初中数学苏科版九年级上册2.2 圆的对称性同步测试题

随堂测试

2.2 圆的对称性

1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）

A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米

2．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（　　）

A．cm B．3 cm C．cm D．cm

4．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（　　）

A． B． C．1 D．2

5．如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　）

A．50m B．40m C．30m D．25m

6．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（　　）

A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm

7．如图是某个球放进盒子内的截面图，球的一部分露出盒子外，已知⊙O交矩形ABCD的边AD于点E，F，已知AB＝EF＝2，则球的半径长为（　　）

A． B． C． D．

8．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）

A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm

9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于　    　m．

10．如图，已知AB、CD是⊙O中的两条直径，且∠AOC＝50°，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，则的度数为　    　．

11．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝　   　度．

12．如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是　    　mm．

13．如图，⊙O的半径OA垂直于弦BC，垂足是D，OA＝5，AD：OD＝1：4，则BC的长为　 　．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为　              　．

15．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．

（1）证明：点E是OB的中点；

（2）若AE＝8，求CD的长．

16．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A是半圆上一个三等分点，点B为的中点，点P是直径MN上的一个动点，求PA+PB的最小值．

17．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．

（1）求线段DE的长；

（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．

18．如图，点A、B、C在⊙O上，＝．

（1）若D、E分别是半径OA、OB的中点，如图1，求证：CD＝CE．

（2）如图2，⊙O的半径为4，∠AOB＝90°，点P是线段OA上的一个动点（与点A、O不重合），将射线CP绕点C逆时针旋转90°，与OB相交于点Q，连接PQ，求出PQ的最小值．

19．如图1，点P表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆．若⊙O被水面截得的弦AB长为8m，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度．

20．某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m（如图）．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？

参考答案

1．B．

2．B．

3．D．

4．C．

5．D．

6．B．

7．C．

8．C．

9．3.2．

10．80°．

11．60．

12.200．

13．6．

14．．

15．（1）证明：连接AC，如图，

∵直径AB垂直于弦CD于点E，

∴＝，

∴AC＝AD，

∵过圆心O的线段CF⊥AD，

∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，

∴AC＝CD，

∴AC＝AD＝CD．

即△ACD是等边三角形，

∴∠FCD＝30°，

在Rt△COE中，OE＝OC，

∴OE＝OB，

∴点E为OB的中点；

（2）解：∵△ACD是等边三角形，AB⊥CD，

∴∠CAE＝30°，

∴CE＝，

∵直径AB垂直于弦CD于点E，

∴CD＝2CE＝．

16．解：作B点关于MN的对称点B′，连接OB、OB′、AB′，AB′交MN于P′，如图，∵点A是半圆上一个三等分点，点B为的中点，

∴∠AON＝60°，∠BON＝30°，

∵B点和B′关于MN的对称，

∴∠B′ON＝30°，

∴∠AOB′＝90°，

∴△OAB′为等腰直角三角形，

∴AB′＝OA＝，

∵PA+PB＝PA+PB′≥AB′（点A、P、B′共线时取等号），

∴PA+PB的最小值＝AB′，

即PA+PB的最小值为．

17．解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，

∴AD＝DC，

同理：CE＝EB，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝AB，

∵AB＝8，

∴DE＝4．

（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，

∵OH经过圆心O，

∴AH＝BH＝AB，

∵AB＝8，

∴AH＝4，

在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，

∴AO＝5，即圆O的半径为5．

18．解：（1）连接CO．

∵═，

∴∠AOC＝∠BOC，

∵D、E分别是半径OA、OB的中点，

∴，，

∴OD＝OE，

在△ODC和△OEC中，

∵OD＝OE，∠AOC＝∠BOC，OC＝OC，

∴△ODC≌△OEC（SAS）

∴CD＝CE；

（2）当CP⊥OA时，∵∠AOB＝90°，∠PCQ＝90°，

∴∠CQO＝90°，即CQ⊥OB．

∵∠AOC＝∠BOC，

∴CP＝CQ，

当CP与OA不垂直时，

如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，M、N为垂足．

∵∠AOC＝∠BOC，

∴CM＝CN，

又∵∠AOB＝90°，

∴∠MCN＝90°，

∴四边形CMON是正方形，

∵∠PCQ＝90°，

∴∠PCM＝∠QCN，

∴△PCM≌△QCN（AAS）

∴CP＝CQ，

∴，

∴当CP取得最小值即CM的长时，PQ有最小值，

∴，PQ的最小值为4．

19．解：过O点作半径OD⊥AB于E，

∴，

在Rt△AEO中，，

∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．

答：水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．

20．解：如图，连接ON，OB．

∵OC⊥AB，

∴D为AB中点，

∵AB＝7.2m，

∴BD＝AB＝3.6m．

又∵CD＝2.4m，

设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m．

在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，

解得r＝3.9．

∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB2m，

∴CE＝2.4﹣2＝0.4m，

∴OE＝r﹣CE＝3.9﹣0.4＝3.5m，

在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝3.92﹣3.52＝2.96（m2），

∴EN＝2.96（m）．

∴MN＝2EN＝2×≈3.44m＞3m．

∴此货船能顺利通过这座拱桥