初中数学2.3 确定圆的条件复习练习题

课  时  练

2.3确定圆的条件

一．选择题（共12小题，满60分）

1．在平面直角坐标系xOy中，若P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（　　）

A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5

2．已知△ABC，AC＝3，CB＝4，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是（　　）

A．r＞3 B．r≥4 C．3＜r≤4 D．3≤r≤4

3．⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d（　　）

A．d＜4 B．d＝4 C．d＞4 D．0≤d＜4

4．如图，⊙A的半径为3，圆心A的坐标为（1，0），点B（m，0）在⊙A内，则m的取值范围是（　　）

A．m＜4 B．m＞﹣2 C．﹣2＜m＜4 D．m＜﹣2或m＞4

5．在同一平面内，过已知A、B、C三个点可以作圆的个数为（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个

6．如图，△ABC内接于⊙O，∠AOB＝80°，则∠ACB的大小为（　　）

A．20° B．40° C．80° D．90°

7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC的度数是（　　）

A．120° B．80° C．60° D．30°

8．如图，△ABD内接于圆O，∠BAD＝60°，AC为圆O的直径．AC交BD于P点且PB＝2，PD＝4，则AD的长为（　　）

A．2 B．2 C．2 D．4

9．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（　　）

A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心 

B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 

C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心 

D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠AOB＝120°，则∠ACB等于（　　）

A．45° B．30° C．60° D．50°

11．有四个命题，其中正确的命题是（　　）

①经过三点一定可以作一个圆

②任意一个三角形有且只有一个外接圆

③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等

④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦．

A．①、②、③、④ B．①、②、③ 

B．C．②、③、④                     D．②、③

12．下列说法正确的是（　　）

A．三点确定一个圆 

B．任意的一个三角形一定有一个外接圆 

C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点 

D．任意一个圆有且只有一个内接三角形

二．填空题（共4小题，满分20分）

13．已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是　      　（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．

14．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．

如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝　   　°．

15．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为　            　．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是　      　，半径是　      　．

三．解答题（共4小题，满分40分）

17．如图，OA＝OB，点A的坐标是（﹣2，0），OB与x轴正方向夹角为60°，请画出过A，O，B三点的圆，写出圆心的坐标是　                　．

18．如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC，连接BC，作△ABC的外接圆⊙O，点P为劣弧上的一个动点，弦AB、CP相交于点D．

（1）求∠APB的大小；

（2）当点P运动到何处时，PD⊥AB？并求此时CD：CP的值；

（3）在点P运动过程中，比较PC与AP+PB的大小关系，并对结论给予证明．

19．如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为等边三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．

