数学必修 第二册第6章 数学建模6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界精品教案设计

《1.5.1数量积的定义及计算（1）》教学设计

一、课程标准

通过力做功的实例，了解数量积的物理背景，在具体情境中，抽象出数量积的定义.

二、教学目标

1．理解向量数量积的物理意义；

2．掌握平面向量数量积的定义，会计算平面向量的数量积；

3．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。

三、教学重点：平面向量数量积的定义.

四、教学难点：平面向量数量积的形成过程.

五、教学过程

（一）创设情境，引入新课

如图1，一辆小车在拉力F的作用下产生了位移。若拉力的大小为F N.其方向与小车位移方向的夹角为.位移的大小为m。如何计算拉力F所做的功W?

图1

（二）自主学习，熟悉概念

1.要求：学生阅读P31——34

2.思考：

（1）在引例中，如何计算拉力F所做的功W？

（2）两个向量的数量积是怎么定义的？两向量的数量积的计算结果是数量还是向量？

（3）什么是投影向量？什么是投影长？b在a方向上的投影是怎么定义的？

（三）检验自学，强化概念

1.数量积的物理背景 

在引例中，由于拉力F与小车位移s都是向量，则可用从同一点出发的两条有向线段表示。两条有向线段的夹角就是这两个向量F与s的夹角。有向线段的长度分别等于这两个向量的大小|F|=F, |s|=s。由物理学我们知道W=F·s=|F||s|cos.

2.数量积的定义

设a,b是任意两个向量，<a,b>是它们的夹角，则定义a·b=|a||b|cos<a,b>为a与b的数量积。

注意：

（1）“·”不能忽略不写，也不能写成“×”

（2）两个向量的数量积是一个实数；

（3）

3.投影：

如图，投影的概念：如图所示，作向量，两个向量的夹角为，过点B作于点则，其中，共线。把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度，称为投影长。

刻画了投影向量的大小和方向，称为在方向上的投影。

b在a方向上的投影|b|cos的公式:|b|cos=

4.数量积的几何意义：

一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b| cos的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos的乘积.

三、例题讲解

例1．已知向量=a，=b，为单位向量，求数量积.

例2．已知，，.求与的夹角.

夹角公式：

例3. 已知，，，

（1）求向量在向量方向上的投影.

（2）求向量在向量方向上的投影.

(三)课堂练习及检测

P35  1,2,3

(四)归纳小结

1.数量积的定义: 设a,b是任意两个向量，<a,b>是它们的夹角，则定义a·b=|a||b|cos<a,b>为a与b的数量积。

2.投影：b在a方向上的投影|b|cos的公式:|b|cos=

3.数量积的几何意义：

一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b| cos的乘积.

4.夹角公式

（五）作业

1.习题1.5   1,4；

2.预习1.5.2  数量积的坐标表示及其运算

六、教学反思（酌情写一些）

七、板书设计