湘教版（2019）必修 第二册3.4 复数的三角表示优秀教案设计

《3.4复数的三角表示（1）》教学设计

一、课程标准

了解的几何意义、.

二、教学目标

1．了解的几何意义

2.了解乘复数的几何意义．

三、重点重点：的几何意义．

四、教学难点：乘复数的几何意义．

五、教学过程

（一）创设情境，引入新课

上节课我们学习了复数的几何表示，那复数可以用三角表示吗？        

（二）自主学习，熟悉概念

1.要求：学生阅读P109-112

2.思考：

1．  的几何意义是什么？

2. 乘复数的几何意义是什么？

（三）   检验自学，强化概念

1．的几何意义

如图，设平面向量OP=(x,y)对应复数z=x+yi，则OQ=(-x,-y)对应复数-z=(-1)z。由于OQ=-OP=(-1)OP，因此OQ可由OP绕起点O逆时针旋转180°得到。

于是，由(-1)z=-z可知，-1乘复数z的几何意义是将复数z对应的向量OP绕起点旋转180°变成OQ。

按照这样的思路，将z连乘两个-1得到(-1)2z，就是将OP连续旋转两个180°，也就是旋转360°，仍得到OP自己。这就是说(-1)2OP=OP，(-1)2z=z，(-1)2=1.

既然用(-1)2乘复数z的几何意义是将复数z对应的向量OP旋转连个180°，很自然会猜测：用-1的一个平方根i乘z的几何意义应该是将OP旋转半个180°，也就是旋转90°，得到的向量OP与复数iz对应。

结论：（即的平方根）乘的几何意义应该是将复数对应的向量绕起点旋转90°．

2.旋转任意角

如图，把复数z对应的向量OP旋转角得到OP´，把OP旋转90°得到OQ，则由平面向量基本定理可知，OP´可写成OP，OQ方向上的单位向量， 的实数倍之和，即OP´=a+b.

设r=|OP|，则|OP´|=|OQ|=r, OP=r, OQ=r.

所以cos=,sin=

即a=rcos, b=rsin.

于是OP´=(rcos)+(rsin)

              =cos·OP+sin·OQ

所以OP´对应的复数为cosz+sin·iz,可看作是由cos+isin乘得到的。

由此可得，用cos+isin乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转角.

结论：复数可看作是由乘得到，对应的复数是，几何意义是将复数对应的平面向量旋转角．

6.例题讲解

例1. 将正实数a连续4次乘i得到ai,-a,-ai,a,并将这些数用复平面上的点B、C、D、A表示。观察这些点的相互位置，你发现了什么？

设计意图：通过实例，让学生体验虚数单位乘任意复数的几何意义的应用．

例2.如图，设复平面上的点P表示复数z=，将点P绕原点O旋转90°得到的点P´表示哪一个复数？

设计意图：通过实例，让学生体验虚数单位乘任意复数的几何意义的应用．

例3. 将平面直角坐标系中任意点绕原点旋转90°得到，求的坐标．

设计意图：通过实例，让学生体验虚数单位乘任意复数的几何意义的应用．

例4. 根据乘的几何意义计算：

（1）；（2）．

设计意图：通过实例，让学生体验乘任意复数的几何意义的应用．

(三)课堂练习及检测

P126   6,12

(四)归纳小结

1.的几何意义；

2.旋转任意角；

（五）作业

1.习题3.5   3 ,5

2.预习3.4后半部分

六、教学反思（酌情写一些）

七、板书设计