初中数学苏科版八年级上册第二章 轴对称图形2.4 线段、角的轴对称性同步测试题

随堂测试

2.4线段、角的轴对称性

一．选择题（共9小题，满分36分）

1．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2

3．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）

A．10 B．7 C．5 D．4

4．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）

A．15 B．30 C．45 D．60

6．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

A．11 B．5.5 C．7 D．3.5

7．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（　　）

A．54° B．50° C．48° D．46°

8．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝112°，则∠EAF为（　　）

A．38° B．40° C．42° D．44°

9．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG周长为16，且GE＝1，则AC的长为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16

二．填空题（共9小题，满分36分）

10．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　   　．

11．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF＝　    　．

12．如图，点A为∠MON的平分线上一点，过A任意作一条直线分别与∠MON的两边相交于B、C，P为BC中点，过P作BC的垂线交射线OA于点D，若∠MON＝115°，则∠BDC的度数为　   　度．

13．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点F，点D，G分别是垂足，若AE＝6，EF＝8，FC＝10，则△ABC的周长是　                　．

14．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　    　．

15．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝85°，则∠BDC＝　    　．

16．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，∠BOC＝　     　．

17．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，如果要求油库到这三条公路的距离都相等，则油库的位置有　 　个．

18．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：

①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．其中结论正确的为 　    　．（填写结论的编号）

三．解答题（共8小题，满分48分）

19．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：

（1）CF＝EB．

（2）AB＝AF+2EB．

20．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：

（1）AM⊥DM；

（2）M为BC的中点．

21．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．

（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；

（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．

22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：

（1）FC＝AD；

（2）AB＝BC+AD．

23．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．

24．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．

25．已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：

（1）到两村的距离相等；

（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？

26．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．

（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　    　；

（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；

（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　    　．

参考答案

一．选择题（共9小题，满分36分）

1．C．

2．C．

3．C．

4．C．

5．B．

6．B．

7．D．

8．D．

9．B．

二．填空题（共9小题，满分36分）

10．10．

11．48°．

12．65．

13．6+24．

14．1.5．

15．95°．

16．125°．

17．4

18．①②③．

三．解答题（共8小题，满分48分）

19．证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE＝DC，

在Rt△CDF和Rt△EDB中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．

∴CF＝EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴CD＝DE．

在Rt△ADC与Rt△ADE中，

，

∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），

∴AC＝AE，

∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．

20．解：（1）∵AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC＝180°，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，

∴∠MAD+∠ADM＝90°，

∴∠AMD＝90°，

即AM⊥DM；

（2）作NM⊥AD交AD于N，

∵∠B＝90°，AB∥CD，

∴BM⊥AB，CM⊥CD，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴BM＝MN，MN＝CM，

∴BM＝CM，

即M为BC的中点．

21．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，

∴AM＝CM，BN＝CN，

∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，

∵△CMN的周长为15cm，

∴AB＝15cm；

（2）∵∠MFN＝70°，

∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，

∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，

∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，

∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，

∵AM＝CM，BN＝CN，

∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，

∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．

22．证明：（1）∵AD∥BC（已知），

∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），

∵E是CD的中点（已知），

∴DE＝EC（中点的定义）．

∵在△ADE与△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（ASA），

∴FC＝AD（全等三角形的性质）．

（2）∵△ADE≌△FCE，

∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），

又∵BE⊥AF，

∴BE是线段AF的垂直平分线，

∴AB＝BF＝BC+CF，

∵AD＝CF（已证），

∴AB＝BC+AD（等量代换）．

23．证明：∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠CBD，

在△ABD和△CBD中，，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB＝∠CDB，

∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM＝PN．

24．解：PC与PD相等．理由如下：

过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．

∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，

∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）

又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，

∴四边形OEPF为矩形，

∴∠EPF＝90°，

∴∠EPC+∠CPF＝90°，

又∵∠CPD＝90°，

∴∠CPF+∠FPD＝90°，

∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．

在△PCE与△PDF中，

∵，

∴△PCE≌△PDF（ASA），

∴PC＝PD．

25．解：①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交直线a、b于点A、B；

②分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画圆，两圆相交于点C，连接OC；

③连接ED，分别以E、D为圆心，以大于ED为半径画圆，两圆相交于F、G两点，连接FG；

④FG与OC相交于点H，则H即为工厂的位置．

同法可得H′也满足条件，

故点H或H′即为工厂的位置．

26．解：（1）

过A作AE⊥BC于E，

∵点D是BC边上的中点，

∴BD＝DC，

∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，

故答案为：1：1；

（2）

过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∵AD为∠BAC的角平分线，

∴DE＝DF，

∵AB＝m，AC＝n，

∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；

（3）

∵AD＝DE，

∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，

∵S△BDE＝6，

∴S△ABD＝6，

∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，

∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，

∴S△ACD＝3，

∴S△ABC＝3+6＝9，

故答案为：9．