2023浙江省A9协作体高三上学期暑假返校联考数学试题含答案

浙江省A9协作体暑假返校联考

高三数学试题卷

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方.

3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效.

4.考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

2. 已知是虚数单位，复数满足，则的模为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】B

3. 若圆（为圆的半径）关于直线对称，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

4. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

5. 某学校食堂为了解学生对食堂的满意度，从高一、高二两个年级分别随机调查了100名学生，根据学生对食堂的满意度评分，分别得到高一和高二学生满意度评分的频率分布直方图.

若高一和高二学生的满意度评分中位数分别为，平均数分别为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

6. 若，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

7. 在正方体中，是棱上的点且，是棱上的点，记与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

8. 已知函数及其导函数的定义域都为，且为偶函数，为奇函数，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.

9. 已知多项式，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

10. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 点是该函数图像的一个对称中心

B. 直线是该函数图像的一条对称轴

C. 该函数在上有两个零点

D. 该函数在上有三个极值点

【答案】AC

11. 如图，在三棱锥中，平面为垂足点，为中点，则下列结论正确的是（    ）

A. 若的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值

B. 若的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值

C. 若的长为定值，则的长也为定值

D. 若的长为定值，则的值也为定值

【答案】ACD

12. 已知抛物线的焦点为，直线与交于点与点，点关于原点的对称是点，则下列结论正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若在以为直径的圆上，则

D. 若直线与与拋物线都相切，则

【答案】ACD

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知数列的前项和，则__________.

【答案】11

14. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________.

【答案】##0.125

15. 为了深入贯彻党中央“动态清理”的疫情防控要求，现要选派5名志愿者到四个核酸检测点，每个检测点至少分配1人，若志愿者甲要求不到A检测点，且志愿者甲乙不到同一检测点，则不同的分派方案有__________种.

【答案】162

16. 已知，函数，若存在最小值，则的取值范围是__________.

【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知数列为公差不为0的等差数列，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列的前项和，令，求数列的前2022项和.

【答案】（1）   

（2）数列的前2022项和为

【小问1详解】

设数列的公差为，则，

由题意可得：

解得：

∴数列通项公式为；

【小问2详解】

由(1)，

，

设数列的前项和为，

所以数列的前2022项和

18. 在中，角的对边分别为为的面积，请在①；②这两个条件中任选一个，完成下列问题：（注：如果两个条件都解答，按第一个解答计分）

（1）求角大小；

（2）若且，求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

若选①：，由余弦定理得，

所以，又因为，

所以.

若选②：根据正弦定理边化角得

【小问2详解】

由正弦定理边化角得，

因为，所以，

又因为

所以

19. 某学校组织开展了“学习强国答题挑战赛暨主题党日活动”.规则如下：每班派两名选手参赛，每位选手回答三个题，满分为60分，每题答对得10分，答错不得分.某班派了甲､乙两名同学参赛，且甲同学三题能回答正确概率均为，乙同学三题能回答正确的概率依次为、、，两人的累计得分为班级总得分，总得分不少于50分班级将获得参加决赛的资格.

（1）三题答完结束后，记为乙同学的累计得分，求的分布列和期望；

（2）求班级获得决赛资格概率.

【答案】（1）分布列见解析，期望分；   

（2）.

【小问1详解】

由题意可得：的可能取值为：0，10，20，30.

；

；

；

；

所以分布列为：

分.

【小问2详解】

记为甲同学的累计得分

.

而；

；

所以班级获得决赛资格的概率：.

20. 如图，在平面四边形中， .现将沿翻折到的位置，且二面角的平面角大小为.

（1）求证：；

（2）若，且与平面所成角的大小为，求的长.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【小问1详解】

解：连接交于点，

，

则，平面，

平面，

；

【小问2详解】

解法1：由（1）知，，

如图建系，，

设，则.

所以.

设平面的法向量为，

所以.

令，则，

又与平面所成角的大小为，

所以，

整理得：，

解得.

解法2：由（1）知，，

过作平面，

且平面，

平面，

则就是与平面所成角.

设，则，

，则，

解得.

21. 已知直线与双曲线交于、两个不同的点.

（1）求的取值范围；

（2）若为双曲线的左顶点，点在双曲线的左支上，点在双曲线的右支上，且直线、分别与轴交于、两点，当时，求的值.

【答案】（1）且   

（2）

【小问1详解】

解：联立方程组消整理得，

依题意可得，解得且.

小问2详解】

解：设、坐标分别为，，，由（1）知，

直线的方程为，

令可得点坐标为，

同理点坐标为，

由，所以，所以，

所以，

整理得，即，

解得（舍去）或，.

22. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设的导函数为，若存在，使得成立，求证：.

【答案】（1）当时，单调递增， 时，单调递减;   

（2）证明见解析

【小问1详解】

由题意可得的定义域为,，

故，

当时，，此时单调递增，

当时，，此时单调递减.

【小问2详解】

在上为减函数，

要证，即证，

只要证，

,

又,

即，即证

即证,

令，

，

在为增函数，，

，即，

即得证.