图像与x轴没有公共点.
一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式. 但是，对于次数大于或等于3的多项式函数（例如f（x）＝ax3+bx2+cx+d，其中a≠0），以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事（事实上，数学家们已经证明：次数大于4的多项式方程，不存在通用的求根公式）.因此，我们有必要探讨什么情况下一个函数一定存在零点.
零点的存在性及其近似值的求法
尝试与发现如图所示，已知A，B都是函数y＝f（x）图像上的点，而且函数图像是连接A，B两点的连续不断的线，作出3种y＝f（x）的可能的图像. 判断f（x）是否一定存在零点，总结出一般规律.
可以看出，尝试与发现中的函数f（x）在区间（a，b）中一定存在零点.
函数零点存在定理是判定函数零点存在的依据.对于函数零点存在定理，应注意以下几点：（1）定理要求具备两个条件：①函数在区间［a，b］上的图像是连续不断的；② f（a）f（b）<0.（2）利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数. （3）若函数y＝f（x）的图像是一条连续不断的曲线，则由f（a）f（b）<0可以推出函数y＝f（x）在区间（a，b）内存在零点.（4）如果单调函数y＝f（x）在区间［a，b］上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f（a）f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有唯一的零点.利用这一性质可以确定函数零点的准确个数.
证明 因为f（0）＝2>0，f（-2）＝-8+4+2＝-2<0，所以 f（-2）f（0）<0，因此x0∈（-2，0），f（x0）＝0，即结论成立..
例5 求证：函数f（x）＝x3-2x+2至少有一个零点.
2.二分法求函数零点的近似值尝试与发现如果在区间（-2，0）中任取一个数作为x0的近似值，那么误差小于多少？如果取区间（-2，0）的中点作为x0的近似值，那么误差小于多少？怎样才能不断缩小误差？
提示如果在区间（-2，0）中任取一个数作为x0的近似值，误差小于2；如果取区间（-2，0）的中点作为x0的近似值，误差小于1.一般地，求x0的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示.
这些步骤可用如图所示的框图表示.
4.二次函数的零点分布（一元二次方程根的分布）问题已知二次函数的零点分布求参数设x1，x2是函数f（x）＝ax2+bx+c（a>0）的两个零点（不妨设x1
题型1 函数的零点个数问题
判断函数零点个数的三种方法（1）解方程法：转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.（2）函数图像法：画出y＝f（x）的图像，判断它与x轴交点的个数，从而判断函数y＝f（x）的零点的个数.（3）图像交点法：转化为两个函数图像的交点问题.例如，函数F（x）＝f（x）-g（x）的零点个数就是方程f（x）＝g（x）的实数根的个数，也就是函数y＝f（x）的图像与y＝g（x）的图像交点的个数.
题型2 判断函数零点（方程的根）所在区间
例2 函数f（x）＝x3+x-7的零点所在的一个区间是（ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）
解析 ∵ f（x）＝x3+x-7，∴ f（0）＝-7<0，f（1）＝-5<0，f（2）＝3>0，f（3）>0，f（4）>0，∴ f（1）·f（2）<0.又函数的图像是连续不断的，∴ 函数f（x）的零点所在的一个区间为（1，2）.答案 B
判断函数零点所在区间的方法和步骤（1）方法：定理法，即利用零点存在定理.（2）步骤：①代入，将区间端点代入函数解析式求出函数值.②判断，把所得函数值相乘，并进行符号判断.③总结，若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点；若符号为负且函数图像连续，则在该区间内至少有一个零点.
题型3 已知函数零点个数或所在区间求参数
解析 （1）函数f（x）＝2|x-1|+x-a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x-1|+x与y＝a的图像有且仅有两个交点.分别作出函数y＝2|x-1|+x与y＝a的图像，如图所示.由图易知，当a>1时，两函数的图像有两个不同的交点，故实数a的取值范围是（1，+∞）.
已知函数零点个数或所在区间求参数取值范围的常用方法（1）直接法：直接根据题设条件列出关于参数的不等式（组），解不等式（组）即可.（2）分离参数法：将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决. （3）数形结合法：将问题转化为两个函数图像交点问题求解，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结合求解.
题型4 二次函数零点（一元二次方程的根）的分布问题
例4 若关于x的方程x2-4x-2-a＝0在区间（1，4）内有解，则实数a的取值范围是 .
解决二次函数零点（一元二次方程的根）的分布问题的方法（1）分离参数法：通过分离参数，转化为函数图像之间的关系，进而求解.（2）图像法：利用二次函数的图像求解.一般需要考虑四个方面：①判别式；②端点函数值的正负；③对称轴与区间的位置关系；④开口方向.
题型5 用二分法求方程的近似解（函数零点的近似值）
例5 求函数f（x）＝x3+2x2-3x-6的一个正零点的近似值（精确度小于0.1）.
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