湘教版（2019）必修 第二册6.4 数学建模案例(二): 曼哈顿距离一等奖教案

         湘教版必修第二册《6.4数学建模案例（二）：曼哈顿距离》教学设计

一、课程标准

让学生理解曼哈顿距离的概念，掌握求解最小曼哈顿距离的方法。培养用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界的意识。

二、教学目标：

1. 理解曼哈顿距离的概念，会用代数式表示平面内两点间的曼哈顿距离。

2. 对于曼哈顿距离为背景的实际问题，经历提出问题、建立模型、求解模型的数学建模过程，掌握求解最小曼哈顿距离的方法。

3. 通过数学建模课程，培养用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界的意识。

三、教学重点：以某点到已知各点的曼哈顿距离最小为约束条件，建立数学模型确定点的位置.

四、教学难点：模型求解过程中，如何计算求得最小曼哈顿距离，即如何求解含绝对值的代数式的最值.

五、教学过程

（一）创设情境，引入新课

   曼哈顿是一个极为繁华的街区，高楼林立，街道纵横规则，想象你漫步于曼哈顿街道，怎么测量沿直线行走的距离？

设计意图：实际情景引入，激发学习兴趣.

（二）自主学习，熟悉概念

1.要求：学生阅读P253-256

2.思考：

（1）数学建模的流程有哪些？

（2）直线上两点A和B之间的距离表示为d(A,B)怎么计算?

（3）什么是曼哈顿距离？怎么计算？

（三）   检验自学，强化概念

1.问题背景

在现实生活中，许多城市的街道相互垂直或平行，人们往往要通过直角拐弯行走才能到达目的地。若按照街道的垂直和平行方向建立直角坐标系后，则从处走到的距离为从走到处的距离加上从走到处的距离，即，我们称该距离为“曼哈顿距离”。对于平面上任意三点A，B，C，我们不难验证曼哈顿距离满足。

明确“曼哈顿距离”的定义——一般情况下，设平面上有点以及点，则点到点的曼哈顿距离定义为点到个点的曼哈顿距离之和，即。

2. 曼哈顿距离

3.问题解析

（1）模型建立

如下图所示，某地三个新建居民区的位置分别位于三点，，处。现计划在轴上方区域（包含轴）内的某一点处修建一个文化中心，试确定点的位置，使其到三个居民区的曼哈顿距离最小。

根据定义得到：

（2）模型求解

 问题1： 当，分别为多少时，取得最小值？此时的值为多少？

解析：水平方向和垂直方向的距离互不影响，把它们分别记为，，则，因此的最小值等于水平距离的最小值与垂直距离的最小值之和。分开来算，水平方向距离当且仅当时不等式的等号成立。而，当时等号成立。因此仅当时取到最小值24。同理，对于，当时取到最小值20。

问题2：文化中心应该建在哪里？

解析：由上述分析知，文化中心应该建在，此时距三个居民区的曼哈顿距离最小，最小距离是44。

问题3：如果仍以上述情境为背景，添加一个条件——以为圆心、半径为1的圆形区域是保护区，人们不能进入，其他条件不变。你能求出此时的文化中心的位置吗，使其到三个居民区的曼哈顿距离最小？

解析：由于单位圆区域不能进入，故此时满足或，以及。依据同样的思路能够解得，此时文化中心到三个居民区的曼哈顿距离的最小值为45。

问题4：对于模型求解这一步，上面我们是通过解不等式的方法得到的，你还有其他方法求出代数式的最小值吗？能否借助与的函数图像来判断最值？

解析：教师利用Geogebra画出两个函数的图像——

由图像可以直观得到水平方向距离和垂直方向距离的最小值，当时取最小值25，当时取最小值20。

设计意图: 以问题串的方式逐步引导学生思考，引导学生将实际问题转化为数学问题，体会建模的过程.

3. 案例二:探究设置机器零件检验台的位置

在实际生活中，还有许多的问题可以归结为基于曼哈顿距离的数学模型求解，以设置机器零件检验台的位置为例来说明。工作效率相同的台机器位于一条直线上，每台机器生产的零件均需送到同一个检验台上检验，检验合格后才能进入下一道工序。已知零件在这条直线上的传达速度均相同，问检验台的位置设在哪里可以使得零件传送时总的距离最小？

问题1：若记为第个零件的位置，是待求的检验台位置，是零件传送的总距离，你能求出的表达式吗？

解析：。

问题2：当检验台的位置为多少时，零件传送总距离最小？此时最小距离是多少？

解析：将个常数，，…，从小到大排列，则有两种情况——一是当为奇数时，即时，则当时（即在最中间点位置），取得最小值，且最小值为；二是当为偶数时，即时，则当时（即在最中间的区间内）取得最小值，且最小值为。

设计意图：结合案例二，让深度理解曼哈顿距离的建模问题，进一步规范解题步骤，建模活动主要为：假设模型---建立模型----求解.

(四)课堂练习及检测

P256   问题研究一、二

(五)归纳小结

1.曼哈顿距离定义

2.问题解析；

3.模型建立与求解；

4.模型的进一步推广。

（六）作业

1.P252   问题研究二.

2.预习 6.3数学建模案例（三）:人数估计

六、教学反思（酌情写一些）

七、板书设计