（1）判断点C是否为弧OB的中点？并说明理由；

（2）求B、C两点的坐标；

（3）求直线CD的函数解析式；

（4）点P在线段OB上，且满足四边形OPCD是等腰梯形，求点P坐标．

20．（1）如图1，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，

求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的．

（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，

求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的．

参考答案

一．选择题（共12小题，满分60分）

1．D．

2．C．

3．D．

4．C．

5．D．

6．B．

7．C．

8．B．

9．B．

10．C．

11．D．

12．B．

二．填空题（共4小题，满分20分）

13．钝角三角形．

14．60°．

15． 4．

16． （5，2），2．

三．解答题（共4小题，满分40分）

17．解：如图所示：E点即为圆心，

∵OA＝OB，点A的坐标是（﹣2，0），OB与x轴正方向夹角为60°，

∴∠EOA＝∠BOE＝60°，AF＝FO＝1，

故EF＝tan60°FO＝，

故圆心的坐标为：（﹣1，）．

故答案为：（﹣1，）．

18．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵∠APB+∠ACB＝180°，

∴∠APB＝120°；

（2）当点P运动到的中点时，PD⊥AB，

如图1，连接PC，OA，OB，设⊙O的半径为r，则CP＝2r，

又∵⊙O为等边△ABC的外接圆，

∴∠OAB＝30°，

在Rt△OAD中，

∵OD＝OA＝，

∴CD＝+r＝，

∴CD：CP＝：2r＝3：4；

（3）PC＝AP+PB

证明：方法一：

如图2，在AP的延长线上取点Q，使PQ＝PB，连接BQ，

∵∠APB＝120°，

∴∠BPQ＝60°，

∴△BPQ是等边三角形，

∴PB＝BQ，

∵∠CBP＝∠CBA+∠ABP＝60°+∠ABP，

∠ABQ＝∠QBP+∠ABP＝60°+∠ABP，

∴∠ABQ＝∠CBP，

在△ABQ和△CBP中，PB＝QB，∠CBP＝∠ABQ，CB＝AB，

∴△ABQ≌△CBP，

∴CP＝AQ＝AP+PQ＝AP+PB，即PC＝AP+PB；

方法二：如图3，B为圆心，BP为半径画圆交CP于点M，连接BM，

∵∠CPB＝60°，

∴△PBM是等边三角形，

∵∠CMB＝120°，

∴∠CMB＝∠APB，

∴△APB≌△CMB，

∴PC＝AP+PB；

方法三：（略证）如图4，以A为圆心，A为半径画圆交CP于N，连接AN，

先证△APN是等边三角形，再证△ANC≌△APB，

从而PC＝AP+PB．

19．解：（1）C为弧OB的中点．理由如下：

连接AC；∵OC⊥OA，

∴AC为圆的直径，

∴∠ABC＝90°；

∵△OAB为等边三角形，

∴∠ABO＝∠AOB＝∠BAO＝60°，

∵∠ACB＝∠AOB＝60°，

∴∠COB＝∠OBC＝30°，

∴弧OC＝弧BC；（2分）

即C为弧OB的中点．

（2）过点B作BE⊥OA于E；

∵A（2，0），

∴OA＝2，

∴OE＝1，BE＝，

∴点B的坐标是（1，）；

∵C为弧OB的中点，CD是圆的切线，AC为圆的直径，

∴AC⊥CD，AC⊥OB，

∴∠CAO＝∠OCD＝30°，

∴，

∴C（0，）；

（3）在△COD中，∠COD＝90°，，

∵∠OCD＝∠CAO＝∠COD＝30°，

∴DC＝2DO，

∵CD2＝DO2+CO2，

∴（2OD）2＝DO2+CO2，

∴OD＝，

则有D（﹣，0）；

∴直线CD的解析式为：

（4）∵四边形OPCD是等腰梯形，

∴∠CDO＝∠DCP＝60°，

∴∠OCP＝∠COB＝30°，

∴PC＝PO（8分）；

过点P作PF⊥OC于F，则OF＝OC＝，

∴PF＝，

∴点P的坐标为：（，）．

20．证明：（1）如图1，连接OA，OC；

∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝BC，

∵点O是等边三角形ABC的外心，

∴CF＝CG＝AC，∠OFC＝∠OGC＝90°，

∴在Rt△OFC和Rt△OGC中，，

∴Rt△OFC≌Rt△OGC．

同理：Rt△OGC≌Rt△OGA．

∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，

S四边形OFCG＝2S△OFC＝S△OAC，

∴S△OAC＝S△ABC，

∴S四边形OFCG＝S△ABC．

（2）证法一：

连接OA，OB和OC，则

△AOC≌△COB≌△BOA，∠1＝∠2；

设OD交BC于点F，OE交AC于点G，

∠AOC＝∠3+∠4＝120°，∠DOE＝∠5+∠4＝120°，

∴∠3＝∠5；

在△OAG和△OCF中

，

∴△OAG≌△OCF，

∴S△OAG＝S△OCF，

∴S△OAG+S△OGC＝S△OCF+S△OGC，

即S四边形OFCG＝S△OAC＝S△ABC；

证法二：

设OD交BC于点F，OE交AC于点G；

作OH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为H、K；

在四边形HOKC中，∠OHC＝∠OKC＝90°，∠C＝60°，

∴∠HOK＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，

即∠1+∠2＝120度；

又∵∠GOF＝∠2+∠3＝120°，

∴∠1＝∠3，

∵AC＝BC，

∴OH＝OK，

∴△OGK≌△OFH，

∴S四边形OFCG＝S四边形OHCK＝S△ABC．