2023九师联盟高三上学期开学考试（老高考）数学（理）含答案

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高三理科数学一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。1. 若集合, 则A. B. C. D. 2. 若复数满足, 则A. B. C. D. 3. 已知为等差数列的前项和, 若, 则A. 450B. 400C. 350D. 2254. “”成立的一个必要不充分条件为A. B. C. D. 5. 已知满足约束条件则的最大值为A. 5B. 6C. -7D. -36. 如图,在四边形中,分别为的中点, 若,则A. B. C. D. 7. 如图, 在正方体中, 点为棱的中点, 则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D. 8. 已知双曲线与斜率为 1 的直线交于两点, 若线段的中点为 , 则的离心率A. B. C. D. 9. 如图,函数的图象过两点,为得到函数 的图象, 应将的图象 A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度10. 已知是上的奇函数, 且, 则A. -3B. -1C. 1D. 211. 已知为抛物线的焦点,过且斜率为 1 的直线交于两点, 若, 则A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知定义在上的函数满足 为的导函数, 当 时,, 则不等式的解集为A. B. C. D. 二、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13. 的展开式中的系数为560 ,则实数的一个值为______.14. 在等比数列中, ,且 , 则数列的公比______.15. 已知,则曲线在点处的切线方程为______.16. 如图, 在三棱锥中,平面平面,点在上, ,过点作三棱锥外接球的截面,则截面圆面积的最小值为______.三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22 、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 60 分。17. (本小题满分 12 分)在中, 角的对边分别为, 且.(1)求角;(2) 若边上的高为, 求.18. (本小题满分 12 分)2022 年 7 月 6 日～14 日, 素有“数学界奥运会”之称的第 29 届国际数学家大会, 受疫情影响, 在线上 进行, 世界各地的数学家们相聚云端、共襄盛举. 某学校数学爱好者协会随机调查了学校 100 名学生, 得到如下调查结果: 男生占调查人数的55%, 喜欢数学的有 40 人, 其余的人不喜欢数学; 在调查的女生中,喜欢数学的有 20 人, 其余的不喜欢数学.(1)    请完成下面列联表, 并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关? 喜欢数学不喜欢数学合计男生   女生   合计    (2)采用分层抽样的方法, 从不喜欢数学的学生中抽取8人, 再从这8人中随机抽取3人,记为3人中不喜欢数学的男生人数, 求的分布列和数学期望.参考公式: , 其中.临界值表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 19. (本小题满分 12 分)如图, 在三棱锥中, 侧面底面为的中点.(1)若, 求证: ;(2)若, 求直线与平面所成角的正弦值.20. (本小题满分 12 分)已知椭圆的左、右焦点分别为,且与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点, 点在上.(1) 求的方程;(2) 过点作互相垂直且与轴均不重合的两条直线分别交于点和, 若分别是弦 的中点, 证明: 直线过定点.21. (本小题满分 12 分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2) 当时, 判断曲线与曲线交点的个数, 并说明理由.(二)选考题: 共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中, 曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线的极坐标方程为.(1) 求的普通方程和的直角坐标方程;(2) 若与交于相异两点, 且, 求的值.23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5: 不等式选讲已知, 证明:(1) ;(2) .