数学八年级上册13.3.2 等边三角形精练

这是一份数学八年级上册13.3.2 等边三角形精练，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
《13．3．2等边三角形》课时练
一、选择题
1．如图，已知和都是等边三角形，且 、、三点共线．与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的有（ ）个

A．5 B．4 C．3 D．2
2．已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）

A． B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有四个结论：①AC⊥BD；②BC=DC；③△ABC≌△ADC；④△ABD 是等边三角形．其中正确的是( )

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
4．如图点在同一条直线上，都是等边三角形，相交于点O，且分别与交于点，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PA=CQ 时，连PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为（ ）

A．0．5 B．1 C．0．25 D．2
6．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，OP=8，在OA、OB上分别取点M、N，使△OMN的周长最短，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
7．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．设是边长为的正三角形内的一点，到三边的距离分别为．若以为边可以组成三角形，则应满足的条件为（）
A． B． C． D．
9．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝3．若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）

A．12 B．9 C．6 D．3
二、填空题
11．如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为_____．

12．已知等边的边长为3，点在直线上，点在直线上，且，若，则的长为______．
13．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．

14．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．

15．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD=72°，则∠AEB的度数是______．


三、解答题
16．在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．

（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
17．在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ=6，PQ//AC求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形．
（3）如图3，将边长为9的等边三角形ABC变换为AB，AC为腰，BC为底的等腰三角形，且AB=AC=10，BC=8，点P运动到AB中点处静止，点M，N分别为BC，AC上动点，点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当全等时，求a的值．

18．如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．

（1）求证：BF∥AC；
（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；
（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD＋BF．
19．小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：

（1）取特殊情况，探索讨论：当点为的中点时，如图（2），确定线段与的大小关系，请你写出结论：_____（填“”，“”或“”），并说明理由．
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，与的大小关系是：_____（填“”，“”或“”）．理由如下：
如图（3），过点作EF∥BC，交于点．（请你将剩余的解答过程完成）
（3）拓展结论，设计新题：在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且，若△的边长为，，求的长（请你画出图形，并直接写出结果）．
20．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=　　　　，∠DCE=　　　　，BC、DC、CE之间的数量关系为　　　　；
（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．

21．如图，在中，，，点为内一点，且．

（1）求证：；
（2）若，为延长线上的一点，且．
①求的度数．
②若点在上，且，请判断、的数量关系，并说明理由．
③若点为直线上一点，且为等腰，直接写出的度数．
22．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，BD、CE交于点F．
（1）求证：BD=CE；
（2）求∠EFB的度数．

23．（1）如图1，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点，求证：．
（2）如图2，在中，若，分别以，和为边在外部作等边，等边，等边，连接、、恰交于点．
①求证：；
②如图2，在（2）的条件下，试猜想，，与存在怎样的数量关系，并说明理由．













参考答案
1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．D 8．B 9．A 10．D
11．1
12．3或9
13．
14．20°
15．132°
16．（1）证明：如图1所示：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，BC= AB ．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30°．
∴DA=DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE=BE= AB ．
∴BC=BE．
∴△EBC是等边三角形；
（2）结论：AD=DG+DM．
证明：
如图2所示：

延长ED使得DW=DM，连接MW，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，
又∵DM=DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW=DM，
在△NGM和△DBM中，

∴△WGM≌△DBM，
∴BD=WG=DG+DM，
∴AD=DG+DM．
（3）结论：AD=DG﹣DN．
证明：如图

延长BD至H，使得DH=DN．
由（1）得DA=DB，∠A=30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2=∠3=60°．
∴∠4=∠5=60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH=ND，∠H=∠6=60°．
∴∠H=∠2．
∵∠BNG=60°，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．
即∠DNG=∠HNB．
在△DNG和△HNB中，
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG=HB．
∵HB=HD+DB=ND+AD，
∴DG=ND+AD．
∴AD=DG﹣ND．
17．解：（1）是等边三角形，
，
PQ//AC，
，
，
是等边三角形，
，
由题意可知：，则，
，
解得：，
故t的值为3；
（2）①当点Q在边BC上时，
已知此时不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若为等边三角形，则，
由题意可知，，，
，
，
解得：，
故当时，为等边三角形；
（3）由题意可知：，，，
则，
若≌，
则，即：，
解得：；
若≌，
则，即：，
解得：；
综上所述：当全等时，a的值为1或．
18．解：（1）如图1，

∵△ABC和△EFC都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECF=∠A= 60°，AC=BC，CE=FC，
∴∠1+∠3=∠2+∠3，
∴∠1=∠2，
在△ACE与△FCB中，
,
∴△ACE≌△FCB，
∴∠CBF=∠A =60°，
∴∠CBF =∠ACB，
∴AC∥BF；
（2）△AEG是等边三角形，理由如下：
如图，过E作EG∥BC交AC于G，

∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEG=∠AGE=60°，
∴△AEG是等边三角形．
（3）如图2，过E作EG∥BC交AC于G，

由（2）可知△AEG是等边三角形，
∴AE=EG=AG，∠GAE=∠AGC=60°，
∴∠DAE=∠EGC=120°，
∵DE=CE，
∴∠D=∠1，
∴△ADE≌△GCE，
∴AD=CG，
∴AC=AG+CG=AG+AD，
由（1）得△ACE≌△FCB，
∴BF=AE，
∴BF=AG，
∴AC=BF+AD，
∴AB=BF+AD．
19．解：（1），理由如下：
，

∵△是等边三角形，，
点为的中点，
，，，
，
，
；
故答案为：；
（2），理由如下：
如图3：

∵△为等边三角形，且EF∥BC，
，，；
；
，，，
在△与△中，
，
∴△≌△（AAS），

，
∴△为等边三角形，
，
．
（3）①如图4，当点在的延长线上时，过点作EF∥BC，交的延长线于点：

则，；
，；
∵△为等边三角形，
，，，
；而，
，；
在△和△中，
，
∴△≌△（AAS），；
∵△为等边三角形，，，
；
②如图5，当点在的延长线上时，过点作EF∥BC，交的延长线于点：

类似上述解法，同理可证：，，
．
、20．（1）如图1所示：

∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B（180°﹣40°）=70°，BD=CE，
∴BC+DC=CE．
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE．
∵∠BAC=40°，
∴∠DCE=40°．
故答案为：70°，40°，BC+DC=CE；
（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β．理由如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE．
∵∠BAC=α，∠DCE=β，
∴α=β；
②分三种情况：
（Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β=180°，如图2所示．理由如下：

同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE．
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠DAE+∠DCE=180°．
∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β，
∴α+β=180°；
（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，如图3所示．理由如下：

同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，
∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，
∴∠BAC=∠DCE．
∵∠BAC=α，∠DCE=β，
∴α=β；
（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α=β；
综上所述：当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°；
（3）∠ACB=60°．理由如下：
∵当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β，
即∠BAC=∠DCE．
∵CE∥AB，
∴∠ABC=∠DCE，
∴∠ABC=∠BAC．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°；
∵当D在线段BC上时，α+β=180°，
即∠BAC+∠DCE=180°．
∵CE∥AB，
∴∠ABC+∠DCE=180°，
∴∠ABC=∠BAC．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°；
综上所述：当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，∠ACB的度数为60°．
21．（1）∵CB=CA，DB=DA，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB；
（2）①在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴∠ACD=∠BCD=∠BCA=45°，∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BDC=180-45°-15°=120°；
②结论：ME=BD，
理由：连接MC，

∵，，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴∠BDE=30°+30°=60°，
由①得∠BDC=120°，
∴∠CDE=60°，
∵DC=DM，∠CDE=60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CM=CD，
∵EC=CA=CB，∠DMC=60°，
∴∠E=∠CAD=∠CBD=15°，∠EMC=120°，
在△BDC和△EMC中，
，
∴△BDC≌△EMC（AAS），
∴ME=BD；
③当EN=EC时，∠=7．5°或∠ ==82．5°；
当EN=CN时，∠ ==150°；
当CE=CN时，点N与点A重合，∠CNE=15°，

所以∠CNE的度数为7．5°或15°或82．5°或150°．
22．（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AE=AD、AB=AC，
又∵∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，
即∠DAB=∠EAC，
在△EAC和△DAB中，，
∴△EAC≌△DAB，
∴BD=CE；
（2）解：由（1）△EAC≌△DAB，可得∠ECA=∠DBA，
在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，
∴ ∠EFC=∠FCB+∠FBC=∠FCA+∠ACB+∠FBC=∠ACB+∠ABC=60°+60°=120°．
23．（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
∴（SAS），
∴BE=AD；
（2）①证明：∵和是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
∴（SAS），
∴AD=BE，
同理：（SAS），
∴AD=CF，
即AD=BE=CF；
②解：结论：PB+PC+PD=BE，
理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC=∠BQP，
由①知，，
∴∠CAD=∠CBE，
在中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BQP=120°，
在中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，
∴∠DPE=60°，
同理：∠APC=60°，
∠CPD=120°，
在PE上取一点M，使PM=PC，
∴是等边三角形，
∴，∠PCM=∠CMP=60°，
∴∠CME=120°=∠CPD，
∵是等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，
∴∠PCD=∠MCE，
∴（SAS），
∴PD=ME，
∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．